第八章第9節(jié)雙曲線漸近線的幾個(gè)常用結(jié)論-

第9節(jié)雙曲線漸近線的幾個(gè)常用結(jié)論知識(shí)與方法設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，則有以下結(jié)論：1.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b.2．如圖1所示，以為直徑的圓與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為.3．如圖2所示，過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作C的兩條漸近線的平行線，則它們與兩條漸近線所圍成的平行四邊形的面積是定值.4．如圖3所示，雙曲線C上任意一點(diǎn)P處的切線與C的兩條漸近線分別交于A和B兩點(diǎn)，則P為的中點(diǎn)，且的面積為定值.5．如圖4所示，A、B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，D為的中點(diǎn)，若直線、的斜率都存在，則它們的斜率之積為.典型例題【例1】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則F到雙曲線C的漸近線的距離為_______.【解析】解法1：由題意，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，漸近線為，即，從而F到漸近線的距離.解法2：由題意，雙曲線C的虛半軸長(zhǎng)，所以F到雙曲線C的漸近線的距離為1.【答案】1變式已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離之和為_______.【解析】解法1：由題意，，直線的方程為，代入雙曲線C的方程可求得，如圖，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，雙曲線的漸近線為，即，不妨考慮漸近線，則A、B兩點(diǎn)到該漸近線的距離乙和為.解法2：由題意，雙曲線的虛半軸長(zhǎng)，如圖，分別過A、B、F作其中一條漸近線的垂線，垂足分別為I、J、K，由本節(jié)的結(jié)論1，點(diǎn)F到漸近線的距離，而顯然是梯形的中位線，所以.【答案】2【反思】①梯形中位線的長(zhǎng)等于；②雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b.【例2】如下圖所示，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線C的漸近線交于A、B、D、E四點(diǎn)，則四邊形的面積為_______.【解析】解法1：由題意，，，雙曲線的漸近線為以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，可解得：或，所以，由對(duì)稱性可得四邊形是矩形，且，，所以四邊形的面積為.解法2：由本節(jié)結(jié)論2知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，顯然四邊形是矩形，且，，所以四邊形的面積為.【答案】變式（2019·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，可設(shè)，，，則，，所以，解得：或（舍去），從而，由知A為中點(diǎn)，所以，代入得：，整理得：，即雙曲線C的離心率.解法2：如圖，由知，又O為中點(diǎn)，所以，由知A為中點(diǎn)，所以，又，所以從而雙曲線C的一條漸近線的斜率，即，所以，從而，故.解法3：如圖，由知，所以點(diǎn)B是以為直徑的圓與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，由本節(jié)的結(jié)論2知，又，所以A為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)A在另一條漸近線上，所以，化簡(jiǎn)得離心率.【答案】2【例3】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為雙曲線C在第一象限上的一點(diǎn)，且軸，過A作C的兩條漸近線的平行線與雙曲線的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則四邊形的面積為_______.【解析】解法1：如圖，由雙曲線的通徑公式易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，雙曲線C的兩條漸近線為，所以圖中直線的方程為，與聯(lián)立可解得：，從而，直線的方程為，與聯(lián)立可解得：，所以，顯然，故，從而平行四邊形的面積.解法2：如圖，雙曲線C的兩條漸近線為，不妨設(shè)，，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅危?，故，代入可得：，化?jiǎn)得：，由原點(diǎn)三角形面積公式，所以平行四邊形的面積.解法3：由本節(jié)的結(jié)論3，四邊形的面積.【答案】【反思】①原點(diǎn)三角形面積公式：設(shè)，，則；②過雙曲線上一點(diǎn)A作兩條漸近線的平行線，他們與漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值，上面的解法2就是該結(jié)論的證明過程.變式已知A為雙曲線的右頂點(diǎn)，過A作C的兩條漸近線的平行線，分別與雙曲線的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】解法1：由題意，，雙曲線的兩條漸近線分別為如圖，直線的方程為與聯(lián)立可解得：，，所以由對(duì)稱性可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，顯然四邊形是菱形，其面積，由題意，，所以，故雙曲線C的離心率.解法2：由本節(jié)的結(jié)論3，四邊形的面積所以，離心率.【答案】2【例4】已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和B，則的面積為_______.【解析】解法1：設(shè)直線l的方程為，代入消去x整理得：，顯然，因?yàn)橹本€l與雙曲線C只有1個(gè)交點(diǎn)，所以，解得：，所以直線l的方程為，由對(duì)稱性，不妨考慮，即，雙曲線C的漸近線為，聯(lián)立解得：，所以聯(lián)立解得：，所以，如圖，.解法2：由題意，直線l是雙曲線C的切線，根據(jù)本節(jié)的結(jié)論4，..【答案】5【例5】已知直線與雙曲線的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則雙曲線C的漸近線方程為_______.【解析】解法1：如圖，雙曲線C的兩條漸近線為聯(lián)立，解得：，所以，聯(lián)立，解得：，所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以，從而，化簡(jiǎn)得：，所以雙曲線C的漸近線方程為.解法2：如圖，由題意，直線的斜率為1，直線的斜率為，由本節(jié)的結(jié)論5，雙曲線C的漸近線方程為【答案】變式（2014·浙江）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是_______.【解析】解法1：如圖，雙曲線的兩條漸近線，聯(lián)立可解得：，所以，聯(lián)立可解得：，所以，從而中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，顯然直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得：，不妨設(shè)，，則半焦距，所以雙曲線的離心率.解法2：如圖，取中點(diǎn)M，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，顯然直線的斜率為，所以的斜率為，故直線的方程為，聯(lián)立可解得：，所以，從而直線的斜率，由本節(jié)的結(jié)論5，，所以，進(jìn)一步可求得離心率.解法3：如圖，取中點(diǎn)M，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)Q，記，則，因?yàn)辄c(diǎn)滿，所以，顯然中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故，從而，所以，由本節(jié)的結(jié)論5，所以，進(jìn)一步可求得離心率.【答案】強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，則F到雙曲線C的漸近線的距離為_______.【解析】由題意，雙曲線C的虛半軸長(zhǎng)，所以F到雙曲線C的漸近線的距離為2.【答案】22.（2018·天津·★★★）已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn).設(shè)A、B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【解析】解法1：漸近線為，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線為，即，聯(lián)立解得：，不妨設(shè)，，由對(duì)稱性，漸近線不妨取，則，所以，故雙曲線為.解法2：如圖，由對(duì)稱性，中點(diǎn)為右焦點(diǎn)F，F(xiàn)到漸近線的距離為3，所以，又所以，故雙曲線C的方程為【答案】C3.（★★★）己知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)P，且，直線與雙曲線的另一漸近線交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】點(diǎn)P在以為直徑的圓上，如圖，由本節(jié)的結(jié)論2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又，且，所以，故，因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線的另一條漸近線上，所以，化簡(jiǎn)得雙曲線C的離心率.【答案】44.（★★★）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)P，若，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，設(shè)，，則，直線的方程為，聯(lián)立，解得：，故，因?yàn)?，所以直線的斜率為，從而，整理得：，不妨設(shè)，，則，所以雙曲線C的離心率.解法2：如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以，從而，故，所以，即直線的斜率為，直線是雙曲線C的漸近線，其方程為，所以，不妨設(shè)，，則，所以雙曲線C的離心率.解法3：如圖，由題意，，根據(jù)本節(jié)的結(jié)論3可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又，且直線的斜率為，所以，從而，故，所以，從而，兩端同除以可得：，解得：或（舍去）.【答案】5.（★★★）己知P為雙曲線上一點(diǎn)，過P作C的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于M、N兩點(diǎn)，則平行四邊形的面積為_______.【解析】由本節(jié)的結(jié)論3，四邊形的面積為.【答案】16.（★★★）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則_______.【解析】由題意，直線的斜率為1，直線的斜率為4，如圖，根據(jù)本節(jié)的結(jié)論5，，結(jié)合可得.【答案】27.（★★★★）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為A和B，且P為C上不與A、B重合的一點(diǎn)，直線、的斜率之積為3.（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，與C的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，求的面積.【解析】（1）由題意，，