專題02空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（重難點突破）原卷版

專題02空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。R點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.重難點題型突破重難點題型1空間向量的基本運算例1（1）、（2022·江蘇徐州·高二期末）已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．（2）、（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練11】、（2020·廣東順德德勝學(xué)校高二期中）設(shè)向量分別是平面的法向量，向量，若平行，則實數(shù)___________【變式訓(xùn)練12】、（2022·全國·高二單元測試）一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號）①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.重難點題型2利用空間向量研究平行問題例2（1）、（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則=_________．（2）、（2022·云南省下關(guān)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選題）如圖，在正方體中，M，N，P分別是的中點，則下列說法正確的有（

）A． B．平面C．與是異面直線 D．三棱錐與正方體的體積比為【變式訓(xùn)練21】、（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，

【變式訓(xùn)練22】、（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體體中，分別是棱的中點，以下說法正確的是（

）A．平面B．平面C．D．重難點題型3利用空間向量研究垂直問題例3（1）、（2021·陜西·延安市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中點，N是上的動點，則直線NO?AM的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直（2）、（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知平面α和平面β的法向量分別為，，且α⊥β，則x=________.【變式訓(xùn)練31】、（2021·浙江·高二期中）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則等于（

）A．1 B．1 C．2 D．2【變式訓(xùn)練32】、（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，平面，若在上只有一個點Q滿足，則a的值等于__________．重難點題型4線線角與距離問題例4（1）、（2022·湖南·高三開學(xué)考試）兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知則線段的長為（

）A．8 B． C． D．（2）、（2022·安徽·高三開學(xué)考試）在棱長均等的正三棱柱中，直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練41】、（2022·全國·高二單元測試）正方體的棱長為，點在上，且，為的中點，則的長為__．【變式訓(xùn)練42】、（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知正四棱柱，，，則直線與平面所成角的正弦值為___________.重難點題型5線面角例5、（2022·江蘇·寶應(yīng)縣教育局教研室高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【變式訓(xùn)練51】、（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）如圖，已知圓柱，過軸的截面圖形為正方形，點在底面圓周上，且，為的中點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.【變式訓(xùn)練52】、（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）在三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，?(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.

重難點題型6二面角例6、（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））如圖，在三棱錐中，底面分別為的中點，點都在棱上，，且滿足平面.(1)求的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值.

【變式訓(xùn)練61】、（2022·云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，已知AB為圓錐SO底面的直徑，點C在圓錐底面的圓周上，，，BE平分，D是SC上一點，且平面平面SAB．(1)求證：；(2)求平面EBD與平面BDC所成角的余弦值．【變式訓(xùn)練62】、（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））在多面體中，平面平面ABCD，EDCF是面積為的矩形，，，.(1)證明：.(2)求平面EDCF與平面EAB夾角的余弦值.課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點，是的中點，則直線，的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點，P為所在棱的中點，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）（多選題）如圖所示，若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為是的中點，則下列說法不正確的是（

）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選題）如圖，在三棱錐中，，，則（

）A．B．C．若點P是棱BC上任一點，則為定值D．三棱錐的體積是6．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（理））已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___．7．（2021·安徽·合肥一中高二期中）如圖，在菱形中，，