景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢（一檢）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué) 2024.11本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷(選擇題)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=x∈Z|-2≤x≤0,B=x|x2-2x-3≤0,則A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,3]C.{-2,3}D.{-1,0}2.已知z=1+iA.一B.二C.三D.四3.已知a=20,A.1B.2C.3D.44.已知sinα+cosα=-A.-518B.518C.-55.過點(diǎn)A(0,1)且與曲線fxA.y=5x+1B.y=2x+1C.y=x+1D.y=-2x+16.函數(shù)fxA.5B.6C.7D.87.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(2x+1)是奇函數(shù),當(dāng)x>1時(shí).fx=log?2??1-1,則f(A.[0,1)∪[2,+∞)B.[0,1]∪[2,+∞)C.(-∞,0)∪[2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)8.甲烷是最簡(jiǎn)單的有機(jī)化合物，其分子式為CH?，它是由四個(gè)氫原子和一個(gè)碳原子構(gòu)成，甲烷在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個(gè)氫原子分別位于正四面體的頂點(diǎn)ABCD處，碳原子位于正四面體的中心O處.若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，則平面OAB和平面OCD位于正四面體內(nèi)部的交線長(zhǎng)度為()A.22C.63D高三數(shù)學(xué)第1頁共4頁二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是()A.函數(shù)fx=B.若a=11,a?bC.P是拋物線y2=2x上一點(diǎn),A(1,0),則|PA|的最小值為1D.已知兩直線l?:mx+2y-1=0與l?:x+(m-1)y+1=0,則“m=2”是“l(fā)?,l?互相平行”的充分不必要條件10.在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬人參加，其中男生有20萬人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取350人，其中m名男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?7分，n名女生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分.已知35萬人的數(shù)學(xué)成績(jī).X~N(μ,16),μ近似為樣本均值，則下列正確的是()參考數(shù)據(jù)：若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9974A.m=200B.總體是35萬人C.樣本均值為73.5D.估計(jì)該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績(jī)低于66分的約有7980人11.已知A，B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右頂點(diǎn),離心率為e,P(x?,y?)為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)∠PABA.|PA||PB|的值隨著x?的增大而減小B.C.tanα-tanβ≤2baD第II卷(非選擇題)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數(shù)列{an},a?=1且3a?,2a?,a?成等差,則(a????13.已知⊙C?:x2+y2-2ax-1+a2=0與⊙C?:x-12+y+12=r2r0),若存在實(shí)數(shù)14.甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.第一步，從甲口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入乙口袋；第二步，從乙口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入甲口袋；第三步，從甲口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球并記錄顏色.在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率是.高三數(shù)學(xué)第2頁共4頁四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知函數(shù)f(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱中心；(2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若fA=0,AB?BC=-16.(15分)如圖四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面PCD⊥平面PAD,PA=AD,PA⊥BC.(1)求證:CD⊥(2)求二面角B-PC-D的余弦值.17.(15分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓Γx2a2+y(1)求Γ的方程;(2)斜率為12的直線l交Γ于A，B兩點(diǎn)，P在以AB為直徑的圓上，求|OP高三數(shù)學(xué)第3頁共4頁18.(17分)已知函數(shù)fx=alnx+2x+b(1)已知b=-2,若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求a的最小值;(2)求證：存在常數(shù)m使得fx+fm(3)在(2)的條件下,若方程2f(x)-a=0存在三個(gè)根x?,x?,x?(x?<x?<x?),且x?+x?<e+1,求a的取值范圍.19.(17分)第一組數(shù)據(jù)((x?,x?,…,xn),其中x1<x2<?<xn,第二組數(shù)據(jù)z1z2?znzn+1,這n+1個(gè)數(shù)互不相等，z?,z?分別為其中最大與第二大的數(shù).先從第二組數(shù)據(jù)中剔除一個(gè)數(shù)(剩余數(shù)相對(duì)位置保持不變)得到一組新數(shù)據(jù)，若將該組數(shù)據(jù)中相鄰兩數(shù)對(duì)換位置稱為一次對(duì)換，經(jīng)過至少k次對(duì)換得到最終數(shù)據(jù)y1y2?yn,簡(jiǎn)記系數(shù)(1)第一組數(shù)據(jù)(-3,0,2,5,9),第二組數(shù)據(jù)(10,8,2,5,-1,4),若剔除10,經(jīng)過τ(k?)后得到(8,5,4,2,-1)擬合最佳;若剔除8,經(jīng)過τ(k?)得到(-1,2,4,5,10)最佳.求/k?+k?的值；(2)在一組互不相等的數(shù)的排列(a1a2?an中，定義在a?的右邊比其小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為a?的逆序數(shù).已知a?，a?的逆序數(shù)分別為n--l,n-3,剩余各數(shù)按相對(duì)順序從大到小排列.若經(jīng)過τ((3)若剔除z?后經(jīng)過至少m?次對(duì)換τ(m?)后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為r?.剔除z?后經(jīng)過至少m?次對(duì)換τ(m?)后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為r?.若r?r?<0,求證：m?+m?為定值，并求出該定值.雙擊打開原卷掃描版高三數(shù)學(xué)第4頁共4頁景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)參考答案第I卷(選擇題共58分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.1234567891011DDBCABBABCADABD1.D【解析】A={-2,-1,0},B=[-1,3],A∩B={-1,0}.故選D.2.D【解析】z=1+i2+i=1+i2-i53.B【解析】a-2b=4.C【解析】sin2α=2sinα5.A【解析】f'x=3x2+2,點(diǎn)A不在曲線上，由已知可求得切線過點(diǎn)(-1，-4)，得直線方程為,y=5x+17.B【解析】∵f(2x+1)是奇函數(shù),∴f(2x+1)+f(-2x+1)=0,即f(x)關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱.又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,故f(1)=0.6.B【解析】數(shù)形結(jié)合故選B.6.B【解析】數(shù)形結(jié)合故選B.且當(dāng)x>1時(shí)fx=log?2??1-1,令f(x)≥0,即log22x-1-1≥0,x>1,解得x≥2綜上所述,f(x)≥0的解集是[0,1]U[2,+∞).故選B.8.A【解析】分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F,不難發(fā)現(xiàn)平面OAB即平面FAB,平面OCD即平面ECD,∴平面OAB和平面OCD位于正四面體內(nèi)部的交線為線段EF，高三數(shù)學(xué)第1頁共9頁∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，不難計(jì)算得出|EF|=22.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分.9.BC【解析】∵cosπ2x-π2=sinπ2x,顯然f(x)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；b往a方向上的投影長(zhǎng)為a?b|a|=2,故B正確;設(shè)P(x?,y?),其中y02=2x0,∴|PA|=x0-12+y02=x0-12+2x0=x010.AD【解析】由分層隨機(jī)抽樣的特征可知：m=350×2035=200,故A正確；總體是35萬考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值知樣本均值x=77×2035+70×1535=74,故C錯(cuò)誤;∵μ=74,σ2=16,μ-2σ=66,P(X<μ-2σ≈1-0.95442=0.0228,11.ABD【解析】在△PAB中,由正弦定理可知|PA|||PB|=sinβsinα=sinπ-βsinα,顯然π-β，α均為銳角且隨著x?的增大分別減小與增大,即sin(π-β),由于為定值，故B正確；tanα-tanβ=y高三數(shù)學(xué)第2頁共9頁

∴tanα-tan∴S?tanα+β=-a2a2+b2?2第II卷(非選擇題共92分)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.12.32024【解析】由題知:∵3a?,2a?,a?成等差,∴4a?=3a?+a?,又{an}是公比不為1的等比數(shù)列，∴4q=3+q2,∴q=3,a????=32?2?.故答案為32?2?.13.2【解析】⊙C?:x-a2+y2=1,∴C?a0,半徑為1，⊙C?:x-12+y+12=r2,∴C?(1，-1)，半徑為r.若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內(nèi)切，∴|C?C?|=|r-1|.由于|C1C2|=a-114.15【解析】第一次給出黑球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為112,第一次給出黑球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為0，第一次給出白球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為2∴在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率112112高三數(shù)學(xué)第3頁共9頁四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.15.(本小題13分)解：1fx=該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：kπ+π12kπ+7π12令2x+π3=kπ,∴函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為3k-1π6-3,其中k2∵fA=0,∴sin2A+π3=32∴A=π6.∵AB?BCf解得：b=1c=3……11由余弦定理可知，a=b2+16.(本小題15分)解:(1)取PD中點(diǎn)E,連接AE,∵PA=AD,故AE⊥PD.∵AE⊥PD,平面PCD⊥平面PAD,AE?平面PAD,∴AE⊥平面PCD,∴AE⊥CD.……………4分又∵AD⊥CD,∴CD⊥平面PAD.…………6分(2)由上可知CD⊥PA,又PA⊥BC,∴PA⊥平面ABCD.……………7分如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.……8分∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),………………9分設(shè)平面PBC的法向量n1=x1y1z1高三數(shù)學(xué)第4頁共9頁解得分…………………………11同理，平面PDC的法向量…………………13∴平面PBC與平面PDC夾角余弦值…………14∵二面角B-PC-D為鈍角,…………………15分17.(本小題15分)解析:(1)由題意3a……………5分(2)設(shè)直線l為y=12x+m,設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),設(shè)AB聯(lián)立y=根據(jù)韋達(dá)定理可知x其中……………8∴Ml高三數(shù)學(xué)第5頁共9頁∴|AB|=52|∴|OP|≤|OM|+12|AB|=令等號(hào)分…………………14…………………………1518.(本小題17分)解:（1）依題意可知當(dāng)x>0時(shí),恒成立，…………………1即而的最小值為4,故a+4≥0,分…………3解得a≥-4,即a的最小值為-4.………4分2…………………6分解得m=eb=-2e即當(dāng)b=-2e時(shí),fx+fe(3)構(gòu)造函數(shù)gx=fx-a2=alnx+2x-數(shù)函數(shù)g（x）存在三個(gè)零點(diǎn)……………10分……………11高三數(shù)學(xué)第6頁共9頁若g(x)存在零點(diǎn)x?,且x3>e,由gx3+gex3=0可知，則g(x)必存在相應(yīng)的零點(diǎn)x?，且x1若g'x=ax+2+2ex2≥0恒成立，即a+2x+e若a<-4e,則g'e=ae+4<0,且g''x=-ax-4ex3>0,∴g'(x在(√e,+∞)上單調(diào)遞增,故g'(x)在(e+∞上存在零點(diǎn)x?，當(dāng)x∈ex0時(shí),g∵x?+x?<e+1,即x3+ex3<e+1,解得∴ge>gx?=0,即a>綜上所述，a的取值范圍是4-4e-4e.19.(本小題17分)解:(1)第一次將(8,2,5,-1,4)對(duì)換得到((8,5,4,2,-1),∴k?=3.…2分第二次將(10,2,5,-1,4)對(duì)換得到((-1,2,4,5,10),∴k?=7.故k?+k?=10.………………………4分(2)∵a?的逆序數(shù)分別為n--