《數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（第二版）》 課件 第1、2章　函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分

函數(shù)與極限第1章1目錄１.１函數(shù)的概念１.２初等函數(shù)１.３函數(shù)的極限１.４函數(shù)極限的運(yùn)算法則１.５函數(shù)的連續(xù)性2教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念和性質(zhì)；了解反函數(shù)的概念，并認(rèn)識(shí)反三角函數(shù)．2.掌握基本初等函數(shù)的定義，熟悉它們的圖像和性質(zhì)．3.理解復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的定義，會(huì)進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的分解．4.了解數(shù)列極限的含義；理解函數(shù)極限的概念，了解函數(shù)左、右極限的概念及其簡(jiǎn)單的計(jì)算．35.了解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念，會(huì)用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限，知道一些等價(jià)無(wú)窮小，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限．6.掌握極限的四則運(yùn)算法則；掌握用兩個(gè)重要極限求函數(shù)極限的方法．7.理解函數(shù)連續(xù)的定義和初等函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的間斷點(diǎn)；熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．41.1函數(shù)的概念5集合集合一般地，某些指定的對(duì)象組成的全體就是一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）．集合中的每個(gè)對(duì)象都稱(chēng)為這個(gè)集合的元素，集合可以用列舉法或描述法來(lái)表示．通常用大寫(xiě)英文字母A，B，C等表示集合，用小寫(xiě)英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．6實(shí)例考察中自變量的取值范圍是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)集，一些常用的數(shù)集及其記法如下表：7區(qū)間對(duì)于數(shù)集，還有一種更為簡(jiǎn)單的表示方法———區(qū)間．設(shè)a，b都是實(shí)數(shù)，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分別讀作“負(fù)無(wú)窮大”和“正無(wú)窮大”．“－∞”和“＋∞”不是數(shù)，僅僅是記號(hào)，“－∞”表示區(qū)間的左端點(diǎn)可以無(wú)限地減小，“＋∞”表示區(qū)間的右端點(diǎn)可以無(wú)限地增大．鄰域鄰域也是常用到的一個(gè)集合概念．設(shè)a與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞０，開(kāi)區(qū)間（a－δ，a＋δ）稱(chēng)為a的δ鄰域，記作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）稱(chēng)為a的去心δ鄰域，記作

（a，δ）．10函數(shù)的概念函數(shù)的定義在某一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x在某個(gè)非空的實(shí)數(shù)集D中的每一個(gè)值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（或稱(chēng)對(duì)應(yīng)法則）f，y都有唯一確定的值與x對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)y是x的函數(shù)，記作y＝f（x），x∈D．其中，x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量，x的取值范圍D稱(chēng)為函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值稱(chēng)為函數(shù)值．當(dāng)x取遍D中所有值時(shí)，所得到的函數(shù)值y的集合{f（x）丨x∈D}稱(chēng)為函數(shù)的值域．11由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)相等．函數(shù)的定義域的確定通常有以下兩種情形：對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定定義域；對(duì)抽象的算式表達(dá)的函數(shù)，約定定義域是使得函數(shù)表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱(chēng)為函數(shù)的自然定義域．12函數(shù)的表示法解析法（公式法）用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．列表法用表格來(lái)表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．圖像法在平面內(nèi)用圖像來(lái)表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量與因變量是相對(duì)的．例如，對(duì)于函數(shù)y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，則x就成為y的函數(shù)．13設(shè)函數(shù)y＝f（x），定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對(duì)于M中的每一個(gè)y值（y∈M），都可以從關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）確定唯一的x值（x∈D）與之對(duì)應(yīng)，那么所確定的以y為自變量的函數(shù)x＝f－1（y）就稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)，它的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镈．由此定義可知，函數(shù)y＝f（x）也是函數(shù)x＝f－1（y）的反函數(shù)，即它們互為反函數(shù)．習(xí)慣上，函數(shù)的自變量用x表示，因變量用y表示，所以把函數(shù)y＝f（x），x∈D的反函數(shù)記為y＝f－1（x），x∈M．函數(shù)y＝f（x）的圖像與其反函數(shù)y＝f－1（x）的圖像關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．14反三角函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R是沒(méi)有反函數(shù)的，但是在正弦函數(shù)y＝sinx的一個(gè)單調(diào)區(qū)間

上，對(duì)于y在[－1，1]上每一個(gè)值，x在

上都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，因此，函數(shù)y＝sinx，

x∈有反函數(shù)．函數(shù)y＝sinx，x∈的反函數(shù)稱(chēng)為反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域?yàn)閇－1，1]，值域?yàn)椋?lèi)似地，函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]的反函數(shù)稱(chēng)為反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域?yàn)閇－1，1]，值域?yàn)閇0，π]．函數(shù)y＝tanx，x∈的反函數(shù)稱(chēng)為反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋瘮?shù)y＝cotx，x∈（0，π）的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù)，記作y＝arccotx，它的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，π）．反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為反三角函數(shù)．15函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果對(duì)于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），則稱(chēng)y＝f（x）為偶函數(shù)；如果對(duì)于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），則稱(chēng)y＝f（x）為奇函數(shù)．不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)．幾何特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．1617周期性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），則稱(chēng)y＝f（x）為周期函數(shù)，T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期．對(duì)于每個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，周期有無(wú)窮多個(gè)．如果其中存在一個(gè)最小正數(shù)，則規(guī)定這個(gè)最小正數(shù)為該周期函數(shù)的最小正周期，簡(jiǎn)稱(chēng)周期．我們常說(shuō)的某個(gè)函數(shù)的周期通常指的就是它的最小正周期．幾何特征：以T為周期的周期函數(shù)的圖像在定義域內(nèi)每隔長(zhǎng)度為T(mén)的區(qū)間上形狀相同．18單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而增大，即對(duì)于I上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有f（x1）＜f（x2），則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增；如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而減小，即對(duì)于I上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有f（x1）＞f（x2），則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減．區(qū)間I稱(chēng)為y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．幾何特征：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間上的圖像沿橫軸正向上升，單調(diào)遞減區(qū)間上的圖像沿橫軸正向下降．特別地，當(dāng)函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）時(shí)，就稱(chēng)f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）．1920有界性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．若存在一個(gè)正數(shù)M，對(duì)于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有界，否則，稱(chēng)f（x）在區(qū)間I上無(wú)界．幾何特征：有界函數(shù)的圖像全部夾在直線(xiàn)y＝M與y＝－M之間．211.2初等函數(shù)22基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)．為了便于同學(xué)們復(fù)習(xí)，現(xiàn)將常見(jiàn)基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表如下：2324252627282930復(fù)合函數(shù)我們先來(lái)看一個(gè)例子．設(shè)y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函數(shù)y＝（3－2x）5．這個(gè)函數(shù)就是由y＝u5與u＝3－2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)．31復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個(gè)中間變量，還可以有多個(gè)中間變量，即可以由兩個(gè)以上的函數(shù)進(jìn)行復(fù)合，只要它們依次滿(mǎn)足能夠復(fù)合的條件．另外，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，我們要弄清兩個(gè)問(wèn)題，那就是“復(fù)合”和“分解”．所謂“復(fù)合”，就是把幾個(gè)作為中間變量的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，該過(guò)程就是把中間變量依次代入的過(guò)程；所謂“分解”，就是把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，而這些簡(jiǎn)單的函數(shù)往往都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)．32初等函數(shù)例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函數(shù)．而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號(hào)函數(shù)就不是初等函數(shù)．絕對(duì)值函數(shù)y＝丨x

丨雖然是分段函數(shù)，但由于

，所以它仍是初等函數(shù)．本教材所討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù)．331.3函數(shù)的極限34數(shù)列的極限根據(jù)定義，“割圓術(shù)”中圓面積A＝35有些數(shù)列的極限是不存在的，例如：（1）數(shù)列{n2}，當(dāng)n→∞時(shí)，n2也無(wú)限增大，不能無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個(gè)數(shù)列的極限不存在，為方便起見(jiàn)，這時(shí)可以記作（2）數(shù)列{（－1）n}，當(dāng)n→∞時(shí)，（－1）n在兩個(gè)數(shù)1與－1上來(lái)回跳動(dòng)，也不能無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個(gè)數(shù)列的極限也是不存在的．36函數(shù)的極限當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限前面我們討論了數(shù)列的極限．?dāng)?shù)列{an}可看作自變量為n的函數(shù)an＝f（n），n∈N?．因此，數(shù)列的極限

＝a，又可以寫(xiě)成也就是說(shuō)，當(dāng)自變量n取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（n）無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a．對(duì)于一般的函數(shù)f（x），當(dāng)它的自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，我們可以類(lèi)似地定義．37值得注意的是，上述定義中“x→∞”表示x既可取正值而趨于無(wú)窮（記作x→＋∞），也可取負(fù)值而趨于無(wú)窮（記作x→－∞）．但有時(shí)所討論的x值，只能或只需取正值（或負(fù)值）趨于無(wú)窮，此時(shí)我們可以類(lèi)似地給出如下定義．38由上述極限的定義，可得結(jié)論：

＝A的充分必要條件是39當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限40值得注意的是，上述定義中“x→x0”表示x可以以任意方式趨近于x0，但有時(shí)所討論的x值，只能或只需從x0的左側(cè)趨近于x0（記作x→x0－）或從x0的右側(cè)趨近于x0（記作x→x0＋），此時(shí)我們可以類(lèi)似地給出如下定義．41由上述極限的定義，可得結(jié)論：

的充分必要條件是無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小注意：（1）無(wú)窮小是以零為極限的變量，任何一個(gè)很小常數(shù)都不是無(wú)窮小．（2）常數(shù)中只有零可以看作無(wú)窮?。?）不能籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小，必須指出自變量的變化過(guò)程．因?yàn)闊o(wú)窮小是用極限來(lái)定義的，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小，在另一個(gè)變化過(guò)程中則不一定是無(wú)窮?。?2函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系一般地，函數(shù)、函數(shù)極限與無(wú)窮小三者之間具有如下的關(guān)系．43無(wú)窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小具有以下性質(zhì)．性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮?。再|(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小．性質(zhì)3無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮?。普摮?shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮?。?4無(wú)窮大當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮大的函數(shù)f（x），按函數(shù)極限的定義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的．但為了便于敘述函數(shù)的這一特征，我們也稱(chēng)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作45如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）大于零且無(wú)限增大，這時(shí)可記作如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）小于零但絕對(duì)值無(wú)限增大，這時(shí)可記作注意：（1）無(wú)窮大是變量，任何一個(gè)絕對(duì)值很大的常數(shù)都不是無(wú)窮大．（2）說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大，必須同時(shí)指出自變量的變化過(guò)程．46無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過(guò)程中，如果函數(shù)f（x）為無(wú)窮大，則函數(shù)

為無(wú)窮小；反之，如果函數(shù)f（x）為無(wú)窮小，且f（x）≠0，則函數(shù)

為無(wú)窮大．471.4函數(shù)極限的運(yùn)算法則48函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則在下面的討論中，求極限的過(guò)程中自變量的趨向沒(méi)有標(biāo)出，表示對(duì)任何一個(gè)自變量的變化過(guò)程都成立，只要在同一問(wèn)題中的自變量的趨向相同即可．以上法則都可以利用函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系來(lái)證明．49證明由函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自變量在同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由無(wú)窮小的性質(zhì)可知，Aβ＋Bα＋αβ也是無(wú)窮?。俑鶕?jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推論若limf（x）＝A，C為常數(shù)，n為正整數(shù)，則（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有當(dāng)運(yùn)算中所涉及的函數(shù)極限都存在，且分母的極限不為零時(shí)，才能用極限的四則運(yùn)算法則求極限，否則法則不能使用．51復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則前面已經(jīng)得到，對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)和有理分式函數(shù)f（x），只要f（x0）存在，函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，等于該函數(shù)在x0處的函數(shù)值f（x0）．事實(shí)上，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)處同樣具有這樣的性質(zhì)，即如果f（x）是基本初等函數(shù)，定義域?yàn)镈，x0∈D，則52類(lèi)下面給出一個(gè)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則．53兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限

考察當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)

的變化趨勢(shì)如下表．由表我們可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，

無(wú)限接近于常數(shù)1，即54注意：（1）第一個(gè)重要極限是

型．（2）形式必須一致，在x的同一個(gè)變化過(guò)程中，

中的兩個(gè)φ（x）是同一個(gè)無(wú)窮小．（3）第一個(gè)重要極限也可以寫(xiě)成55第二個(gè)重要極限考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)

的變化趨勢(shì)如下表．56由表可以看出，當(dāng)x→－∞或x→＋∞時(shí)，函數(shù)的值越來(lái)越接近一個(gè)確定的常數(shù)2.71828···．這個(gè)確定的常數(shù)用e來(lái)表示，即在上式中令t＝，則x→∞時(shí)，t→0，于是上式可變成

＝e，即注意：（1）第二個(gè)重要極限是1∞型．（2）形式必須一致，在x的同一個(gè)變化過(guò)程中，中的兩個(gè)φ（x）是同一個(gè)無(wú)窮小．57無(wú)窮小的比較在無(wú)窮小的性質(zhì)中，我們已經(jīng)知道兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍然為無(wú)窮小，那么兩個(gè)無(wú)窮小的商是否為無(wú)窮小呢?答案是不定．例如，當(dāng)x→0時(shí)，x2，2x，3x，sinx都是無(wú)窮小，而兩個(gè)無(wú)窮小的商的各種極限情況，反映了分子、分母的無(wú)窮小趨于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子來(lái)說(shuō)，在x→0的過(guò)程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0與2x→0“快慢相仿”，而sinx→0與x→0“快慢一致”．58為了對(duì)無(wú)窮小趨于零的快慢有一個(gè)定性的描述，我們給出“無(wú)窮小的階”的概念．59由定義可知，當(dāng)x→0時(shí)，x2是比2x高階的無(wú)窮??；3x是比x2低階的無(wú)窮小，3x與2x是同階無(wú)窮小，而sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小．前面我們已經(jīng)求出，當(dāng)x→0時(shí)，60所以，當(dāng)x→0時(shí)，有下列常用的等價(jià)無(wú)窮?。畇inx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，對(duì)于等價(jià)無(wú)窮小，有下列性質(zhì)．定理當(dāng)x→x0時(shí)，α~α′，β~β′，且存在，則這個(gè)定理表明，求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子、分母都可以用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)化，但當(dāng)分子或分母是若干項(xiàng)無(wú)窮小的和或差時(shí)，則一般不能對(duì)其中某一項(xiàng)無(wú)窮小作等價(jià)代換．611.5函數(shù)的連續(xù)性62函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的增量設(shè)x0是一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)自變量從初值x0變化到終值x時(shí)，我們稱(chēng)自變量終值與初值的差x－x0為自變量的增量（或自變量的改變量），記作Δx，即Δx＝x－x0，從而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自變量的終值．63設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從x0

變化到x0

＋Δx時(shí)，即自變量x在x0

處有增量Δx時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的值相應(yīng)地從f（x0

）變到f（x0

＋Δx）也產(chǎn)生了一個(gè)改變量，我們把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處的增量．64函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性在幾何上，函數(shù)的增量表示當(dāng)自變量從x0變化到x0＋Δx時(shí)，曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量．65函數(shù)在點(diǎn)x0

處連續(xù)，在幾何上表示為函數(shù)圖像在x0

附近為一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)．從上圖可以看出，當(dāng)自變量的增量Δx趨近于0時(shí)，函數(shù)的增量Δy也趨近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下．67函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0

處有則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

左連續(xù)（或右連續(xù)）．如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)處均連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱(chēng)為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間．如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a處右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處左連續(xù)，即則稱(chēng)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)．在幾何上，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn)．基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．68函數(shù)的間斷點(diǎn)由函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件可知，當(dāng)函數(shù)f（x）出現(xiàn)下列三種情形之一時(shí)，x0就為函數(shù)y＝f（x）的間斷點(diǎn)．（1）f（x0）不存在，即函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處無(wú)定義；（2）f（x0）存在，但

不存在；（3）f（x0）存在，且

也存在，但

6970初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義和函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，我們可以得到以下結(jié)論．定理1（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）如果函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則它們的和、差、積、商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù)，即71定理2（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）如果函數(shù)u＝φ（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，且φ（x0）＝u0，而函數(shù)y＝f（u）在點(diǎn)x0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））在點(diǎn)x0也連續(xù)．由基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可得到以下結(jié)論．定理3一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．72閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的特性，下面將不加證明直接予以介紹．定理4（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上必有最大值和最小值．73定理5（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上能取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)．推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）＝0．推論的幾何意義是：如果閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）在端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，則函數(shù)f（x）的圖像與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．74導(dǎo)數(shù)與微分第2章75目錄2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2.3微分及應(yīng)用76教學(xué)要求：1.通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2.通過(guò)函數(shù)圖像直觀(guān)地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；知道函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.3.會(huì)利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，了解參數(shù)方程的求導(dǎo)法.6.了解高階導(dǎo)數(shù)的定義和二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).7.了解微分的定義及幾何意義，會(huì)求函數(shù)的微分，能利用微分解決一些簡(jiǎn)單的近似計(jì)算問(wèn)題.771.1導(dǎo)數(shù)的概念78導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量Δx時(shí)，函數(shù)y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果極限存在，則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或

或

，即79如果上述極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0

處不可導(dǎo)．函數(shù)增量與自變量增量之比

是函數(shù)在Δx區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)f′（x0）則是函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率，它反映了函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處變化的快慢程度．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，實(shí)例考察中的兩個(gè)實(shí)例用導(dǎo)數(shù)的概念可表述如下：（1）變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，就是位移s＝s（t）在t0

處對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即80（2）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，y0）處的切線(xiàn)斜率，就是縱坐標(biāo)y＝f（x）在點(diǎn)x0處對(duì)橫坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）也可表示為81函數(shù)在某一點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)若比值

在點(diǎn)x0處的左極限存在，則稱(chēng)此極限值為f（x）在點(diǎn)x0處左導(dǎo)數(shù)，記為f′－（x0）．若比值在點(diǎn)x0處的右極限存在，則稱(chēng)此極限值為f（x）在點(diǎn)x0處右導(dǎo)數(shù)，記為f′＋（x0

）．函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f（x）在該點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．82函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y＝f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于（a，b）內(nèi)的每一個(gè)確定的x，都對(duì)應(yīng)著唯一確定的函數(shù)值f′（x），于是就確定了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，記作f′（x）或y′或

，且顯然，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是導(dǎo)數(shù)f′（x）在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值，即83導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線(xiàn)問(wèn)題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）在幾何上表示曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，f（x0））處的切線(xiàn)的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84過(guò)切點(diǎn)A（x0，f（x0））且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)稱(chēng)為曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)A（x0，f（x0））處的法線(xiàn)．如果f′（x0）存在，則曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法線(xiàn)方程為85可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理如果函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)．證明函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)．值得注意的是，即使函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處也不一定可導(dǎo)．862.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則87函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點(diǎn)x處均可導(dǎo)．下面我們來(lái)考察它們的和y＝u（x）＋v（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)．當(dāng)自變量在x處有增量Δx時(shí)，函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相應(yīng)地分別有增量Δu，Δv，Δy．因?yàn)棣＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，即因此，有y′＝u′＋v′，這表明函數(shù)y＝u（x）＋v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，即（u＋v）′＝u′＋v′．實(shí)際上，我們也可推出它們的差、積、商（當(dāng)分母不等于0時(shí)）在點(diǎn)x處可導(dǎo)．8990復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以來(lái)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，我們有如下重要的求導(dǎo)法則．91復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于首先把復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)，然后運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．注意求導(dǎo)之后應(yīng)該把引入的中間變量代換成原來(lái)的自變量．對(duì)復(fù)合函數(shù)分解比較熟練后，就不必再寫(xiě)出中間變量，只要明確中間變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，逐層求導(dǎo)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可推廣到兩個(gè)以上中間變量的情形．92三個(gè)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)法我們此前遇到的函數(shù)都是用y＝f（x）這樣的形式來(lái)表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，這種方式表示的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)．但有些函數(shù)不是以顯函數(shù)的形式出現(xiàn)的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，這些二元方程也可以表示一個(gè)函數(shù)，這樣的函數(shù)叫作隱函數(shù)．求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并不需要先把隱函數(shù)化為顯函數(shù)（事實(shí)上，有些隱函數(shù)是不能顯函數(shù)化的），而是可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將二元方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，就可直接求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′．93至此，我們已經(jīng)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式全部推導(dǎo)出，為了方便查閱，匯總?cè)缦拢?4對(duì)數(shù)求導(dǎo)法在求導(dǎo)運(yùn)算中，常會(huì)遇到這樣兩類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，一是冪指函數(shù)y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的函數(shù)．對(duì)這樣的函數(shù)，可先對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把函數(shù)變成隱函數(shù)的形式，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出結(jié)果．95參數(shù)方程求導(dǎo)法在平面解析幾何中，我們學(xué)過(guò)參數(shù)方程，它的一般形式為一般地，上述方程組確定的y與x之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y＝f（x）．例如，已經(jīng)學(xué)過(guò)的一種橢圓的參數(shù)方程就確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)通過(guò)參數(shù)t聯(lián)系起來(lái)．96現(xiàn)在來(lái)求由參數(shù)方程（t為參數(shù)，t∈I）所確定的函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，直接消去t有時(shí)會(huì)很難，事實(shí)上，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知97高階導(dǎo)數(shù)設(shè)物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它的位移函數(shù)為s＝s（t），則它的瞬時(shí)速度為v＝s′（t）．此時(shí)，若速度v仍是時(shí)間的函數(shù)，我們可以求速度v＝v（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（即速度對(duì)時(shí)間的變化率），得到物體的瞬時(shí)加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)．這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為s＝s（t）對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)．98類(lèi)似地，如果函數(shù)y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)存在，這個(gè)導(dǎo)數(shù)就稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，記作y

?或f

?（x）或一般地，如果函數(shù)y＝f（x）的n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，這個(gè)導(dǎo)數(shù)就稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作y（n）或f（n）（x）或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，稱(chēng)y′＝f′（x）為一階導(dǎo)數(shù)．992.３微分及應(yīng)用100微分的概念函數(shù)的微分的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則f′（x）＝，由無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，當(dāng)f′（x）≠0時(shí)，函數(shù)的增量可以分成兩部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的線(xiàn)性函數(shù)，我們把它稱(chēng)為Δy的線(xiàn)性主部；另一部分是αΔx，當(dāng)Δx→0時(shí)，它是比Δx高階的無(wú)窮小．所以當(dāng)Δx很小時(shí)，可以忽略不計(jì)，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我們給出下面的定義．通常把自變量的增量Δx稱(chēng)為自變量的微分，記作dx，因此，函數(shù)y＝f（x）的微分又可記為dy＝f

′（x）dx．102從而有上式表明，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)又叫作微商．在前面我們把

當(dāng)作一個(gè)整體的記號(hào)，現(xiàn)在有了微分的概念，

就可以看作是一個(gè)分式．從微分的定義可以看出可導(dǎo)與微分之間存在聯(lián)系，一元函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)等價(jià)于在某點(diǎn)處可微，把可導(dǎo)函數(shù)也稱(chēng)為可微函數(shù)．103微分的幾何意義設(shè)函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，過(guò)曲線(xiàn)y＝f（x）上一點(diǎn)M（x，y）作切線(xiàn)MT，設(shè)MT的傾斜角為α，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義tanα＝f′（x）．當(dāng)自變量x有增量Δx時(shí)，切線(xiàn)MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，