三角函數(shù)中有關(guān)w的求解

三角函數(shù)中有關(guān)w的求解思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運(yùn)算可促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展；而邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式．運(yùn)算和推理貫穿于探究數(shù)學(xué)問題的始終，可交替使用，相輔相成．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)類型一．三角函數(shù)的周期T與ω的關(guān)系【典例1】函數(shù)的最小正周期為，則【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，，所以，得，所以．【解題技巧】解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T＝eq\f(2π,ω)與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系.【跟蹤訓(xùn)練】（2022福建廈門外國語高三模擬）為了使函數(shù)y＝sinωx(ω>0)在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為()A.98π B.eq\f(197,2)π C.eq\f(199,2)π D.100π【答案】B【解析】由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49eq\f(1,4)個(gè)周期，所以eq\f(197,4)T＝eq\f(197,4)·eq\f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq\f(197,2)π.故選B.類型二．三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系【典例2】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，令，則，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，所以，.故選：D.【解題技巧】若已知三角函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，進(jìn)而建立ω所滿足的不等式(組)求解【跟蹤訓(xùn)練】（2022山東青州一中高三模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，，由，有，，有，得.故選：B類型三．三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值與ω的關(guān)系【典例3】（1）（2022蘇州大學(xué)附中高三模擬）函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位()，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖象向右平移a個(gè)單位得的圖象，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以,因此a的最小正值為，故選D.（2）已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________.【答案】【解析】顯然ω≠0，分兩種情況：若ω>0，當(dāng)x∈時(shí)，－eq\f(π,3)ω≤ωx≤eq\f(π,4)ω.因函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－eq\f(π,3)ω≤－eq\f(π,2)，解得ω≥eq\f(3,2).若ω<0，當(dāng)x∈時(shí)，eq\f(π,4)ω≤ωx≤－eq\f(π,3)ω，因函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以eq\f(π,4)ω≤－eq\f(π,2)，解得ω≤－2.綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)ω≤－2或ω≥eq\f(3,2).【解題技巧】(1)若已知函數(shù)的對(duì)稱性，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性研究其周期性，進(jìn)而可以研究ω的取值；(2)若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練】已知直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，的圖象與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)間的最小距離為，那么函數(shù)（

）A． B．C． D．.【答案】D【解析】由，得或，所以相鄰的兩角的差為或，所以相鄰兩點(diǎn)中距離較小的應(yīng)滿足，又由，所以，故，因?yàn)橹本€為圖象的一條對(duì)稱軸，所以，解得，因?yàn)?，所以，?故選D.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法可求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有，而函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，因此．故選：D.2．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可知，，解得，又函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，根?jù)正弦函數(shù)圖象可知，，解得，所以的取值范圍是，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得，即可解決.【詳解】由題可知，，先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.所以的取值范圍為，故選：B4．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則（

）A． B．C．直線是曲線的對(duì)稱軸 D．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像變化結(jié)合誘導(dǎo)公式得出，即可得出與，判斷選項(xiàng)AB；根據(jù)三角函數(shù)解析式求出其對(duì)稱軸與對(duì)稱中心得出，即可判斷選項(xiàng)CD.【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，則解析式變?yōu)?，則，即，故A錯(cuò)誤；而，故B錯(cuò)誤；，令，即為的對(duì)稱軸，令，解得，即直線不是曲線的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；令，即為的對(duì)稱中心，令，解得，故點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故D正確；故選：D.5．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)為任意實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在任意一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問題，求出函數(shù)在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)，得到相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離為，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離不大于，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)，故函數(shù)的圖象可以任意平移，從而研究函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)問題，即研究函數(shù)在任意一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問題，令，得，則它在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)分別為，，，，，，則它們相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離分別為，，，，，故相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離為，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，所以要使函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則需相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最大距離不大于，相鄰五個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于，即，解得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解復(fù)雜問題時(shí)，要善于將問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，本題中的以及區(qū)間是干擾因素，所以排除干擾因素是解決問題的關(guān)鍵所在.6．（2023春·廣東廣州·高一廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的得到函數(shù)的圖象.若在上的最大值為，則的取值個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函數(shù)圖象的平移與伸縮變換求得的解析式，再由的范圍求得的范圍，結(jié)合在上的最大值為，分類求解得答案．【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象．再將橫坐標(biāo)縮短為原來的得到函數(shù)的圖象，由上，得，當(dāng)，即時(shí)，則，求得，當(dāng)，即時(shí)，由題意可得，作出函數(shù)與的圖象如圖：由圖可知，此時(shí)函數(shù)與的圖象在上有唯一交點(diǎn)，則有唯一解，綜上，的取值個(gè)數(shù)為2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查型的函數(shù)圖象的變換，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，屬難題．7．（2022秋·湖南·高二校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，得到.若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，只需函數(shù)在區(qū)間上恰好有5個(gè)，使得，從而確定在上恰有5條對(duì)稱軸．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可建立求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好有5個(gè)，使得，故在上恰有5條對(duì)稱軸．令，則在上恰有5條對(duì)稱軸，如圖：所以，解得．故選：B．8．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，兩個(gè)等式，，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，在上單調(diào)，則的最大值為（

）A．17 B．16 C．15 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意中的兩個(gè)等式可得的一個(gè)對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程，利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得且，依次分析選項(xiàng)求出得出相應(yīng)的解析式，依次驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】，，的一個(gè)對(duì)稱中心為，，，的對(duì)稱軸方程，有，解得，又，所以，，為奇數(shù)，在上單調(diào)，則，得，由選項(xiàng)知，需要依次驗(yàn)證，直至符合題意為止，當(dāng)時(shí)，，有，得，由得，此時(shí)，可以驗(yàn)證在上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，有，得，由得，此時(shí)，可以驗(yàn)證在上單調(diào)，符合題意；綜上，的最大值為15.故選：C．9．（（多選題）2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，則以下正確的是（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】根據(jù)相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為得到函數(shù)的最小正周期，從而求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，即函數(shù)的最小正周期為，故A正確；所以，解得，則，所以為奇函數(shù)，故B正確；又，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ABD10．（多選題）（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由且，可得出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出，其中，確定的可能取值，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)榍?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，其中，所以，，其中，解得，其中，所以，，可得，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ACD.11．（多選題）（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，以下正確的是（

）A．若的最小正周期為，則B．若，且，則C．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)且在不單調(diào)，則.D．當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的有成立，則的最小值為【答案】BCD【分析】由函數(shù)周期公式可判斷A；由題意得，結(jié)合函數(shù)周期公式可判斷B；若在單調(diào)，則且，結(jié)合得，則，驗(yàn)證題設(shè)條件可判斷C；由題意得，即，求得最小值可判斷D.【詳解】，，，故A錯(cuò)誤；，又，且，，，，故B正確；當(dāng)時(shí)，若在單調(diào)，則，且，，又，，則，由，得，此時(shí)在單調(diào)且在不單調(diào)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)閷?duì)任意的有成立，則，即，當(dāng)時(shí)，取最小值，故D正確．故選：BCD.12．（多選題）（2023秋·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)（A，，是常數(shù)，，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到A=2，，再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)，求得，得到函數(shù)的解析式，然后再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象得：A=2，,所以，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，所以，即，解得，即，因?yàn)椋?，所以，A.，故正確；B.，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以，故正確；D.將的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是，非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：AC.13．（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)無最值，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可求得取最值時(shí)的自變量值，由在區(qū)間上沒有最值可知，進(jìn)而可知或，解不等式并取的值，即可確定的取值范圍.【詳解】函數(shù)，由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，當(dāng)取得最值時(shí)滿足，解得，由題意可知，在區(qū)間上沒有最值，則則，，所以或，因?yàn)?，解得或，?dāng)時(shí)，代入可得或，當(dāng)時(shí)，代入可得或，當(dāng)時(shí)，代入可得或，此時(shí)無解.綜上可得或，即的取值范圍為.故答案為：.14．（2022春·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習(xí)），使得關(guān)于的不等式函數(shù)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】由三角恒等變化得出，再由的范圍得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗?因?yàn)?，所?要使得關(guān)于的不等式函數(shù)成立，只需.故答案為：15．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則使在上為增函數(shù)的的值可以為__________.（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)在，上單調(diào)遞增