應(yīng)用隨機過程課件 ch4 泊松過程

應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社PAGE16/75第四章泊松過程第四章泊松過程應(yīng)用隨機過程中國人民大學(xué)出版社本章內(nèi)容本章內(nèi)容1指數(shù)分布1指數(shù)分布的基本概念指數(shù)分布的矩2指數(shù)分布的性質(zhì)泊松分布2泊松分布的概念泊松分布的性質(zhì)3泊松過程3

泊松過程的定義泊松過程的性質(zhì)泊松過程的條件分布泊松過程的變換4泊松過程的拓展非齊次泊松過程復(fù)合泊松過程條件泊松過程4引言引言（PoissonDenisPoisson）命名的隨機過countingproces指數(shù)分布的基本概念指數(shù)分布的基本概念指數(shù)分布的基本概念指數(shù)分布若隨機變量指數(shù)分布的基本概念指數(shù)分布P(T≤t)=1?e?λt, ?t≥0則稱其服從速率為λ的指數(shù)分布（exponentialdistributio，記作T～E(λ)。λe?λt, tλe?λt, t≥0fT(t)=

0, t<0指數(shù)分布的矩指數(shù)分布的矩指數(shù)分布的矩指數(shù)分布一階矩（期望指數(shù)分布的矩指數(shù)分布E(T)=r∞t·fT(t)dt=r∞t·λe?λtdt=10 0 λ二階矩：E(T2)E(T2)=r∞t2·fT(t)dt=r∞t2·λe?λtdt=2方差：λ2λ2λ2Var(T)=E(T2)?[E(T)]2=2?1λ2λ2λ2指數(shù)分布的矩指數(shù)分布的矩(cont.)指數(shù)分布的矩指數(shù)分布對于T～E(λ)，其均值為1/λ，方差為1/λ指數(shù)分布的矩指數(shù)分布簡要證明：S=λTSE(1)11。簡要證明：TE(λ)，SE(1)ZS/λt，有：P(Z≤t)=P(S/λ≤t)=P(S≤λt)=1?exp[?1·(λt)]=1?e?λt=P(T≤t)

S? T=Z=λ指數(shù)分布的無記憶性指數(shù)分布的無記憶性指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布假設(shè)T服從速率為指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布P(T>t+s|T>t)=P(T>s)簡要證明：由于：簡要證明：因此：

P(T≤t)=1?e?λt ? P(T>t)=e?λt|P(T>t+sT>t)=P(T>t+s,T>t)|P(T>t)P(T>t+s)

e?λ(t+s)

?λs= P(T>t) =

=ee?λt

=P(T>s)指數(shù)分布的無記憶性指數(shù)分布的無記憶性(cont.)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布P(T>t+s|T>t)=P(指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型概率分布。注意：T看作一個儀器的壽命，那么上式說明了，在該儀器已經(jīng)正ts小時的（條件）概率，與其出s小時的（無條件）概率是完全相等的。也就是說，儀器t小時，不會對其未來正常工作的時間產(chǎn)生任何影響，該特征就是無記憶性（lackofmemor。指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型概率分布。注意：舉例舉例指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布假設(shè)顧客在銀行的時間服從均值為10分鐘的指數(shù)分布，問：一個顧客在此銀行用時超過15指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布注意：假定一個顧客10分鐘后仍在銀行，則她在銀行用時超過15分鐘的概率是多少？注意：此處此處λ=1/10。解答解答指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布如果以X表示顧客在這個銀行的時間，則問題指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布P(X>15)=e?λt=exp（

1?10×

15＼=0.22(2)105分鐘的概率。根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性，該概率與之前的用時無關(guān)，且等5分鐘的概率，即要求的概率如下：P(X>5)=e?λt=exp（

1?10×

5＼=0.604定理定理1指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布Tiλi(i12n)Ti指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布min(T1,T2,...,Tn)～E(λ1+λ2+···+λn)簡單證明由不等式的性質(zhì)，可得：簡單證明P[min(T1,T2,...,Tn)>t]=P(T1>t,T2>t,...,Tn>t)n ni=1i=1i=1i=1=TTP(Ti>t)=TTi=1i=1i=1i=1=exp[?(λ1+λ2+···+λn)t]即：min(T1,T2,...,Tn)～E(λ1+λ2+···+λn)定理定理2指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布假設(shè)T1～E(λ1)，T2～E(λ2指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布E[max(T,T)]=1+1? 1 簡單證明1 2 λ1簡單證明

λ2 λ1+λ2由下列恒等式：由下列恒等式：max(T1,T2)=T1+T2?min(T1,T2)根據(jù)期望的線性性質(zhì)，可得：E[max(T1,T2)]=E(T1)+E(T2)?E[min(T1,T2)]= + ?1 11λ1 λ2 λ1+λ2定理定理3：指數(shù)分布的排序指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布假設(shè)T1～E(λ1)，T2～E(λ2指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布P(T

<T)=P[T

λ1 =min(T,T)]=簡單證明1 2 1簡單證明

1 2 λ1+λ2利用卷積公式，證明如下：利用卷積公式，證明如下：P(T<T)= f(u1 2r∞T1)P(u<T)du= λr∞e?λue?λu1221du0= λr0∞e?(λ+λ)u1 21du=λ1 0λ1+λ2推論推論指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布Ti是T1,T2,...,Tn指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布1 2P[Ti=min(T,T,...,Tn)]= λi , i=1,2,...,1 2λ1+λ2+···+λn舉例舉例1指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布思路：i的服務(wù)時間服從速率為λi的指數(shù)分布(i=1,2)，求小明待在郵局的期望時間。思路：小明待在郵局的時間分成兩段：一段是等待兩位辦事員中的一位忙完所W；另一段是其中一位辦事員為小明提供服務(wù)所需的SE(WE(S)T1T2。舉例舉例1(cont.)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布首先，小明等待的時間E(W)應(yīng)當為T1和T2指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布有：E(W)=E[min(T,T)]= 11 2 λ1+λ2接下來，如果是辦事員1先結(jié)束當前業(yè)務(wù)，其對應(yīng)的概率為：P(T

λ1 <T)=1 2 λ1+λ2在此情形下，由辦事員1為小明提供服務(wù)，相應(yīng)的服務(wù)時間期望值為1/λ1；類似地，如果是辦事員2先結(jié)束當前服務(wù)，其對應(yīng)的概率為：P(T

λ2 >T)=1 2 λ1+λ2在此情形下，由辦事員2為小明提供服務(wù)，相應(yīng)的服務(wù)時間期望值為1/λ2。舉例舉例1(cont.)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布E(S)=E(T1)·P(T1<T2)+E(T2)·P(T1>T2)1 λ1 1 λ2 = · + ·λ1 λ1+λ22=

λ2 λ1+λ2最終可得：

λ1+λ2E(W)+E(S)= 3λ1+λ2舉例舉例2指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布CAB12的服務(wù)。已知兩位辦事員服務(wù)的時間服從速率為λi的指數(shù)分布i=1,指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布問：C最后一個離開郵局的概率是多少？舉例舉例2：方法一指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布假設(shè)A和B二人當中，指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布λ1/(λ1+λ2)。此時只剩下C和B在郵局辦理業(yè)務(wù)。根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性，接下來B先辦完事情離開的概率為λ2/(λ1+λ2)。類似地，B先辦完事情離開的概率為λ2/(λ1+λ2)。此時只剩下A和C在郵局辦理業(yè)務(wù)。根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性，接下來A先辦完事情離開的概率為λ1/(λ1+λ2)。因此，將兩種情形下的概率相加，最終可得：λ1λ+λ

λ2λ+λ

+ λ2λ+λ

λ1λ+λ

= 2λ1λ2(λ+λ)21 2 1 2 1 2 1 2 1 2舉例舉例2：方法二指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布若A是最后一個離開的，則第一步與B相比，B先完成服務(wù)；第二步與C相比，C先完成服務(wù)，因此指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布λ1+λ2λλ1+λ2

λ2 1+1+λ2

（λ2 ＼2λ1+λ1+λ2λ1+λ2 1+λ2 λλ1+λ21+λ2λ1+λ2λ=類似地，B最后一個離開郵局的概率為：λ=λ1+λ2λλ1+λ2

λ1 1+1+λ2

（λ1 ＼2λ1+λ1+λ2λ1+λ2 1+λ2 λλ1+λ21+λ2λ1+λ2λ==(λ于是，根據(jù)概率的完備性，λ==(λλ1+λ21??（λ1+λ21??

（λ1 ＼2λ1+λ1+λ2

2λ1λ2 1+1+λ2)2λ1+λ2 λ1+λ2λ1+λ2λ1+λ21+λ2)2定理定理4指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布τ1τ2τn～E(λ)τ1τ2τn相互獨立。則這些隨機Tn（Tn=τ1τ2···τn指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布f t e?λt

(λt)n?1 tTn()=λ

(n?1)!, ≥0即Tn服從Gamma分布，記作Tn～Γ(n,1/λ)；另外，Tn還服從埃爾朗（Erlang）分布，記作Tn～Erlang(n,λ)。泊松分布的概念泊松分布的概念泊松分布的概念泊松分布若隨機變量泊松分布的概念泊松分布P(X=n)=e?λ

λnn!, n=0,1,2,...則稱X服從均值為λ的泊松分布（ndistribution，記作：X～Poi(λ)。泊松分布的性質(zhì)泊松分布的性質(zhì)泊松分布的性質(zhì)泊松分布對于泊松分布X～Poi(λ泊松分布的性質(zhì)泊松分布E(X)=λ；E(X2)=λ+λ2；Var(X)=E(X2)?[E(X)]2=λ。定理定理泊松分布的性質(zhì)泊松分布／若Xi～Poi(λi),i=1,2,...,n，且Xi泊松分布的性質(zhì)泊松分布／ni=1n

Xi～Poi

ni=1

λi\若X～Poi(λ)，則下式成立：E[X(X?1)···(X?k+1)]=λk泊松分布與二項分布的關(guān)系。當n→∞時，二項分布將趨近于泊松分布，即：B(n,λ/n)→Poi(λ)舉例舉例3泊松分布的性質(zhì)泊松分布某保險公司的人壽險種有泊松分布的性質(zhì)泊松分布0.5%，并且每個人在一年內(nèi)死亡與否是相互獨立的。求在未來一年中，這1000人當中死亡人數(shù)為10人的概率。該問題可看作一個成功概率p=0.5%，試驗次數(shù)N=1000次，其中成功次數(shù)k=10次的二項分布。使用二項分布中的概率計算公式，可得：k10（N＼pk(1?p)N?k=（1000＼×0.00510×(1?0.005)1000?10=1.7996%k10×如果使用泊松分布進行近似計算，則有λ=Np=1000 0.5%=5，于是相應(yīng)的概率如下：×P(k=10)=

λke?λk!

510= e?510!

=1.8133%泊松過程的第一種定義方式泊松過程的第一種定義方式泊松過程的定義泊松過程τ1τ2τnE(λ)τ1τ2τn泊松過程的定義泊松過程Tn=τ1+τ2+···+τn,n≥1，T0=0。定義N(t)=max{n:Tn≤t}，N(t)稱為泊松過程，并且服從均值為λt的泊松分布，即：P[N(t)=n]=e?λt·

(λt)nn!, n=0,1,2,...解讀：τnn(n1)個顧客的時間間隔；TnnN(tt之前到達的顧客數(shù)量。因此，P[N(t)=nt之前到達的顧客數(shù)量n的概率。解讀：相關(guān)分布關(guān)系的圖示相關(guān)分布關(guān)系的圖示泊松過程泊松過程的定義N泊松過程泊松過程的定義N(t)τi～E(λ); Tn～Γ(n,1/λ); N(s)～Poi(λs) N(s)τi=Ti?Ti?1; N(s)=n,Tn≤s≤Tn+1τ4 τ3 τ1τ2321tT0=0 T1 T2 T3 T4 s兩組等價關(guān)系兩組等價關(guān)系泊松過程泊松過程的定義T0 T1 T2 T3 ···Tn?1 Tn t T泊松過程泊松過程的定義τ1 τ2 τ3 ··· τn s

τn+1“t時刻的計數(shù)不小于n的時刻不大于t{N(t)≥n}={Tn≤t}“t時刻的計數(shù)為t時刻介于計數(shù)為n和(n+1)的時刻{N(t)=n}={Tn≤t<Tn+1}泊松過程的第二種定義方式泊松過程的第二種定義方式泊松過程的定義泊松過程已知t時刻前的計數(shù)為n，即N(t)=泊松過程的定義泊松過程[t,t+?t]內(nèi)有以下概率：P[N(t+?t)=n]=1?λ?t+O(?t)P[N(t+?t)=n+1]=λ?t+O(?t)P[N(t+?t)=n+2]=O(?t)則稱N(t)是速率/強度為λ的泊松過程，即N(t)～Poi(λt)。泊松過程的性質(zhì)泊松過程的性質(zhì)泊松過程的性質(zhì)泊松過程N(0)=0泊松過程的性質(zhì)泊松過程N(t+s)?N(s)～Poi(λt),N(t+0)?N(0)=N(t)～Poi(λt)即：長度相等的時間段內(nèi)，事件發(fā)生個數(shù)的概率分布是相同的，也被稱為平穩(wěn)增量yincrement；N()具有獨立增量independentincremen，即對于t0<t1<···<tn，有：N(t1)?N(t0),N(t2)?N(t1),...,N(tn)?N(tn?1)均獨立。平穩(wěn)的含義平穩(wěn)的含義泊松過程的性質(zhì)泊松過程平穩(wěn)（stationary）可以細分為嚴平穩(wěn)（泊松過程的性質(zhì)泊松過程（weaklystationary）兩大類。所謂嚴平穩(wěn)，是指一個隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)不隨時間而發(fā)生改變；而寬平穩(wěn)也稱作協(xié)方差平穩(wěn)（covariancestationary，是指一個過程的協(xié)方差不隨時間而發(fā)生改變，即期望、方差和協(xié)方差不變。根據(jù)這一定義，泊松過程的增量明顯滿足寬平穩(wěn)的基本條件。引理引理泊松過程的性質(zhì)泊松過程N(tsN(s)t0λN(r)泊松過程的性質(zhì)泊松過程0≤r≤s相互獨立。若對任何0=t0<t1<···<tn,ki取值為正整數(shù)，且序列不減，則：P[N(tn)=kn|N(tn?1)=kn?1,...,N(t1)=k1]=P[N(tn)=kn|N(tn?1)=kn?1]舉例舉例4泊松過程的性質(zhì)泊松過程假設(shè)一個計數(shù)過程{N(t),t≥0}是速率為泊松過程的性質(zhì)泊松過程解答P[N(20)?N(18)=2]。解答根據(jù)泊松過程的增量平穩(wěn)性，可進行如下簡化：P[N(20)?N(18)=2]=P[N(2)=2]于是此處的t=2,n=2。結(jié)合速率λ=2，可得：P[N(t)=n]=

(λt)nen!

?λt最終可得：

P[N(2)=2]=

(2×2)22!

e?2×2

=8e?4

=14.65%P[N(20)?N(18)=2]=14.65%泊松過程的條件分布泊松過程的條件分布泊松過程的條件分布泊松過程關(guān)于泊松過程的條件分布問題，我們主要關(guān)注兩點：泊松過程的條件分布泊松過程到達次數(shù)的條件分布。到達時刻的條件分布舉例到達時刻的條件分布舉例泊松過程的條件分布泊松過程N(t)t分鐘內(nèi)到達商店的顧客數(shù)量。N(t)λ的N(tPoi(λt)N(t1T1是第一位顧T1s,s(0t泊松過程的條件分布泊松過程問題轉(zhuǎn)化為求解P[T問題轉(zhuǎn)化為求解P[T1≤s|N(t)=1]。思路：泊松過程泊松過程的條件分布由于{T1≤s}等價于{N(s)≥1}泊松過程的條件分布P[T1≤s|N(t)=1]=P[N(s)≥1|N(t)=1]需要注意的是，由于s≤t，在N(t)=1的前提條件下，N(s)不可能大于1，因此：P[T1≤s|N(t)=1]=P[N(s)=1|N(t)=1]=P[N(s)=1,N(t)=1]P[N(t)=1]=P[N(s)=1,N(t)?N(s)=0]P[N(t)=1]=P[N(s)=1]·P[N(t?s)=0]P[N(t)=1]·λse?λse?λ(t?s) s·= λte?λt =t到達時刻的條件分布結(jié)論到達時刻的條件分布結(jié)論泊松過程的條件分布泊松過程最終得到的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)如下：泊松過程的條件分布泊松過程F(s)=P[T1

s≤s|N(t)=1]=P[N(s)≥1|N(t)=1]=t條件概率密度函數(shù)：tf(s)=dF(s)=1, s∈(0,tt因此在t時刻之前有一個顧客到達的條件下，其到達的時刻T1服從[0,t]上的均勻分布uniformdistribution。問題引申問題引申思路：泊松過程泊松過程的條件分布取s1思路：泊松過程泊松過程的條件分布取s1<s2，使得s1≥T1,s2≥T2，構(gòu)造條件分布F(s1,s2)，表達式如下：F(s1,s2)=P（T1≤s1,2≤s2|N(t)=2)()2l。W71V172V2W推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程泊松過程的條件分布泊松過程1 lF(s1,s2)=PT1≤s1,T2≤s2|N泊松過程的條件分布泊松過程1 l=PN(s1)=1,N(s2)=2|N(t)=2l=P[N(s1)=1,N(s2)=2,N(t)=2]P[N(t)=2]=P[N(s1)=1]·P[N(s2)?N(s1)=1]·P[N(t)?N(s2)=0]P[N(t)=2]=P[N(s1)=1]·P[N(s2?s1)=1]·P[N(t?s2)=0]P[N(t)=2]λs1e?λs1·λ(s2?s1)e?λ(s2?s1)·e?λ(t?s2)==s1(s2?s1)t2

1(λt)2e?λt21= 22s1s2?2s221= 2t應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社40/應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社40/75條件分布和條件概率密度條件分布和條件概率密度泊松過程泊松過程條件概率密度：

泊松過程的條件分布F(s1泊松過程的條件分布

s2)=

2s1s2?2s21t21f(s1,s2)=

?2F(s1s2)?s?s

2=t21 2按照類似的方法可以得到在條件N(t)=n>0下，(T1,T2,...,Tn)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：f(s,s,...,s)=n!12 n tn應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社PAGE應(yīng)用隨機過程第四章泊松過程中國人民大學(xué)出版社PAGE42/75到達次數(shù)的條件分布到達次數(shù)的條件分布泊松過程的條件分布泊松過程()=]=如果s<t，且0≤m≤泊松過程的條件分布泊松過程()=]=[()=PNs[()=

m|Nt

n （n＼(s\m(

?s\n?mmt1t即在給定N(t)=n時，N(s)的條件分布是二項分布B(n,s/t)。mt1t到達次數(shù)的條件分布到達次數(shù)的條件分布(cont.)泊松過程的條件分布泊松過程由于s<t，且0≤m≤泊松過程的條件分布泊松過程|P[N(s)=mN(t)=n]=P[N(s)=m,N(t)=n]|P[N(t)=n]=P[N(s)=m,N(t?s)=n?m]P[N(t)=n]=P[N(s)=m]·P[N(t?s)=n?m]P[N(t)=n](λs)me?λs·[λ(t?s)]n?me?λ(t?s)= n!

(n?m)!e(λt)n λtn!esm·(t?s)n?m=m!(n?m)!· tnm=·tm·tn?m m=·tm·tn?m =·tt

sm·(t?s)n?m

（n＼mm

(s\m（?s＼?m到達次數(shù)的條件分布到達次數(shù)的條件分布(cont.)泊松過程的條件分布泊松過程P[N(s)=m|N(t)=n]=·（n＼泊松過程的條件分布泊松過程P[N(s)=m|N(t)=n]=·m t tmttm t tmtt根據(jù)最終的結(jié)果不難看出：到達次數(shù)的條件分布服從n次試驗中成功次數(shù)為m、成功概率為s/t的二項分布，即B(n,s/t)。注意注意泊松過程的條件分布泊松過程泊松過程的條件分布泊松過程|P[N(t)=nN(s)=m]=P[N(t)=n,N(s)=m]|P[N(s)=m]=P[N(s)=m]·P[N(t?s)=n?m]P[N(s)=m]=P[N(t?s)=n?m]?[λ(t s)]n?m?=(n?m)!

e?λ(t?s)泊松過程的變換泊松過程的變換泊松過程的變換泊松過程泊松過程的變換分為兩大類：一類是稀釋thinnin泊松過程的變換泊松過程（n，即若干個獨立的泊松過程可以合成一個泊松過程。泊松過程的稀釋泊松過程的稀釋泊松過程泊松過程的變換設(shè)(t)是速率為λ的泊松過程［即(t)～i(λt)，表示到t時刻p，且事件是否被N1(t)tN1(tPoi泊松過程泊松過程的變換p1p2p3···pnN1p1p2p3···pnN2(t)～SQB(p2λt)N(t)～SQB(λt)npi=1i=1

N3(t)～SQB(p3λt)·········nnN(t)～SQB(pλt)nn推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程泊松過程的變換泊松過程的變換泊松過程、 | 、 | ·P[N1(t)=n]= P[N1(t)=nN(t)=m+n]P[N(t)=m+n]m=0∞、（m+n＼n m ?λt(λt)m+n∞=m=0∞

n p(1?p)·e

(m+n)!m+nm!n!(m+n)!=、(m+n)!pn(1?p)m!n!(m+n)!P[N1(t)=n|N(t)=mn](mn)個事件當中，被記錄的事件n個的概率。由于事件是否被記錄是獨立的，因此這里可看作成功概p的二項分布，相應(yīng)的概率就是：1nP[N(t)=n|N(t)=m+n]=（m+n＼pn(1?p)m1n推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程(cont.)泊松過程的變換泊松過程、泊松過程的變換泊松過程、根據(jù)ex= x，可得：n=0n!P[NP[N(t)=n]=e?λt、(1?p)(λt)·p(λt)

m m n n1 m! n!m=0=e?λt=e?λtpλt)、[(1p)λt]n!?λt(pλt)n

m!m=0(1?p)λt

?pλt(pλt)n因此：

=e n! ·e

=e n!N1(t)～Poi(pλt)泊松過程的疊加泊松過程的疊加泊松過程泊松過程的變換假設(shè)N1(t),...,Nk(t)是獨立的泊松過程，速率分別為λ1,...,λk，則N1(t)+···+Nk(t)是一個泊松過程，并且速率為λ1+···+泊松過程泊松過程的變換N1(t)～SQB(λ1t)N2(t)～SQB(λ2tN3(t)～SQB(λ3t)

N(tSQB(寸n

λit)·········Nn(t)～SQB(λnt)

nN(t)=n

Ni(t)泊松過程的拓展泊松過程的拓展泊松過程的拓展前面所介紹的泊松過程，從嚴格意義上講是一種特殊的齊次泊松過泊松過程的拓展非齊次泊松過程；復(fù)合泊松過程；條件泊松過程。非齊次泊松過程非齊次泊松過程非齊次泊松過程泊松過程的拓展?jié)M足以下條件的計數(shù)過程{N(t):t≥0}就是強度函數(shù)為λ(t)的非齊次泊松過程（非齊次泊松過程泊松過程的拓展N(0)=0；rN(t)具有獨立增量性；rE[N(r)?N(s)]=

rsλ(t)dt, N(r)?N(s)～Pois

（rr注意：s注意：s

λ(t)dt＼。此時的時間間隔此時的時間間隔τ1,τ2,...不再服從指數(shù)分布，并且不滿足獨立性條件。當λ(t)=λ時，強度/速率不隨時間而發(fā)生改變，此時便是我們所熟悉的（齊次）泊松過程。非齊次泊松過程的性質(zhì)非齊次泊松過程的性質(zhì)非齊次泊松過程泊松過程的拓展非齊次泊松過程在t時刻計數(shù)為非齊次泊松過程泊松過程的拓展其中：

P[N(t)=n]=pn(t)=

[m(0,t)]nexp m tn! [?(0,)]exp m tm(s,t)=

trλ(t′)dt′rs非齊次泊松過程的期望和方差：E[N(t)]=Var[N(t)]=m(0,t)=

trλ(t′)dt′r0舉例舉例5泊松過程的拓展{X(t)t0λ(t泊松過程的拓展松過程，其中ω?=0。求E[X(t)]和Var[X(t)]。

非齊次泊松過程(1非齊次泊松過程2

cosωt)的非齊次泊E[E[X(t)]=Var[X(t)]= λ(t′)dt′= 2(1+cosωt′)dt′rt rt0= t′+ sinωt′1（ 102= t+ sinωt1（ω12ω＼1t′=0＼1′=t舉例舉例6非齊次泊松過程泊松過程的拓展設(shè)某路公共汽車從早晨5時到晚上21非齊次泊松過程泊松過程的拓展5200人/小時計算；58時乘客平均到達率線性增加，81400人/小時；818時保持平均到達率不變；18211400人/21200人/小時。假定乘客數(shù)在不重疊的時間間隔內(nèi)是相互獨立的。求12時至14時有2000人來站乘車的概率，并求出這兩個小時內(nèi)來站乘車的人數(shù)的期望值。舉例舉例6(cont.)思路：泊松過程的拓展非齊次泊松過程將剛開始的早晨5時記為時刻t=0，其他的時間以此類推，最終21時記為時刻t=16。由此可以得到乘客到達率的函數(shù)λ(t思路：泊松過程的拓展非齊次泊松過程λ(t)=

1400, t [3,13]∈200+400t, t∈[0,3]1400?∈200+400t, t∈[0,3]1400λ(t)2000 3 1316 t舉例舉例6(cont.)非齊次泊松過程泊松過程的拓展rr所要求的時間段應(yīng)當為t∈[7,非齊次泊松過程泊松過程的拓展rrm(7,9)=

9λ(t)dt=7

971400dt=1400×(9?7)=2800(人)7在12時到14時有2000名乘客到達的概率為：P ?m(7,9)[m(7,9)]n

?280028002000[N(9)?N(7)=2000]=e

n! =e

2000!相應(yīng)地，這段時間內(nèi)乘客數(shù)的期望值即為：m(7,9)=2800(人)復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展{S(t):t0就是復(fù)合泊松過程（compoundnprocess復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展··· ··· 、S(t)=Y1+Y2+ +YN(t)= Yii=1其中，{N(tt0λ的泊松過程；{Yii1是獨立同分布{Yi{N(tt0是獨立的。復(fù)合泊松過程與泊松過程復(fù)合泊松過程與泊松過程泊松過程的拓展復(fù)合泊松過程S(t)泊松過程的拓展復(fù)合泊松過程S(t) τ3 Y1tτ2τ1Y2τ4Y3Y4S(t)=Y1+Y2+···+YN(t)S(4)S(3)S(2)S(1)T0=0T1 T2 T3 T4復(fù)合泊松過程舉例復(fù)合泊松過程舉例1復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展假設(shè)N(t)是在時間段[0,t]內(nèi)到達某商店的人數(shù)，并且{N(t),t≥復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展是泊松過程。假設(shè)Yk是到達商店的顧客k消費的金額，如果假設(shè){Yk},k=1,2,...,N(t)是獨立同分布的隨機變量序列，并且與{N(t)}獨立，那么商店在時間段[0,t]內(nèi)的總營業(yè)額X(t)就是：、N(t)、X(t)= Yk, t≥0k=1這里的{X(t),t≥0}就是一個復(fù)合泊松過程。復(fù)合泊松過程舉例復(fù)合泊松過程舉例2復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展N(t[0t內(nèi)跳空上漲或下{N(t)t0Ykk次跳躍的{Yk},k12N(t是獨立同分布的隨機變{N(t)復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展那么在時間段[0,t]內(nèi)，該股票價格總的跳躍幅度X(t)就是：、N(t)、X(t)= Yk, t≥0k=1這里的{X(t),t≥0}也是一個復(fù)合泊松過程。隨機和隨機和定理：復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展Y1Y2μσ2，S(tY1Y2···YN(t){N(tt0λ的泊松S(t定理：復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展E[S(t)]=μλt, Var[S(t)]=λt(σ2+μ2)隨機和的期望隨機和的期望復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展由于{N(t)}是速率為復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展E[N(t)]=Var[N(t)]=λt首先求出E[S(t)]，具體如下：、 | 、 | ·E[S(t)]= E[S(t)N(t)=n]P[N(t)=n]n=0、nμ、nμ·λt)∞n=0∞

n!∞=μλt·∞=μλt·e

(n?1)!=μλt(n?1)!=μλt·e

?λt

(λt)kkk!n=0 k=0n=0k=0k!=μλt·e?λt·eλt=μλt隨機和的二階矩隨機和的二階矩復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展接下來求出E[S2(t復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展2 2 2 2 | ·E[S(t)]= E[S(t)N(t)=n]P[N(t)=n]n=0=、(=、(n2μ2+nσ2)·(λt)e?λtn=0∞

n!=μ2、=μ2、n2·(λt)e?λt+σ2、n·(λt)e?λtn!n=0∞

n!n=0∞=μ2、n2·P[N(t)=n]+σ2、n·P[N(t)=n]n=0=μ2E[N2(t)]+σ2E[N(t)]

n=0隨機和的方差隨機和的方差復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展1 l最后求出Var[S(復(fù)合泊松過程泊松過程的拓展1 l1 lVar[S(t)]=ES2(t)?[ES(t)]1 l=μ2EN2(t)+σ2E[(t)]?μ2E[(t)]21 l=σ2E[(t)]+μ2JE2(t)?{E[(t)]21 l=σ2E[N(t)]+μ2Var[N(t)]=λt(σ2+μ2)泊松過程的拓展條件泊松過程在風(fēng)險理論中，我們常常使用條件泊松過程來刻畫意外事件的發(fā)λΛ來表條件泊松過程示，當一段時間后頻率確定下來了，這個泊松過程就有了確定的參數(shù)λ。于是，意外事件發(fā)生的次數(shù)N(t)所服從的泊松分布就可以解釋為給定Λ=λ時，N(t)的條件分布。條件泊松過程的定義條件泊松過程的定義條件泊松過程也稱考克斯過程（Coxprocess）或雙隨機泊松過程（doublystochasticPoissonprocess，可以看作強度λ(t)為隨機變量的非λ(t)N(t)兩個隨機源。說明：條件泊松過程泊松過程的拓展Λ0Λλ{N(t),t0是條件泊松過程也稱考克斯過程（Coxprocess）或雙隨機泊松過程（doublystochasticPoissonprocess，可以看作強度λ(t)為隨機變量的非λ(t)N(t)兩個隨機源。說明：條件泊松過程泊松過程的拓展條件泊松過程的定理條件泊松過程的定理1條件泊松過程泊松過程的拓展假設(shè)隨機變量Λ的分布函數(shù)為G(·)，對應(yīng)的密度函數(shù)為g(·)，則事件在任意時間區(qū)間t內(nèi)，發(fā)生1條件泊松過程泊松過程的拓展PNt s Ns

n r∞e?λt(λt)ndG[(+)?

()=]==

0∞e?λt0

n!(λt)nn!

(λ)r, ?srg(λ)dλ例子：例子：條件泊松過程泊松過程的拓展N(tλmθGamma條件泊松過程泊松過程的拓展求：P[N(t)=n]。

g(λ)=θ

e?θ