2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.5第1課時等比數(shù)列的前n項和學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE10-2.5等比數(shù)列的前n項和第1課時等比數(shù)列的前n項和學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭等比數(shù)列的前n項和公式及其應(yīng)用．(重點)2.會用錯位相減法求數(shù)列的和．(重點)3.能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡潔的實際問題．1.通過等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.借助等比數(shù)列基本量的計算及錯位相減法的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．1．等比數(shù)列前n項和公式思索：類比等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次型函數(shù)，如何從函數(shù)的角度理解等比數(shù)列前n項和Sn?[提示]可把等比數(shù)列前n項和Sn理解為關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)．2．錯位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法一般地，等比數(shù)列{an}的前n項和可寫為：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①用公比q乘①的兩邊，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)(q≠1).(2)我們把上述方法叫錯位相減法，一般適用于數(shù)列{an·bn}前n項和的求解，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且q≠1.思索：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)還有其他的方法嗎？[提示]依據(jù)等比數(shù)列的定義，有：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，再由合比定理，則得eq\f(a2＋a3＋a4＋…＋an,a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝q，即eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，進而可求Sn.1．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n項和Sn為()A．eq\f(1－xn,1－x) B．eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)（x≠1），,n（x＝1）)) D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)（x≠1），,n（x＝1）))C[當(dāng)x＝1時，數(shù)列為常數(shù)列，又a1＝1，所以Sn＝n.當(dāng)x≠1時，q＝x，Sn＝eq\f(a1（1－xn）,1－x)＝eq\f(1－xn,1－x).]2．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，q＝2，則S5＝．31[S5＝eq\f(a1（1－q5）,1－q)＝eq\f(1－25,1－2)＝31.]3．等比數(shù)列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，則a1的值為．4[由S5＝eq\f(a1[1－（－2）5],1－（－2）)＝44，解得a1＝4.]4．某廠去年產(chǎn)值為a，安排在5年內(nèi)每年比上一年的產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為．11(1.15－1)a[去年產(chǎn)值為a，從今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a等比數(shù)列基本量的運算【例1】在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＝8，an＝eq\f(1,4)，Sn＝eq\f(63,4)，求n；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.[解](1)由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝30，,a1（1＋q＋q2）＝155，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)．))從而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))\s\up12(n))),11).(2)明顯q≠1，由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，即eq\f(8－\f(1,4)q,1－q)＝eq\f(63,4)，∴q＝eq\f(1,2).又an＝a1qn－1，即8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,4)，∴n＝6.(3)因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根．從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q為2或eq\f(1,2).1．在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的詳細應(yīng)用．2．在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行推斷，若兩種狀況都有可能，則要分類探討．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．在等比數(shù)列{an}中．(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解](1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，則S8＝2S4，不合題意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝1，S8＝eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝17，兩式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用【例2】借貸10000元，以月利率為1%，每月以復(fù)利計息借貸，王老師從借貸后其次個月起先等額還貸，分6個月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)思路探究：解決等額還貸問題關(guān)鍵要明白以下兩點：(1)所謂復(fù)利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)從還貸之月起，每月還貸金額是構(gòu)成等比數(shù)列還是等差數(shù)列，首項是什么，公比或公差是多少．[解]法一：設(shè)每個月還貸a元，第1個月后欠款為a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1≤n≤6)，則a0＝10000，a1＝1.01a0－aa2＝1.01a1－a＝1.012a0…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015由題意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]aa＝eq\f(1.016×102,1.016－1).∵1.016≈1.061，∴a＝eq\f(1.061×102,1.061－1)≈1739.故每月應(yīng)支付1739元．法二：一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元).另一方面，設(shè)每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq\f(a[（1＋0.01）6－1],1.01－1)＝a[1.016－1]×102(元).由S1＝S2，得a＝eq\f(1.016×102,1.016－1).以下解法同法一，得a≈1739，故每月應(yīng)支付1739元．解數(shù)列應(yīng)用題的詳細方法步驟(1)仔細審題，精確理解題意，達到如下要求：①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特殊要留意精確弄清項數(shù)是多少．②弄清題目中主要的已知事項．(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)學(xué)問和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達．(3)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿意題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])2．一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上上升度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125[解]用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，數(shù)列{an}是首項a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比數(shù)列．熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(n))),1－\f(4,5))＝125×[1－(eq\f(4,5))n]<125.故這個熱氣球上升的高度不行能超過125m錯位相減法求和[探究問題]1．對于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對這兩個式子作怎樣的運算能解出S64?[提示]比較兩式易知，兩式相減能消去同類項，解出S64，即S64＝eq\f(1－264,1－2)＝264－1.2．由項數(shù)相等的等差數(shù)列{n}與等比數(shù)列{2n}相應(yīng)項的積構(gòu)成新的數(shù)列{n·2n}是等比數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？該數(shù)列的前n項和Sn的表達式是什么？[提示]由等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{n·2n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．該數(shù)列的前n項和Sn的表達式為Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.3．在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n兩邊同乘以數(shù)列{2n}的公比后，該等式的變形形式是什么？仔細視察兩式的結(jié)構(gòu)特征，你能將求Sn的問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項和問題嗎？[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①兩邊同乘以{2n}的公比可變形為2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.此時可把求Sn的問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列{2n}的前n項和問題．我們把這種求由一個等差數(shù)列{an}和一個等比數(shù)列{bn}相應(yīng)項的積構(gòu)成的數(shù)列{anbn}前n項和的方法叫錯位相減法．【例3】已知等比數(shù)列{an}滿意：a1＝eq\f(1,2)，a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差數(shù)列，公比q∈(0，1)，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思路探究：(1)依據(jù)a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差數(shù)列求得公比q，寫出通項公式；(2)由bn＝nan可知利用錯位相減法求和．[解](1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,2)，因為a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－eq\f(1,8)，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝eq\f(3,2)，又因為q∈(0，1)，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,2n).(2)依據(jù)題意得bn＝nan＝eq\f(n,2n)，Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，①eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋…＋eq\f(n,2n＋1)，②作差得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，Sn＝2－(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).本題中設(shè)cn＝eq\f(n,an)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn′.[解]由題意知cn＝n·2n，所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，兩式相減得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.錯位相減法的適用題目及留意事項(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和．(2)留意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)留意使兩式錯對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達式．②利用此法時要留意探討公比q是否等于1的狀況．1．在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項和公式的應(yīng)用中，留意前n項和公式要分類探討，即當(dāng)q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不行忽視q＝1的狀況．3．一般地，假如數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采納錯位相減法求和．1．推斷正誤(1)求等比數(shù)列{an}的前n項和時可干脆套用公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)來求． ()(2)若首項為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前n項和為Sn＝na. ()(3)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列肯定是等比數(shù)列． ()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)錯誤．在求等比數(shù)列前n項和時，首先應(yīng)看公比q是否為1，若q≠1，可干脆套用，否則應(yīng)探討求和．(2)正確．若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是非零常數(shù)列，所以前n項和為Sn＝na.(3)正確．依據(jù)等比數(shù)列前n項和公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)(q≠0且q≠1)變形為Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn(q≠0且q≠1)，若令a＝eq\f(a1,1－q)，則和式可變形為Sn＝a－aqn.2．在等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三項的和S3＝eq\f(9,2)，則數(shù)列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或1C[由題意，可得a1q2＝eq\f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq\f(9,2)，兩式相除，得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq\f(1,2)或1.]3．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，假如a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則這個數(shù)列的前8項之和S8＝．510[a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，兩式聯(lián)立解得q