微積分 第3版 課件 4第二節(jié) 微分中值定理_第1頁
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定理4.2(費爾馬引理)

4.2微分中值定理內(nèi)的最大值或最小值,證不妨設(shè)設(shè)是在點

的某鄰域有根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)條件及極限的保號性,有所以,的點稱為函數(shù)的駐點.

且曲線在該點有切線,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值點只可能是駐點、不可導(dǎo)點或區(qū)間的端點.定理4.3(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得證若函數(shù)f(x)滿足:必有最大值M和最小值m.由費爾馬引理

推論4.1可微函數(shù)的任意兩個零點之間至少有的一個零點．例4.13證明是方程的唯一實根.證矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得在[0,1]上二階可導(dǎo),且則在內(nèi)至少存在一點練習(xí)若證使得使得上使用羅爾定理,使得使用羅爾定理,常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：

常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過恒等變形將含有的式子寫成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進(jìn)行證明.例4.14設(shè)分析證令羅爾定理,整理得使得故即定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);使得若函數(shù)f(x)滿足:幾何解釋:分析:

在曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線平行于弦AB.證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或故就可以同時得到兩個不等式有限增量公式應(yīng)用：不等式的證明例4.15證明不等式證由拉格朗日中值定理,存在使得由得到例

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