442解三角形的實際應(yīng)用（針對訓(xùn)練）-2023年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準訓(xùn)練（新高考專用）

第四章三角函數(shù)與解三角形4.4.2解三角形的實際應(yīng)用（針對練習(xí)）針對練習(xí)針對練習(xí)一角、邊的最值1．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，然后用余弦定理可求出角C；（2），然后利用兩角差的正弦公式、輔助角公式化成正弦型即可.【詳解】（1）由正弦定理得：∴由余弦定理∵C為三角形的內(nèi)角∴（2）由（1）得，即，則∵，∴，∴【點睛】本題考查的是利用正余弦定理解三角形和三角恒等變換，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和余弦定理可得，即可求出；(2)根據(jù)題意和銳角三角形的性質(zhì)可得，利用三角恒等變換化簡可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.(1)整理得，故又，所以；(2)由銳角知，得，故，因為，得，所以.3．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，____________，求的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】【解析】【分析】若選①，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；若選②，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；若選③，由已知條件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值.【詳解】若選①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知條件得，由，得，由，得，∵，∴，，由正弦定理，有，∴，，∴，(其中，)∵，∴存在A，使得，此時取得最大值為.若選②：，∵A＋B＋C＝π，∴，，化簡得，由，得，∵，∴.下同①；若選③：，，由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.下同①.4．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若為銳角三角形，，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案；（Ⅱ）由正弦定理可得，然后由三角函數(shù)的知識可得答案.【詳解】（Ⅰ）由已知，結(jié)合正弦定理，得．再由余弦定理，得，又，則．（Ⅱ）由正弦定理可得．因為為銳角三角形，則，有，則．所以的取值范圍為．5．請在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并求解該問題.已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，且___________.(1)求角A的大??；(2)求邊b的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)，以及三角恒等變換求三角函數(shù)值，根據(jù)A的范圍確定其大小；（2）由（1）有，應(yīng)用正弦定理得，根據(jù)的范圍求b的取值范圍.(1)若選①：由正弦定理得，，即，故，因為A為銳角，所以；若選②：由正弦定理得，，即，因為，所以，則，因為A為銳角，所以；若選③：由題知，，，即，因為，所以，則，即，，則，所以；(2)由（1）知，，即，在銳角中，，由正弦定理得：，由，得：.針對練習(xí)二周長的最值6．在中，角A，B，C的對邊分別是.(1)求角C的大?。?2)若，求周長的最大值.【答案】(1)(2)最大值為6【解析】【分析】（1）由題設(shè)結(jié)合正弦定理得，再由和角公式及誘導(dǎo)公式化簡得，即可求出角C的大??；（2）先由余弦定理結(jié)合基本不等式求得，即可求出周長的最大值.(1)由及正弦定理得，即，因為，所以，所以，即，又，則，又，所以，所以，又，所以；(2)由余弦定理得，所以，當且僅當時取等號，所以周長的最大值為6.7．在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求三角形周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意邊化角，再由正弦和角公式，即可求解.(2)根據(jù)正弦定理，邊化角，有三角函數(shù)求最值.(1)因為所以所以因為、、為的內(nèi)角，所以所以，所以(2)由題意周長所以，所以，所以因為，所以，所以所以周長的取值范圍為.8．在中，內(nèi)角A，，所對的邊分別是，，，記的面積為S.已知_________.從①，②，③三個條件中選擇一個填在上面的橫線上，并解答下列問題.（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）(1)求角A的大小；(2)若邊長，求的周長的取值范圍.【答案】(1)無論選擇①②③，；(2)【解析】【分析】（1）若選①，由正弦定理邊化角可得，整理可得，根據(jù)A的范圍，可求得角A；若選②，正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式，可得整理可得，根據(jù)A的范圍，可求得角A；若選③，根據(jù)余弦定理、面積公式，代入化簡可得根據(jù)A的范圍，可求得角A；（2）根據(jù)（1）及正弦定理可得，根據(jù)兩角和的正弦公式、輔助角公式，整理可得，根據(jù)角B的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.(1)若選①，由正弦定理邊化角可得，因為，所以，所以，解得；若選②，由正弦定理邊化角可得，所以，所以，因為，，所以，解得；若選③，由余弦定理可得，所以，所以，所以因為，所以(2)由（1）得，由正弦定理得，所以，因為，所以，當時，有最大值為4，所以，所以的周長的取值范圍為9．在條件①，②(其中為的面積)中任選一個，補充在下面的橫線上，然后解答補充完整的題目．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且__________．(1)求角；(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對于條件①運用正弦定理，對于條件②運用余弦定理即可求出B；（2）先求出b，在運用余弦定理和基本不等式即可.(1)選擇①因為，由正弦定理得，因為，所以，因為．所以；選擇②因為，且，所以，則，因為，所以；(2)因為外接圓的周長為，所以外接圓的直徑為，由正弦定理得，則，由余弦定理得，因為，所以，即，當且僅當時，等號成立，又因為，所以，則．故周長的取值范圍為；綜上，，周長的取值范圍為.10．已知函數(shù)（）的最小正周期為．(1)求函數(shù)的最大值；(2)已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足且，求周長的取值范圍．【答案】(1)1(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡的解析式，根據(jù)的最小正周期求得，進而求得的最大值.（2）由求得，將三角形的周長用三角函數(shù)來表示，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得三角形的周長的取值范圍.(1)因為的最小正周期為，所以．所以．所以．所以的最大值為1．(2)．因為，，所以，．由正弦定理可得，所以，．因為，所以，．所以．因為，所以．所以．所以．所以周長的取值范圍為．針對練習(xí)三面積的最值11．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，的面積為S，且滿足，．(1)求A和a的大??；(2)若為銳角三角形，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用正余弦定理的邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)，即可求A和a的大??；（2）由銳角三角形得，根據(jù)正弦定理有，，最后利用三角形面積公式、三角恒等變換化簡，并由正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍.(1)因為，由正弦定理得：所以，所以，因為中，所以，因為，所以，因為，由余弦定理得：，解得，綜上，，．(2)由（1）知：，，由正弦定理得：，．因為為銳角三角形，故，得．從而的面積，又，，所以，從而的面積的取值范圍為．12．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知_____________．(1)求A；(2)若，求面積的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)【解析】【分析】對于條件①：兩邊邊的條件為齊次，化邊為角結(jié)合三角恒等變換可解得；對于條件②：邊的條件為齊二次，整理條件到余弦定理的結(jié)構(gòu)可解得；對于條件③：由正弦定理化角為邊，整理條件到余弦定理的結(jié)構(gòu)可解得.(1)（1）若選①：因為，根據(jù)正弦定理得，所以，所以．則，因為，所以，又，所以．若選②化簡得：，則，又，所以．

若選③：因為，根據(jù)正弦定理得，所以．即，因為，所以．(2)（2）因為，由，則，

，

又，所以，則的取值范圍為．13．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角A的大??；(2)若a=4，求△ABC面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡即可得到答案.（2）由為銳角三角形，可得角B的范圍，由正弦定理表示出面積，利用二倍角公式和輔助角公式化簡面積，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.(1)，因為，化簡得，因為，所以(2)由于為銳角三角形，則由正弦定理，所以因為，所以，故.14．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求△ABC面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式得到，根據(jù)三角形為銳角三角形，即可得到，再根據(jù)內(nèi)角和定理計算可得；（2）根據(jù)是銳角三角形，求出的取值范圍，再由正弦定理與三角形面積公式得到，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)計算可得；(1)解：根據(jù)題意，由正弦定理得，因為根據(jù)題意，所以，所以，故，由，，故，，消去，，得.，，故，而根據(jù)題意，所以.(2)解：因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又由正弦定理，，由三角形面積公式有：又因，，故，故.故的取值范圍是.15．從①；②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答（注：若選擇多個條件，按第一個解答計分）在中，，，分別是角，，的對邊，若______．(1)求角的大??；(2)若為中點，，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）選①：利用正弦定理和三角公式得到，再求出，即可得到；選②：利用正弦定理和余弦定理得到，再由，求出；選③：利用正弦定理和三角公式得到，再由，求出.（2）利用向量中線公式得到，兩邊平方得到，再利用基本不等式求出，即可求出的面積的最大值．(1)選①：由正弦定理，可化為：.又∵，∴，∴∴即.∵，∴，∴，即.∵，∴，故，選②∵及，∴，所以.由余弦定理得：.∵，∴選③∵及∴又∵∴∴∴，即.∵，∴.所以.∵，∴.(2)為中線，，，兩邊平方，有，∴（當且僅當時取等號），∴.∴針對練習(xí)四組合圖形問題16．如圖，在平面四邊形中，，，的面積為．⑴求的長；⑵若，，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式求得，再由余弦定理即可得到的長；（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的長．【詳解】⑴∵，，的面積為∴∴∴由余弦定理得∴⑵由（1）知中，，∴∵,∴

又∵，∴在中，由正弦定理得即,∴【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式在三角形中的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．如圖，在中，是邊的中點，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理計算可得；（2）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值，再利用余弦定理表示出，最后利用正弦定理即可求出的值．【詳解】解：（1）在中，，，；（2）由（1）知，，且，，是邊的中點，，在中，，解得，由正弦定理，可得．18．在平面四邊形中，為上一點，連接，已知，，，若.（1）求的面積；（2）求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，在中由余弦定理可求得，結(jié)合三角形面積公式即可得的面積.（2）由可得，從而證明，可求得.再在中由余弦定理即可求得的長.【詳解】（1）由題意可知，，則.在中由余弦定理可得，代入可得，解得，由三角形面積公式可得（2）因為，所以，則，因為，所以，則，所以，在中由余弦定理可得，代入可得，所以.【點睛】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，由相似三角形求線段長，屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，．（1）求；（2）若，求BC．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，結(jié)合已知，即可求得；（2）在中，應(yīng)用余弦定理，即可求得.【詳解】（1）中，由正弦定理可得：即，解得．因為，所以，所以．（2）由（1）知，所以，在中，由余弦定理可得：．因為BC的長度為正數(shù)，所以．【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的直接應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20．貴陽市黔靈公園熊貓館平面設(shè)計如圖所示，其中區(qū)域為熊貓生活區(qū)，，，區(qū)域為熊貓娛樂區(qū)，.現(xiàn)為了游客的安全起見，將熊貓娛樂區(qū)周圍筑起護欄.(1)若，求護欄的長度（的周長）；(2)設(shè)，當取何值時，熊貓娛樂區(qū)面積最??？最小面積是多少？【答案】(1)(2)，最小面積為.【解析】【分析】（1）首先由余弦定理求出，即可得到，利用銳角三角函數(shù)求出、，即可得解；（2）在中由正弦定理表示出，再在中，由正弦定理表示出，則，再根據(jù)三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得；(1)解：在中，，，，由余弦定理，∴.由知，又，，，所以，∴護欄的長度為.(2)解：在中，，，，∴，由正弦定理，∴，在中，由正弦定理，，∴，則熊貓娛樂區(qū)域的面積.又，則，∴當即時取最小值，最小值為，即熊貓娛樂區(qū)域的最小面積為.針對練習(xí)五中線、角分線、垂線21．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求B；(2)若，BM為AC邊中線，求BM的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角關(guān)系及余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可確定B的大小.（2）由（1）及題設(shè)可得外接圓的半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷BM最大時的位置關(guān)系，即可得BM的最大值．(1)由題設(shè)及正弦定理有，又，即，又，則.(2)由（1）及知：外接圓的半徑，如下圖示，由圖知：要使最大，只需共線且在兩側(cè)，所以.22．在中，角、、所對的邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若，求邊上的中線的長的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理角化邊的思想得出，利用余弦定理可求得的值，再結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）由（1）得出，由平面向量加法的平行四邊形法則可得出，可得出，進而可得出，再利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為以角為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得，則，由余弦定理得，，因此，；（2）由（1）得，.由平面向量加法的平行四邊形法則可得，所以，，即，由正弦定理，，，，由得，，，，則，所以，，則，因此，邊上的中線的長的取值范圍為.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形中線長的取值范圍的求解，涉及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.23．已知函數(shù).（1）求的對稱軸和單調(diào)區(qū)間；（2）在中，角，，的對邊為，，，若，，，求中線的長.【答案】（1）對稱軸為，；減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：，；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將化簡為，即可根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸和單調(diào)區(qū)間；（2）由可求出，再求出，即可根據(jù)正弦定理求出，再由余弦定理即可求出.【詳解】（1），令，解得，，∴函數(shù)的對稱軸為，，令，解得，令，解得，的遞減區(qū)間為：，；遞增區(qū)間為：，.（2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴.【點睛】本題考查由三角恒等變換化簡求三角函數(shù)性質(zhì)，考查正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.24．已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，角的角平分線交于點，，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進而可得，即可得解；（2）在中，由正弦定理可得，再由余弦定理即可得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，即，又，所以，，所以；（2）由（1）得，角的角平分線交于點，所以，又，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以.【點睛】解決本題的關(guān)鍵是正弦定理與余弦定理解三角形，合理轉(zhuǎn)化，細心計算即可得解.25．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大??；(2)若邊上的高為，且的角平分線交于點，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析．(1)由正弦定理得，得，因為，所以，即.(2)因為，所以.由余弦定理得，得（當且僅當時，等號成立），即.因為，所以.因為，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故的最小值為.針對練習(xí)六解三角形的實際應(yīng)用問題26．康平滕龍閣，位于康平縣中央公園中心，建在有“敖包朝霞”之稱的敖包山舊址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如圖，小明同學(xué)為測量滕龍閣的高度，在滕龍閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為8米，在地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，滕龍閣頂部C的仰角分別為和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，試替小明求滕龍閣的高度？（精確到0.01米）【答案】37.86米【解析】【分析】在中，利用正弦定理求得，然后在中，由求解.【詳解】解：由題意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.答：滕龍閣的高度約為37.86米.27．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC．【答案】．【解析】【分析】由，得到，又由，求得，在中，由正弦定理求得，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意知，則，又由，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，則，即山的高度為．28．如圖，河流上有一座橋，其長度，在橋的兩端，處測得空中一氣球的仰角分別為，，試求氣球的高度.【