第04講空間向量及其運算（原卷版）

第04講空間向量及其運算【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算題型二：共線向量定理的應(yīng)用題型三：共面向量及應(yīng)用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識點八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解。【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算例1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量例2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點中的兩個分別為起點和終點的向量中：（1）模為的向量是______；（2）的相等向量是______；（3）的相反向量是______；（4）的共線向量（平行向量）為______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．例3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，E為棱上任意一點.只考慮以長方體的八個頂點及點E的兩點為始點和終點的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負(fù)向量；(2)用另外兩個向量的和或差表示；(3)用三個或三個以上向量的和表示（舉兩個例子）.題型二：共線向量定理的應(yīng)用例4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，點E在對角線上，且，點F在棱上，若A、E、F三點共線，則________．例5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；(2)；(3).題型三：共面向量及應(yīng)用例6．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．例7．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖，從所在平面外一點O作向量，，，．求證：(1)，，，四點共面；(2)平面平面ABCD．題型四：空間向量的數(shù)量積例8．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．例9．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，E為的中點.（1）求，的大??；（2）求向量在向量方向上的投影的數(shù)量.題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角例10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的大小余弦值；(3)判斷與是否垂直．例11．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度例12．（2021·河北省博野中學(xué)高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，設(shè)．(1)求；(2)求．例13．（2022·浙江·樂清市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形），是棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．例15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·河南·高二階段練習(xí)）在正四面體中，F(xiàn)是的中點，E是的中點，若，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·杭師大附中高二期中）平行六面體中，，則的長為（

）A．10 B． C． D．3．（2022·陜西·乾縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）在長方體中，設(shè)為棱的中點，則向量可用向量表示為（

）A． B．C． D．4．（2022·山西·晉城市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）在棱長為的正方體中，是的中點，則（

）A．0 B．1 C． D．25．（2022·山東·菏澤市定陶區(qū)明德學(xué)校（山大附中實驗學(xué)校）高二階段練習(xí)）對于空間一點和不共線三點，，，且有，則（

）A．，，，四點共面 B．，，，四點共面C．，，，四點共面 D．，，，，五點共面6．（2022·陜西商洛·高二期末（理））在平行六面體中，點在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．7．（2022·江西·高二階段練習(xí)）已知點為所在平面內(nèi)一點，為平面外一點，若則的值為（

）A．1 B． C．2 D．8．（2022·遼寧實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）四面體ABCD的每條棱長均為2，點E?F?G分別是棱AB?AD?DC中點，則（

）A．1 B．1 C．4 D．4二、多選題9．（2022·遼寧沈陽·高二期中）如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說法中正確的是（

）A．B．C．直線AC與直線是相交直線D．與AC所成角的余弦值為10．（2022·江西·高二階段練習(xí)）已知空間四邊形OABC的各邊及對角線AC，OB的長度均相等，E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點，則（

）A． B．C． D．11．（2022·山東濰坊·高二期中）如圖所示，在長方體中，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（

）A．單位向量有8個B．與相等的向量有3個C．與的相反向量有4個D．向量共面12．（2022·山東·日照市教育科學(xué)研究中心高二期中）金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示.這就是說，圖2中有，若正四面體ABCD的棱長為2，則正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·河南·高二階段練習(xí)）在棱長為1的正四面體中，E，F(xiàn)分別是的中點，則________________．14．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高二階段練習(xí)）在三棱錐中，是平面內(nèi)一點，且，則__________.15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線上a，b分別取點，E和點A，F(xiàn)，使且．已知，，．則線段的長為____________．16．（2022·廣西·高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點，則______．四、解答題17．（2022·浙江·杭州四中高二期中）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．(1)用向量表示；(2)求．18．（2022·山東·泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)