專題06圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型

專題06圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型模型1、內(nèi)切圓模型【模型解讀】內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。例1．（2023春·云南德宏·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的內(nèi)切圓，連接，交于點(diǎn)D、E，已知，則圖中陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得圓心角的度數(shù)，然后根據(jù)扇形的面積公式即可解答．【詳解】解：∵，是的內(nèi)切圓，∴分別平分和，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓的知識，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及扇形面積的計算是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣東九年級期中）如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【答案】A【分析】連接OB，OC，先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】連接OB，OC．∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°∠A）=（180°70°）=55°，∴∠BOC=180°（∠1+∠3）=180°55°=125°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造三角形是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)．若，則．【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)先證明四邊形是矩形，可得，再由切線長定理可得，設(shè)，可得，，可得到關(guān)于r的方程，即可求解．【詳解】解：∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）若三角形的面積是24cm2，周長是24cm，則這個三角形內(nèi)切圓的半徑cm．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的面積三角形的周長內(nèi)切圓的半徑，即可求解．【詳解】解：如圖所示：設(shè)三角形ABC面積為S，周長為x，半徑為r,∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，∴OD＝OF＝OE＝r，∴S＝AC?r＋AB?r＋BC?r＝（AC＋AB＋BC）r＝xr．∵三角形的面積是24cm2，周長是24cm，這個三角形的內(nèi)切圓的半徑是，則，解得：．故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓和三角形的面積，將三角形分割得出面積與半徑之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例5．（2023·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是．【答案】9【分析】根據(jù)切線長定理，可得，由此即可解決問題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，∴，∴，∵，，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例6．（2023·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在矩形中，，，，，分別與相切于，，三點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，切點(diǎn)為，則的長為．【答案】【分析】連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4．∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3．∵DM是⊙O的切線，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN．在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3+=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）若四邊形的對角線，相交于O，，，，的周長相等，且，，的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則的內(nèi)切圓半徑是（）A．B．C．D．以上答案均不正確【答案】A【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，分別表示出四個三角形的面積，再根據(jù)由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得，進(jìn)而可得，由此列出方程，即可解出．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，則，由切線長定理可知：，，，，，，，，，，∴，同理：，，，

由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得：，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角的內(nèi)切圓與內(nèi)心性質(zhì)、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比的應(yīng)用．知道三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比是解答本題的關(guān)鍵．例8．（2023·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，在內(nèi)切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內(nèi)切圓與BC邊切于點(diǎn)D，則A到D的距離AD（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取內(nèi)切圓的圓心O，連接圓心與切點(diǎn)，由，可得∠BAC=60°，再根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，可知∠OAE=30°，從而得到AE=，CE=1，CD=1，再用勾股定理即可求解．【詳解】解：取內(nèi)切圓的圓心O，與AC，AB的切點(diǎn)E、F，連接OD、OE、OF．∵，，∴∠BAC=60°，∵內(nèi)切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴又∵OE=1，OE⊥AC（切線的性質(zhì)），∴AE=，∵OE⊥AC，OD⊥BC，，∴四邊形CDOE是矩形，又∵OD=OE，∴四邊形CDOE是正方形，∴CE=CD=OE=1，

∴AC=AE+CE=+1，在Rt△ACD中，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確畫出的輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點(diǎn)，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。例1．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，∠BOC=140°，則∠BIC的大小是．【答案】125°或145°【分析】外心中，利用圓心角與圓周角的關(guān)系定理，分類求得∠BAC的度數(shù)，內(nèi)心時，利用∠BIC=90°+∠BAC，計算即可．【詳解】解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC=∠BOC=×140°=70°（如圖1）或∠BAC=180°﹣70°=110°，（如圖2）。∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BIC=90°+∠BAC，當(dāng)∠BAC=70°時，∠BIC=90°+×70°=125°；當(dāng)∠BAC=110°時，∠BIC=90°+×110°=145°；即∠BIC的度數(shù)為125°或145°．故答案為：125°或145°．【點(diǎn)睛】本題考查外心，內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角與圓心角關(guān)系定理，熟練掌握外心，內(nèi)心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O，I分別是銳角的外心、內(nèi)心，若，則的度數(shù)為．【答案】/24度【分析】連接，先計算出，再利用外心性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，則，利用圓周角定理得到，接著計算出，再根據(jù)三角形內(nèi)心即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖，∵，∴，∵O點(diǎn)為的外心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵I為的內(nèi)心，∴平分，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心定義．例3．（2023·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝，內(nèi)切圓半徑r＝．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出內(nèi)心和外心都在底邊的高AD上，根據(jù)勾股定理得出方程，即可求出外接圓的半徑，根據(jù)三角形的面積公式即可求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，∴過A作AD⊥BC于D，則外接圓的圓心O在AD上，連接OB、OC，∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，∴R2=（6R）2+82，∴R=；如圖，過A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC的外心I在AD上，過I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，連接OA、OB、OC，則IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，∴由三角形的面積公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=，即三角形ABC的外接圓半徑R=，內(nèi)切圓半徑r=，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，三角形的外接圓和內(nèi)切圓等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．例4．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．若．則外心與外心的距離是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接AC，作于F，AC與BD、DF交于點(diǎn)E、G，先證明E是的外心，G是的外心，在中，根據(jù)即可解題．【詳解】如圖，連接AC，作于F，AC與BD、DF交于點(diǎn)E、G，垂直平分BD，，是等邊三角形，是等腰直角三角形是的外心，是的外心，在中，在中，故外心與外心的距離是5故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．例5．（2023·浙江·九年級期末）如圖，點(diǎn)C，D在以AB為直徑的半圓O上，，切線DE交AC的延長線于點(diǎn)E，連接OC．（1）求證：∠ACO＝∠ECD．（2）若∠CDE＝45°，DE＝4，求直徑AB的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）由，可得∠A＝∠B，內(nèi)接四邊形可得出∠ECD=∠B，進(jìn)而得出∠ACO＝∠ECD；（2））連接OD，由切線的性質(zhì)可得出∠ODE＝90°，進(jìn)而得出∠CDO＝∠DCO=45°，再根據(jù)已知條件計算出∠E=∠ECD，得到CD=DE＝4，再利用勾股定理求出半徑，進(jìn)而得出答案；【詳解】（1）證明：∵，∴∠A＝∠B；∵ABDC是內(nèi)接四邊形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO＝CO；∴∠ACO＝∠A∴∠ACO＝∠ECD（2）連接OD∵DE是圓的切線∴∠ODE＝90°，∵∠CDE＝45°，OC=OD∴∠CDO＝∠DCO=45°，∴∠COD＝90°，∵，∴，∴∠AOC＝∠DOB=45°，∴AO＝OC，∴∠ACO＝∠A=；∵∠DCO=45°，∴∠ECD=180°45°67.5°=67.5°，∵∠E=180°∠CDE∠ECD=180°45°67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE＝4，∵∠COD＝90°，∴∴，即∴OC=故⊙O的半徑為，∴直徑AB的長，【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，內(nèi)接四邊形，切線性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．例6．（2023湖北武漢九年級上期中）如圖，點(diǎn)A、P、B、C為⊙O上四點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）△ABC是等邊三角形；證明見解析；（2）PC＝PB+PA．【分析】（1）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．證明三個內(nèi)角都是60°即可；（2）證明△PBM是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．（2）圖形如圖所示，由圓周角定理可知∠BAP=∠BCP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAP=∠BCM，∠PBM＝60°，∴點(diǎn)M恰好在CP上，∵∠BPM＝∠PBM＝60°，∴△PBM是等邊三角形，∴PB＝PM，∴PC＝PM+CM＝PB+PA，故答案為：PC＝PB+PA．【點(diǎn)睛】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵掌握圓周角定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．例7．（2023重慶九年級上期中）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BP的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：△ADP∽△BDA；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長．【答案】（1）證明詳見解析；（2）PA+PB=PC，證明詳見解析；（3）．【詳解】試題分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進(jìn)而得出答案；（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進(jìn)而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的長，進(jìn)而得出△ADP∽△CAP，則，則AP2=CP?PD求出AP的長，即可得出答案．試題解析：（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；（2）PA+PB=PC，證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，∴AP2=CP?PD，∴AP2=（3+AP）?1，解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓周角定理；全等三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖所示，內(nèi)接于，點(diǎn)M為的內(nèi)心，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角和定理求出根據(jù)點(diǎn)M為的內(nèi)心可得由三角形外角的性質(zhì)得出根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出．【詳解】解：∵且，∴∵點(diǎn)M為的內(nèi)心，∴∴∴∵且∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD落到對角線AC上時，點(diǎn)E恰與圓心O重合，已知AE＝6，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半徑是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE【答案】D【分析】⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)半徑為r，切點(diǎn)分別為F、G、H，連接OG、OH，則四邊形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，選項(xiàng)A、B、C正確；由勾股定理得：CE＝，選項(xiàng)D不正確．【詳解】解：⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)半徑為r，切點(diǎn)分別為F、G、H，連接OG、OH，如圖：則四邊形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切線長定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O的半徑是2，所以選項(xiàng)A、B、C正確；由勾股定理得：，選項(xiàng)D不正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識；熟練掌握切線長定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，若∠BAP＝50°，則∠BPC的度數(shù)為(

)A．100° B．110° C．140° D．130°【答案】C【分析】由點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∠BAP＝50°，得到∠BAC＝2∠BAP＝100°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB＝80°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PBC+∠PCB＝×80°＝40°，于是得到結(jié)論．【詳解】∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∠BAP＝50°，∴∠BAC＝2∠BAP＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，∴∠PBC+∠PCB＝×80°＝40°，∴∠BPC＝180°﹣40°＝140°，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，正確理解∠PBC+∠PCB＝(∠ABC+∠ACB)是關(guān)鍵．4．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，的周長為14，則的長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周長為14，可求BC的長．【詳解】解：與，，分別相切于點(diǎn)，，，，，的周長為14，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·河北邢臺·九年級邢臺三中?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓（圓心為點(diǎn)O）與各邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接，．以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交于G，H兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)G，H為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)P；作射線．給出下列結(jié)論：①射線一定過點(diǎn)O；②點(diǎn)O是三條中線的交點(diǎn)；③點(diǎn)O是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)；④點(diǎn)O是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由作圖知，射線是的角平分線，由內(nèi)切圓圓心是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)知，可判定①正確，③錯誤；是的外接圓，則其三邊垂直平分線的交點(diǎn)是圓心O，故可判定④正確，②錯誤；從而可作出選擇．【詳解】解：由作圖知，射線是的角平分線，∵的內(nèi)切圓圓心是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，∴射線一定過點(diǎn)O，故①正確，③錯誤；∵是的外接圓，而三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是三角形外接圓的圓心，故④正確，②錯誤；∴正確的是有2個，是①與④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖：作角平分線，三角形的外接圓與內(nèi)切圓的知識，掌握這些知識是解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵．6．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，是等腰的外接圓，為弧上一點(diǎn)，為的內(nèi)心，過作，垂足為，若，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，于，連接，在上截取，連接，易證，推出是等腰直角三角形，進(jìn)而得到四邊形是正方形，推出，得到，同理得到，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：作于，于，連接，在上截取，連接，

是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，是的內(nèi)心，，，四邊形是正方形，，，，，，同理：，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓和內(nèi)心．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．7．（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，所對弧的度數(shù)為．的角平分線分別交于于點(diǎn)D、E，相交于點(diǎn)F．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論一定正確的序號數(shù)是(

)A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④【答案】B【分析】由，可得出．再根據(jù)的角平分線分別是，即得出，從而可求出，故①正確；由題意可知，．若成立，則應(yīng)有，即，從而可解出，進(jìn)而得出，而題意沒有條件可以說明是，故②錯誤；作，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，從而得出，即證明，得出，故③正確；由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線交點(diǎn)，故不一定成立，因此④不正確．【詳解】解：∵，∴．∵的角平分線分別是，∴，∴，故①正確；∵，，又∵若成立，則應(yīng)有，∴，∴，∴，而根據(jù)題意，沒有條件可以說明是，故②錯誤；如圖作，∵點(diǎn)F是內(nèi)心，∴，，∴，∴，∴，故③正確；由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點(diǎn)，故不一定成立，因此④不正確．故本題正確的結(jié)論為①③．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，求角的余弦值，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)為的內(nèi)切圓的圓心，連接AI并延長交的外接圓于點(diǎn)，連接BD．已知，，則AI的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)切圓的圓心為三條角平分線的交點(diǎn)，可知，，利用三角形外角的性質(zhì)可得，利用同弧所對的圓周角相等可得，進(jìn)而可證，推出，則．【詳解】解：點(diǎn)為的內(nèi)切圓的圓心，平分，平分，，，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、三角形外角的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角證明．9．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，是的切線，D，B為切點(diǎn)，交于點(diǎn)E，的延長線交BC于點(diǎn)F，連接，給出以下四個結(jié)論：①；②E為的內(nèi)心；③，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】如圖所示，連接，先證明，得到，再由圓周角定理得到即可判斷①；根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而推出則是的角平分線，同理可證得是的平分線，即可判斷②；若若，則應(yīng)有，應(yīng)，進(jìn)而推出而的度數(shù)不一定是60度，即可判斷③．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵是的切線，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴，即是的角平分線，同理可證得是的平分線，∴E為的內(nèi)心，故②正確；若，則應(yīng)有，應(yīng)有，∴，∴而的度數(shù)不一定是60度，故③不正確；因此正確的結(jié)論有：①②．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，內(nèi)心的概念，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，交的外接圓于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論：①平分；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)和圓周角定理判斷即可．【詳解】∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴AE平分∠BAC，故①正確；∴∠BAD＝∠DAC，∴，故②正確；∴∠DBC＝∠BAD，故③正確；∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠BAD，∴△DFB∽△DBA，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定解答．11．（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知，，，是的內(nèi)切圓，點(diǎn)E、F、D分別為切點(diǎn)，則的長為．【答案】【分析】先由勾股定理求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)證得四邊形是正方形，再利用等面積法求得、，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵是的內(nèi)切圓，點(diǎn)E、F、D分別為切點(diǎn)，∴，，∴四邊形是正方形，∴，連接，，∵，∴，解得：，則，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓和正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線，利用等面積法求解是解答的關(guān)鍵．12．（2023秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考期末）三角形的周長為，三角形的內(nèi)切圓的半徑為，則這個三角形的面積為．【答案】10【分析】根據(jù)三角形的面積求解即可．【詳解】解：三角形的周長為，三角形的內(nèi)切圓的半徑為，三角形的面積，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，如果三角形三邊長分別為、、，內(nèi)切圓半徑為，則三角形的面積．13．（2023重慶九年級上期中）已知一個直角三角形的兩直角邊長分別為6和8．設(shè)它的外接圓半徑長為R，內(nèi)切圓半徑長為r，則．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，由勾股定理求斜邊，即可求出，設(shè)內(nèi)切圓半徑長為r，由切線長定理得，所以，即可得到的值．【詳解】如圖所示：∵，，∴，∴外接圓半徑為5，∴，設(shè)內(nèi)切圓半徑長為r，∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓，熟記直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點(diǎn)和切線長定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】先根據(jù)同弧所對的圓周角相等求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)得到，，，，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、三角形的內(nèi)心及角平分線的定義定義、三角形的內(nèi)角和定理，理解三角形的內(nèi)心定義是解答的關(guān)鍵．15．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)心，的延長線與的外接圓相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接、、、．下列說法：①，②，③；④點(diǎn)是的外心；正確的有．（填寫正確說法的序號）【答案】①③④【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可對①進(jìn)行判斷；利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；利用，和三角形內(nèi)角和定理得，可對③判斷；通過證明，可得，在證明，可對④進(jìn)行判斷．【詳解】∵是的內(nèi)心，∴AD平分，即，∴繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度一定能和重合，∴①正確；∵是的內(nèi)心，∴點(diǎn)I到三角形三邊距離相等，∴②錯誤；∵BI平分，CI平分，∴，，∵∴③正確；∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B、I、C在以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑的圓上，即點(diǎn)是的外心，∴④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外心，熟練掌握三角形內(nèi)切圓以及內(nèi)心的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，，則的長是．【答案】【分析】連結(jié)OB，OC，OA，過O點(diǎn)作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求DE．【詳解】解：連結(jié)OB，OC，OA，過O點(diǎn)作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4＋1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD?BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝，∴AD＝AG＋GD＝，∵連接BE,AD與BE相交于D，∴∠BED=∠ACD，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的難點(diǎn)是求出AD的長．18．（2023春·四川達(dá)州·九年級四川省渠縣中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，，則的內(nèi)心與外心之間的距離為.【答案】【分析】作DF⊥BA于F，連接AD，DC．只要證明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四邊形BEDF是正方形，BD是對角線，作△ABC的內(nèi)切圓，圓心為M，N為切點(diǎn)，連接MN，OM．由切線長定理可知：AN=4，推出ON=54=1，由面積法可知內(nèi)切圓半徑為2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解決問題．【詳解】作DF⊥BA于F，連接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE，∵∠DFA=∠DEC=90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF=CE，∵BD=BD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF=BE，∴四邊形BEDF是正方形，BD是對角線，∵BD=7，∴正方形BEDF的邊長為7，由（2）可知：BC=2BEAB=8，∴AC==10，作△ABC的內(nèi)切圓，圓心為M，N為切點(diǎn)，連接MN，OM．由切線長定理可知：AN==4，∴ON=54=1，由面積法可知內(nèi)切圓半徑為2，在Rt△OMN中，OM=．∴△ABC的內(nèi)心與外心之間的距離為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題19．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，的內(nèi)切圓與，分別相切于點(diǎn)，，連接，的延長線交于點(diǎn)F，則．

【答案】/35度【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線長定理，可以計算出∠AOB的度數(shù)和∠OGF的度數(shù)，然后即可計算出∠AFD的度數(shù)．【詳解】解：連接，，，交于點(diǎn)G，，，點(diǎn)O為的內(nèi)切圓的圓心，，，，，垂直平分，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓、切線長定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（2023·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠B＝90°．(1)若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圓的半徑；②求Rt△ABC內(nèi)切圓的半徑；(2)連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半徑．【答案】(1)①;②1(2)【分析】（1）①先求得線段AC的長度，然后取AC的中點(diǎn)H，得到AH的長即為△ABC的外接圓半徑；②過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，然后可得四邊形OEBF是正方形，設(shè)半徑為1，結(jié)合點(diǎn)O是的內(nèi)心可得AF，CE的長度，然后由切線長定理得到，，進(jìn)而得到，最后利用勾股定理求得r的值；（2）設(shè)半徑為r，得到，，由內(nèi)心的定義可知，然后利用正切值求得的大小，即為結(jié)果．【詳解】（1）解：（1）①如圖1，取AC的中點(diǎn)H，∵，∴點(diǎn)H是的外接圓圓心．∵，，，∴A，∴的外接圓半徑為；②如圖2，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則．，∴四邊形OEBF是正方形，設(shè)半徑為r，則，是的內(nèi)切圓，，，∴，，∴.，在中，，，解得或(不符合題意舍去)，內(nèi)切圓的半徑為l；（2）解：如圖2，設(shè)半徑為r，則，．是的內(nèi)切圓，.，,，解得，的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)、解直角三角形，熟知圓的切線長定理是解題關(guān)鍵．21．（2023·湖北荊門·中考模擬）已知銳角的外接圓圓心為，半徑為．（1）求證：；（2）若中，求的長及的值．【答案】（1）見解析；（2）BC=,sinC=；【分析】（1）如圖1，連接并延長交于，連接，于是得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如圖2，過作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，連接并延長交于，連接，則，，；（2），同理可得：，，，如圖2，過作于，，，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）閱讀材料并解答問題：與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，，與正邊形各邊都相切的圓叫做正邊形的內(nèi)切圓，設(shè)正邊形的面積為，其內(nèi)切圓的半徑為，試探索正邊形的面積．如圖①，當(dāng)時，設(shè)切于點(diǎn)，連結(jié)，，，，．在中，，，，,,．(1)如圖②，當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程可求得：；(2)如圖③，當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程求；(3)如圖④，根據(jù)以上探索過程，請直接寫出．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）如圖②，要求正四邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題；（2）如圖③，要求正五邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題；（3）如圖④，要求正n邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題．【詳解】(1)（根據(jù)題干中的規(guī)律進(jìn)行解答）(2)如圖③，當(dāng)時，設(shè)切于點(diǎn)，連結(jié)，.，又，，，.，．(3)．【點(diǎn)睛】本題考查的是內(nèi)切圓，熟練掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長．

【答案】(1)∠BOC=117.5°(2)AF＝6【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和可求度數(shù)；（2）設(shè)，，，根據(jù)切線長定理，構(gòu)建方程組解決問題即可．【詳解】（1）解：（1）的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)、、，，，∵，，；（2）是的內(nèi)切圓，，，，設(shè)，，，又，，，，解得，；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，解三元一次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）過點(diǎn)F作，垂足分別為，則，進(jìn)而表示出兩個三角形的面積，即可求解；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，表示出兩三角形的面積，即可求解；（3）連接，證明得出，證明，得出，即可，恒等式變形即可求解；（4）連接，證明，得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點(diǎn)F作，垂足分別為，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∵，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，

∵，∴，由（1）可得，∴；（3）證明：連接，

∵∴∴∴，∴∵，∴，又，∴，∴，∴；∴，∴，（4）解：如圖所示，連接，

∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)與定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，是等腰的外接圓，，為上一點(diǎn)，為的內(nèi)心．

(1)求證：；(2)過點(diǎn)作，垂足為，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由圓周角定理及等腰三角形性質(zhì)可知，，由為的內(nèi)心，可知，進(jìn)而可得；（2）過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為，，在上截取，使，連接，．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易證可得，，進(jìn)而求得，由是的內(nèi)心，可知，，都是切點(diǎn)，根據(jù)切線長定理可知，，．由可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵是直徑，∴．∵為的內(nèi)心，∴，∵是等腰直角三角形，∴．∴．∴；（2）解：過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為，，在上截取，使，連接，．

∵是等腰直角三角形，∴，，又，∴．∴，．∴．∴，∵是的內(nèi)心，，，都是切點(diǎn)，∴，，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線長定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解決問題的關(guān)鍵．26．（2022秋·廣東茂名·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，與的角平分線相交于點(diǎn)，的延長線交的外接圓于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)證明：點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心的同一個圓上；(3)若，，求內(nèi)心與外心之間的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用角平分線，得到，利用圓周角定理，得到，即可得出；（2）連接，根據(jù)，得到，得到，根據(jù)角平分線，得到，再根據(jù)，得到，得到，從而得到，即可得證；（3）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一，求出的長，垂徑定理求出的長，進(jìn)而求出的長，利用圓周角定理以及勾股定理求出的長，進(jìn)而得到的長，用的長減去的長，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴；（2）證明：連接，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心的同一個圓上；（3）解：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，∵，平分，∴，∴，∴，設(shè)，則：，，在中，，即：，解得：，即：，∵為的直徑，∴，，∴，∴，∴，∵與的角平分線相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)為的內(nèi)心，∴的長即為內(nèi)心與外心之間的距離，∴內(nèi)心與外心之間的距離為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，以及垂徑定理，是解題的關(guān)鍵．27．（202