中考數(shù)學(xué)翻折問(wèn)題考點(diǎn)類(lèi)型

中考數(shù)學(xué)翻折問(wèn)題考點(diǎn)類(lèi)型?最新

說(shuō)明：本文檔整理了中考數(shù)學(xué)翻折問(wèn)題的考點(diǎn)類(lèi)型、試題類(lèi)型、難度

系統(tǒng)等內(nèi)容，詳細(xì)講解了各種類(lèi)型題目的解法和技巧，本文是翻折問(wèn)

題的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，望對(duì)老師和同學(xué)們有所幫助。

目錄

一、知識(shí)與方法.............................................3

二、典型題.................................................4

一、知識(shí)與方法

1.軸對(duì)稱(chēng)的定義

把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這

兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線叫對(duì)稱(chēng)軸，兩個(gè)圖形關(guān)于某

條直線對(duì)稱(chēng)也叫軸對(duì)稱(chēng).

2.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；

(2)對(duì)稱(chēng)軸這條直線是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.

3.軸折疊兩側(cè)的部分對(duì)應(yīng)相等，如①對(duì)應(yīng)角相等、②對(duì)應(yīng)邊相等、③折痕上的點(diǎn)

到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等；

4.對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分，這會(huì)出現(xiàn)垂直于中點(diǎn)；

5.折疊問(wèn)題中，常常結(jié)合角平分線、等腰三角形、三線合一、設(shè)未知數(shù)解勾股定

理等綜合知識(shí)點(diǎn)；

6.在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)折疊，常常還會(huì)用到求解析式法、兩點(diǎn)間距離公式、

中點(diǎn)坐標(biāo)公式等。

二、典型題

【題1】如圖，在菱形紙片A3CO中，AB=4,NA=60。，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)

A落在CQ的中點(diǎn)E處，折痕為FG,點(diǎn)、F、G分別在邊A&AD上.則sinZEFG

的值為.

【解析】如圖：過(guò)點(diǎn)E作”ELAO于點(diǎn)兒連接AE交GQ于點(diǎn)N,連接3。,

BE.

???四邊形ABC。是菱形，AB=4,ZDAB=60°,

：.AB=BC=CD=AD=4,ZDAB=ZDCB=60°,DC//AB

：.ZHDE=ZDAB=60°,

???點(diǎn)E是。。中點(diǎn)，：.DE=1CD=2

2

在RtZkOE”中，DE=2,ZHDE=60°A

/.0/7=1,HE=V3,：.AH=AD+DH=5

在RtAAHE中，AE=^yAH2+H￡2=2V?

二折疊，:?AN=NE=?AE1GF,AF=EF

,:CD=BC,ZDCB=60°

???△BCD是等邊三角形，且E是CO中點(diǎn)

:.BE工CD,

VBC=4,EC=2,ABE=2V3

U：CD//AB,：.ZABE=ZBEC=90°

在RJBM中，￡尸二^序+^產(chǎn)=12+(AB-EF)2.

：.EF=1,：.sinZEFG=^-=^-=^l,故答案為：綽

2EF_L77

H

4

【點(diǎn)評(píng)】“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分”，“三線合一”，“轉(zhuǎn)化目標(biāo)角”

【題2】如圖，在矩形A6CD中，48=3,804,點(diǎn)E是邊4B上一點(diǎn)，且AE=2EB,

點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)、,連接EP,過(guò)點(diǎn)P作PQ_LPE交射線8于點(diǎn)Q.若點(diǎn)

C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)正好落在邊AO上，求BP的值.

【解析】過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)旦???/尸石。二90。

??,矩形A8C3中，AB=3,BC=4

ZEAB=ZB=ZC=ZQDC=90°,CD=AB=3

.??四邊形CPED是矩形￡cL

：.DE=PC,PE=CD=3：/

■;AE=2EB,：.AE=2,EB=\BP-----C

BP=x,則OE=PC=4-x

丁點(diǎn)C與C關(guān)于直線PQ對(duì)稱(chēng)法2：亦可過(guò)C'作C'G_LBC,連接

CC'

XPCg/XPCQ

：.PC=PC=4-x,CQ=CQ,ZPCQ=ZC=90°

*：PE±PQ

???NBPE+/CPQ=90。

又?：NBEP+NBPE=90°

：.ZBEP=ZCPQ

:.XBEPsXcPQ

同理可證：&PECsXCDQ

??.型型，辱工人，：.CQ=^L=X(4-X)

CPCQCzDDQCyQBE

?**C*Q-x(4-x),DQ=3-x(4-x)=爐-4x+3

???，3.El_=4-x；ACD=3x,EC=J—4X+3

2

CDX-4X+3X(4-X)x

2

V￡C+CD=DE,jx—4X+3+3X=4_X，解得：Xi=l,及二弓

x5

：.BP的值為1或。

5

【題3】如圖，矩形QA3C中，。4=4,A8=3,點(diǎn)。在邊3c上，CD=3DB,

點(diǎn)E是邊04上一點(diǎn)，連接OE,將四邊形A8DE沿折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)4恰好落在邊。。上，則0E的長(zhǎng)為.

【解析】連接4。，AD,

???四邊形OA8C是矩形，

：.BC=OA=4,OC=AB=3,ZC=ZB=ZO=90°,

■:CD=3DB,______________________

法2：亦可過(guò)D作DG_LA。，連接

AA'

：.CD=3,BD=1,

：.CD=AB,

???將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A〃恰好落在邊0C上,

B'

AfE=AE,產(chǎn)

在RS4CO與Rt△。r4中，［CD=AB,

lA,D=AD

.'.RtAA'CO^RtADBA(HL),

：.ArC=BD=l,

f

：.AO=29

\tA,O2WE^=A,^,

J22+O/=(4-OE)2,

：.OE=1,

2

【點(diǎn)評(píng)】“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理

解方程”

【題4】如圖，在矩形43co中，45=4,E2=6,點(diǎn)石為5c的中點(diǎn)，將△ABE

沿AE折疊，使點(diǎn)3落在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處,連接則CT的長(zhǎng)為_(kāi)__.

AD

F^1—________.D

在E~~\

BE5

【解析】連接5F,法2：亦可過(guò)E作EG±FC；或者

過(guò)F作MN分別垂直AD和BC

???5C=6,點(diǎn)石為3c的中點(diǎn)，

：.BE=3,

又???A3=4,

???

.*M￡=JAB2+BE2=5,B"二衛(wèi)，則BF二型，

55

■:FE=BE=EC,：.ZBFC=90°,

根據(jù)勾股定理得，C77=五口塞噂.

故答案為：18.

5

【題5】如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片ABCO對(duì)折，使AB與QC重合，折痕

為EF,展平后，再將點(diǎn)8折到邊CO上，使邊A3經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,折痕為G”，點(diǎn)

5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N

(1)若CM=x,則C”二—(用含x的代數(shù)式表示);

(2)求折痕G”的長(zhǎng).

BC=6,

???設(shè)”。=y,51IJBH=HM=6-y,

故）2+/=（6-y）2,整理得：產(chǎn)-。/+3,

12

???ZHMC+ZMHC=90°,，ZEMD=ZMHC,

：?/\EDMs叢MCH、

.二—=—,/.A=^Z2L解得:HC=-,

MCCHxHC3

故答案為：-42+3或-W+2x；

123

（2）方法一:

???四邊形A8CO為正方形，

：.ZB=ZC=ZD=90°,

設(shè)CM=x,由題意可得：ED=3,DM=6-x,ZEMH=ZB=90°,

故ZHMC+ZEMD=90°,

???ZHMC+ZMHC=90°,：.ZEMD=ZMHC,

：?AEDMSRMCH、

???班衛(wèi)乂即3=解得：2,X2=6,

MCCHx12

12xJ

當(dāng)x=2時(shí)，：.CM=2,：.DM=4,

???在區(qū)3。加中，由勾股定理得：EM=5,

：.NE=MN-EM=6-5=\,

?：/NEG:/DEM,ZN=ZD,

:?△NEGS/\DEM,

ANE=NG;.1=NG解得：NG=M

DEDM343

由翻折變換的性質(zhì)，得AG=7VG昔

過(guò)點(diǎn)G作GPL5C,垂足為P,貝IJ3P=AG=WGP=AB=6,

3

當(dāng)x=2時(shí)，CH---Lf+S二星，

123

：.PH=BC-HC-BP=6-1-生2,

33

在RSGPH中，GW=^Qp2+pj12=^02+22=2VlO-

當(dāng)戶(hù)6時(shí)，則CM=6,

點(diǎn)”和點(diǎn)。重合，點(diǎn)G和點(diǎn)A重合，點(diǎn)M在點(diǎn)。處，點(diǎn)N在點(diǎn)A處.

MN同樣經(jīng)過(guò)點(diǎn)已折痕G”的長(zhǎng)就是AC的長(zhǎng).

所以，GH長(zhǎng)為距.

方法二：有上面方法得出CM=2,連接

可得8M_LG”，

則可得zPGH=ZHBM,

在△GPH和^BCM中

fZHGP=ZCBM

\GP=BC,

lZGPH=ZC

：.AGPH^/\BCM(SAS),

:?GH=BM,

GH=BM=^2+22=2V10.

【題6】已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(11,

0),點(diǎn)、B(0,6),點(diǎn)尸為邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)8、。重合)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

0、P折疊該紙片，得點(diǎn)夕和折痕0P.設(shè)8尸二九

(1)如圖①，當(dāng)N8。尸=30。時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(2)如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線尸夕上，得點(diǎn)C和折

痕尸Q,若AQ=加，求他(用含有/的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)(直接寫(xiě)

出結(jié)果).

【解析】(1)根據(jù)題意，ZOBP=90°,OB=6,

在RQOBP中，由N5OP=30。，BPf得。P=2九

?：OP2=OB?+BP2,即(2/)2=62+?,

解得：。=2加，亥=-2的(舍去).

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2V3,6);

(2)?:△0EP、△QCP分別是由△O8P、△QCP折疊得到的,

△QC尸空△。。尸,

：.ZOPBf=ZOPB,ZQPC=ZQPC,

?.,ZOPB'+ZOPB+ZQPCf+ZQPC=180°,

：.ZOPB+ZQPC=90°,

VZBOP+ZOPB=90°,

：.ZBOP=ZCPQ,

XVZOBP=ZC=90°,

:.△OBPs^pCQ,

■?.OB'-.BPI!

PCCQ

由題意設(shè)8P=/,AQ=m,BC=11,AC=6,則尸。=11-。CQ=6-m.

6—t

11-t6-m'

--r+6(O<Z<11);

66

(3)過(guò)點(diǎn)尸作PE_LOA于反如圖3,

：.ZPEA=ZQAC=90°,

：.ZPCE+ZEPC=90°,

VZPCE+Z2CA=90°,

：.ZEPC=ZQCA,

：./\PCE^/\CQA,

/.PE-CzE

**AC7AQ'

在4^7七和4OC夕中，

rZPECz=ZOBZC

,ZPCyE=ZOC/B'，

PE=OBZ

：./\PC,E^/\OC,B,(A4S),

：.PC=OC=PC,

\BP=AC,

：AC=PB=t,PE=OB=6,AQ=m,EC=ll-2t,

-?—6―_-l-l---2--t-,

tm

/m=—i2--r+6,

66

\3/2-22r+36=0,

解得：/產(chǎn)1k返，修士返

33

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（止巨，6）或（山幽，6）.

33

1.如圖，在菱形紙片A8CO中，AB=i5,tanZABC=1,將菱形紙片沿折痕FG

4

翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處，若CEA.AD,貝I]cosZEFG的值為

3\/34

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)4作3c于點(diǎn)”，連接3旦過(guò)點(diǎn)P作PEL45,

VAB=15,tanZABC=—,

4F

：皿.AH=9,，BH=12,/空空系7-----7D

???四邊形ABCD是菱形，^—'HGC

：.AB=BC=15,AD//BC,

VA/71BC,

：.AHLAD,且人兒LBC,CE.LAD,

???四邊形A”CE是矩形

：.EC=9,AE=CH=3,

?**BE=NEC2+BC2=4225+81=3疝,

??,將菱形紙片沿折痕FG翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)￡處,

：.BF=EF,BELFG,BO=EO=^&

2

\*AD//BC,

：.NABC;NME,

：.tanZABC=tanZPAE=1,且AE=3,

4

?,.A尸二鳥(niǎo)PE=1,

55

???EF^PU+P叫

???E/=11+(15-￡F+12)2,

255

...E修曳

29

???2加?巧等亨鬻

.,.cosZEFG=-^=^4,故答案為：色叵

EF170170

2.如圖，在菱形A3CO中，AB=5,tan/>l,點(diǎn)E在3c上運(yùn)動(dòng)(不與5,。重

4

合)，將四邊形AECD沿直線AE翻折后，點(diǎn)C落在C處，點(diǎn)。落在D處，CDf

與AB交于點(diǎn)F,當(dāng)CDLAB時(shí)，CE長(zhǎng)為一半

【解析】如圖，作AHLCQ于H,交BC的延長(zhǎng)線于G,連接AC.

由題意：AD=AD\ZD=ZD',NAFO=NA"￡>=90。，

：./\AFDr^AAHD(A45),

：.ZFADf=ZHAD,

ZEADf=ZEAD,

：.ZEAB=ZEAG,

...膽二感（角平分線的性質(zhì)定理，可以用面積法證明）

AGEG

,:AB〃CD,AHA.CD,

：.AHLAB,

：.ZBAG=90°,

?:NB二ND,

/.tanB=tanD=-^.=.5.,

AB4

?AG-3?A^Z-15

??------?^―■.■Z1----------■

544

BG=dhB2+AG氣5z+啥產(chǎn)號(hào)

：.BE：EG=AB：AG=4：3,

:.EG=1BG=21,

728

在RSAD“中，VtanZ>-^i=l,AD=5,

DH4

：.AH=3,CH=4,

：.CH=\,

9：CG//AD,

??.CG-―CH,■:.CG二2

ADDH4

??卯EG-CG噴十竿.故答案為學(xué)

3.如圖，已知E為長(zhǎng)方形紙片ABC。的邊CO上一點(diǎn)，將紙片沿AE對(duì)折，點(diǎn)。

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'恰好在線段BE上.若AQ=3,DE=1,則AB=5

D.---1￡

D'

B

【解析】,??折疊，

???△AOE之△ADE,

：.AD=AD'=3,DE=D'E=l,ZDEA=ZD'EA,

??,四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,

：.ZDEA=ZEAB,

:.NEAB=NAEB,

：.AB=BE,

：.D'B=BE-D,E=AB-1,

在RtAA6。'中，AB^D,^+DB2,

AAB2=9+(AB-1)2,

：.AB=5

故答案為：5

4.如圖，矩形45co中，AB=8,5c=10,點(diǎn)N為邊3c的中點(diǎn)，點(diǎn)M為A5邊

上任意一點(diǎn)，連接MN,把ABMN沿折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E

如圖1此時(shí)NMEN=N5=90。，ZENB=90°,

，四邊形8MEN是矩形.

又〈ME二MB,

???四邊形8MEN是正方形.

：.BM=BN=5.

②當(dāng)E在矩形的對(duì)稱(chēng)軸直線FG上時(shí)，如圖2,

過(guò)N點(diǎn)作AW,bG于H點(diǎn)，則NH=4.

根據(jù)折疊的對(duì)稱(chēng)性可知EN=BN=5,

???在RSEAW中，利用勾股定理求得E”=3.

：.FE=5-3=2.

設(shè)8M=x,則EM=x,FM=4-x,

在RtAFEM中，MU=FC+FMP,

即/=4+(4-x)2,解得即8A公旦

22

故答案為5或反.

2

5.如圖，在矩形43CO中，A5=6,點(diǎn)E在邊AO上且AE=4,點(diǎn)/是邊8C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形A3/花沿歷翻折，43的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、囪與點(diǎn)C在同一

直線上，48與邊A。交于點(diǎn)G,如果。G=3,那么BF的長(zhǎng)為_(kāi)的-8_.

.=|-----------p

BC

【解析】VACDG^AA'EG,A'E=4

：.A'G=2

：.B'G=4

由勾股定理可知CG=W虧

則。8二%-4

由^CDGs^CFB，

設(shè)BF=x

CB，二GD

ByF=CD

?375-43

??----=—

X6

解得廣福-8

故答案為W^-8

6.如圖，已知扇形498的半徑為6,圓心角為90。，￡是半徑04上一點(diǎn)，尸是

褊上一點(diǎn).將扇形AO8沿斯對(duì)折，使得折疊后的圓弧門(mén)恰好與半徑08相

切于點(diǎn)G.若OE=4,則。到折痕E尸的距離為，亞

【解析】過(guò)點(diǎn)G作O，G，O叢作于0、如圖，連結(jié)。0,交收于”,

則四邊形AOGO為矩形，

：.OfG=AO=6,

??,金沿歷折疊后所得得圓弧C恰好與半徑0B相切于點(diǎn)G,

??.篇與C所在圓的半徑相等，

???點(diǎn)。，為廠7所在圓的圓心，

Afo

，點(diǎn)0與點(diǎn)0'關(guān)于石廠對(duì)稱(chēng)，廣'>\

G

C.OO'LEF,OH=HO\

A

B

OH=x,則OO'=2x,

9：ZEOH=ZOfOA,

ARtAOEH^Rt^00A

???里二毋，即告=導(dǎo)，解得廣2加，

即。到折痕石尸的距離為2M.

故答案為2M.

7.如圖，矩形A3CO中，AD=4,。是3c邊上的點(diǎn)，以。。為半徑作。。交A3

于點(diǎn)E,BE=2AE,把四邊形AECD沿著CE所在的直線對(duì)折（線段AD對(duì)應(yīng)

5

A77）,當(dāng)。。與4。相切時(shí)，線段A3的長(zhǎng)是—2

【解析】設(shè)。。與4。，相切于點(diǎn)￡

連接OF,OE,

則OF.LA,D,,

9：OC=OE,

：.ZOCE=ZOEC,

???四邊形A8C。是矩形,

???NA=/8=4=90。，

由折疊的性質(zhì)得：ZAEC=ZAfEC,

：.ZB+ZBCE=ZAfEO+ZOEC,

：.ZOEAr=ZB=90°,

*：OE=OF,

J四邊形4F0E是正方形，

：.A,E=AE=OE=OC,

???BE=2AE,

5

設(shè)5E=3/AE=5x,

/.OE=OC=5X9

9：BC=AD=4,

0B=4-5x,

在用BOE中，0日;

/.(5x)2=(3x)2+(4-5x)2,解得：x=—,x=4(舍去),

9

：.AB=8X=31,故答案為：32.

99

9.如圖，矩形ABC。中，AB=2BC,石是A5上一點(diǎn)，0是C。上一點(diǎn)，以0C

為半徑作。0,將△4OE折疊至△4D區(qū)點(diǎn)4在。。上，延長(zhǎng)EV交5c延長(zhǎng)

線于F,且恰好過(guò)點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)D作。0的切線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若FG=1,

則A止2,OO半徑

【解析】作07/LDG于"，如圖，設(shè)D4=x,511]AB=2x,

??,△AOE折疊至△A7)E,

ff

，DA=DA=x,ZDAE=ZA=90°,Ar.........n

???￡>4與。O相切，E

在^ODA^QAOCF中^CrC\

2DA，O=ZFCOI

,OA-OCBCFG

ZD0Ay=ZF0C

:?△DON義XFOC.

,=

.\DACF=X9

YOG是。。的切線，OHLDG,

???”點(diǎn)為切點(diǎn)，

：.DH=DAf=x,GH=GC=CF+GF=x+l,

在RSDCG中，?:DC^CG^DG2,

(2x)2+(x+1)2=(x+x+1)2,解得xi=0(舍去)，xz=2,

：.AD=2,

設(shè)。。的半徑為r,則OC=OA'=人OD=2x-r=4-r,

在RtA。04中,,?,DA,2+OA,2=DO2,

???22+/=(4-r)2,解得『三

2

即。。的半徑為3.故答案為2,1.

22

10.如圖1,在△A3C中，AC=6,308,AB=\O,分別以△43C的三邊A3,BC,

AC為邊在三角形外部作正方形A3DE,BCIJ,AFGC.如圖2,作正方形A3DE

關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的正方形ABDE,AE交CG于點(diǎn)M,DE交IC于點(diǎn)N點(diǎn)Df

在邊〃上.則四邊形CMEW的面積是24.

【解析】???正方形ABDE關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的正方形A5DE,

fr

：.AE=AB=\O,ZEAB=9009ZAEW=90°,

VAC=6,BC=8,AB=10,

JAG+叱=A",

??.△ACB為直角三角形，

C.A^BC-MC,

82

?：/MAC=/NAE\

ARtAACMSRSAEN,

9

??.MC二AC即2=且:?EN;國(guó)

EzNAE'E'N102

工四邊形CMEN的面積=SAAEN-SA4cw=_lx10x匹-1x6x1=24.

2222

故答案為24.

H.如圖，菱形ABC。中，乙4二60。，將紙片折疊，點(diǎn)A,。分別落在4,。處,

且40經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,EF為折痕,當(dāng)。F,8時(shí)，空的值為退二.

FD一2一

D

.U

AfRDr

【解析】設(shè)8c與。尸交于點(diǎn)K.CF=t看D'K二一之、

J'、'、尸

???四邊形A8CO是菱形，ZA=60°,

.,.ZC=60°,ZDr=ZD=120°,

KFLCD,AfRD

：.ZKFC=90°,

???NFKC=NBKD，=30。,

.\ZKBDf=180o-ZDr-NBKO'=30。，

：.BD，=b,8K=?KC=2a,KF=^a,

t：BC=CD=D,F^-CF,

/.（遭-1）a=（遭-1）b,

:.a=bi

?CF=a-V3-1

**DF美a+a2'

故答案為逞二.

2

12.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=&,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)60。到△的位置，連接則CB=返-1

B'

【解析】如圖，連接B星，

??,△43C繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△ABfC,

B'

：.AB=ABf,ZBABf=60°,

??.△AB夕是等邊三角形,A

：.AB=BB\^T/\

ri

在448。'和4夕3C中,產(chǎn).......七

'AC'=BZC?,

BCy=BCZ

:.AABC'qAB'BC'（SSS）,

：.NABC=NB，BC\

延長(zhǎng)BC'交A夕于D,則BDIAB,,

VZC=90°,AC=BC=血,

???A3=J（&）2+（加產(chǎn)2,

???BZ>2x返二①CD=lx2=\,

22

：.BC=BD-CD=^3-1.故答案為：的-1.

13.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=3,804,點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，

點(diǎn)￡是邊48上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)8重合），沿。E翻折使點(diǎn)8

落在點(diǎn)尸處，連接AF,當(dāng)線段AF=AC時(shí)，BE的長(zhǎng)為20.

一17一

【解析】連接40,作EGL3。于G,如圖所示:

貝l]EG〃AC,

:ZEGs/\BAC,

???EG'—-IBE-BG'!

ACABBC

設(shè)BE=x,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

/?AB=^AC2+BC2=5,

.?.毀二3=幽

354

解得：EG=lx,3G=&,

55

???點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn),

：.CD=BD=2,

：.DG=2-

5

由折疊的性質(zhì)得：DF=BD=CD,NEDF=NEDB,

[AC=AF

在^ACD和^AFD中,?CD=CF,

AD=AD

：./\ACD^/\AFD(SSS),

：.ZADC=ZADF,

：.ZADF+ZEDF=lx1880°=90°,

2

即NAOE=90。,

???A02+。序=A序，

V?l￡>2=AC24-CZ）2=32+22=13,DE2=DG2+EG2=（2-Ax）2+（馬）2,

55

???13+（2-&）2+（當(dāng)）2=（5-）2,解得：A歿，即區(qū)外歿；

55x1717

故答案為：空.

17

14.在正方形ABC。中，

⑴如圖1,若點(diǎn)E,尸分別在邊BC,C。上,AE,BF交于點(diǎn)0,且ZAOF=90°.求

證：AE=BF.

（2）如圖2,將正方形43C。折疊，使頂點(diǎn)A與CO邊上的點(diǎn)M重合，折痕

交A。于已交BC于F,邊AB折疊后與6c邊交于點(diǎn)G.若0c=5,CM=2,

求所的長(zhǎng).

【解析】（1）如圖1,

???四邊形A3CO是正方形,

：.AB=BC,NABE=NBCF=90。,

???ZAOF=90°,

.\ZBAE+ZOBA=90°,

又???ZFBC+Z0B4=90°,

：.ZBAE=ZCBF,

在bABE和43C尸中

，ZBCF=ZABE

vAB=BC,

ZBAE=ZFBC

：./\ABE^/\BCF(ASA).

：.AE=BF.

(2)由折疊的性質(zhì)得防，AM,

過(guò)點(diǎn)尸作77/J_A。于"，交AM于O,

則NAQM=NF"￡=90。，

：.ZHAO+ZAOH=90\N”AO+N4MD=90。,

???/POF=NAOH=/AMD,

^：EF±AM,

：.ZPOF+ZOFP=90°、ZHFE+ZFEH=90°,

：.ZPOF=ZFEH,

：.ZFEH=ZAMD,

???四邊形ABC。是正方形,

：.AD=CD=FH=5,

在^AQA/和4"7E中，

rZADM=ZFHE

?JZAMD=ZFEH,

AD=FH

：./\ADM^/\FHE(A4S),

EF=AM=^J^D22=752+3-

15.如圖，已知E是正方形ABCD的邊A3上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于。E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F,

ZBFC=90°,求旭的值.

AE

AE

A_EB_B

【解析】如圖，延長(zhǎng)E尸交Q3于M,連接CM,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=DC,ZA=ZBCD=90°,

???將△ADE沿直線DE對(duì)折得到aDEF,

；?NDFE=NDFM=90。,

在RtADFM與RtADCM中，(DF=DC,

lDM=DM

ARtADFM咨RtADCM,

：.MF=MC,

：.ZMFC=ZMCF,

■:/MFC+NBFM=90。,NMCF+N尸BM=90。，

:?/MFB:/MBF,

；?MB=MC,

設(shè)MF=MC=BM=a,AE=EF=x,

9：BE^+BM2=EM2,

即(2a-x)2+a2=G+a)2,

解得：x=^-a,.\AE=^-a,

33

.?.他二黑二3.

AE2a

3

16.在長(zhǎng)方形紙片ABCQ中，點(diǎn)E是邊CO上的一點(diǎn)，將AAEO沿AE所在的直

線折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)尸處.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸落在對(duì)角線AC上，且N8AC=54。，則/。4￡的度數(shù)為

18°.

(2)如圖2,若點(diǎn)尸落在邊6C上，且48=6,40=10,求CE的長(zhǎng).

(3)如圖3,若點(diǎn)E是8的中點(diǎn),A尸的沿長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G,且AB=6,AD=IO,

求CG的長(zhǎng).

【解析】(1)??,四邊形A3CQ是矩形,

：.ZBAD=90°,

VZBAC=54°,

/.ZDAC=90°-54o=36°,

由折疊的性質(zhì)得：NDAE=NFAE,

：.ZDAE=1ZDAC=18°;故答案為：18；

2

(2),?,四邊形ABCD是矩形，

AZB=ZC=90°,BC=AD=W,CD=AB=6,

圖3

由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=\O,EF=ED,

：.CF=BC-BF=IO-S=2,

ixCE=x,則EF=ED=6-x,

在RS中，由勾股定理得：22+x2=(6-x)2,解得：下區(qū)即的長(zhǎng)為3；

33

(3)連接EG,如圖3所示：

丁點(diǎn)石是CO的中點(diǎn)，：.DE=CE,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=W,ZAFE=ZD=90°,FE=DE,