2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案61第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理含解析新人教版

第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法共有(A)A．7種 B．8種C．6種 D．9種[解析]要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC卡、買2張IC卡、買3張IC卡，而每一類都能獨(dú)立完成“至少買一張IC電話卡”這件事．買1張IC卡有2種方法，買2張IC卡有3種方法，買3張IC卡有2種方法．不同的買法共有2＋3＋2＝7種．2．(2024·四川廣安、眉山、內(nèi)江、遂寧診斷)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能狀況的種數(shù)為(B)A．15 B．30C．35 D．42[解析]發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且含甲企業(yè)的人的狀況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(種)；發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)且不含甲企業(yè)的人的狀況有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)．所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能狀況共有20＋10＝30(種)，故選B.3．(2024·遼寧省大連市模擬)把標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球分別放入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子只放一個(gè)小球，則1號(hào)球不放入1號(hào)盒子的方法共有(A)A．18種 B．9種C．6種 D．3種[解析]第一步：放1號(hào)球，有Ceq\o\al(1,3)＝3種方法；其次步：將剩余三個(gè)球分別放入剩余的三個(gè)盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法；故符合題意的放法共有3×6＝18種．故選A.4．(2024·河南質(zhì)檢)從5名高校畢業(yè)生中選派4人到甲、乙、丙三個(gè)貧困地區(qū)支援，要求甲地區(qū)2人，乙、丙地區(qū)各一人，則不同的選派方法總數(shù)為(B)A．40 B．60C．100 D．120[解析]不同的選派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60種．5．(2011·金華模擬)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(A)A．12種 B．18種C．24種 D．36種[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理，先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，再排其次列，有2種方法，故共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12種排列方法，選A.6．(2014·山東)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理知：用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252，故選B.7．假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(D)A．48 B．18C．24 D．36[解析]第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．8．(2024·四川省自貢市診斷)從1,3,5三個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)字，從0,2兩個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(C)A．6 B．12C．18 D．24[解析]由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種狀況：奇偶奇，偶奇奇，因此總共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18種．故選C．9．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8×7＝56個(gè)對(duì)數(shù)值；但在這56個(gè)數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿意條件的對(duì)數(shù)值共有56－4＝52(個(gè))．10．(2024·金安區(qū)模擬)2024里約奧運(yùn)會(huì)期間，小趙?？吹?個(gè)電視頻道中有2個(gè)頻道在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)競(jìng)賽．若小趙這時(shí)打開電視，隨機(jī)打開其中一個(gè)頻道，若在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)競(jìng)賽，則停止換臺(tái)，否則就進(jìn)行換臺(tái)，那么，小趙所看到的第三個(gè)電視臺(tái)恰好在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)競(jìng)賽的不同狀況有(B)A．6種 B．24種C．36種 D．42種[解析]4×3×2＝24，故選B.11．(2024·定州期末)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的4×4小方格中，每格內(nèi)只填入一個(gè)漢字，且隨意的兩個(gè)漢字即不同行也不同列，則不同的填寫方法有(C)A.288種 B．144種C．576種 D．96種[解析]依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)漢字，有16種方法；(2)隨意的兩個(gè)漢字即不同行也不同列，其次個(gè)漢字只有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)漢字只有4個(gè)格子可以放，有4種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．12．(2024·河北省唐山市一中沖刺)某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4為摯友，每位摯友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(B)A．4種 B．10種C．18種 D．20種[解析]分兩種狀況：①選2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位摯友，有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；②選1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位摯友，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10(種)．13．現(xiàn)支配一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值日，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班，則此值日表共有多少種不同的排法．(B)A．1080 B．1280C．1440 D．2560[解析]完成一件事是支配值日表，因而需一天一天地排，用分步計(jì)數(shù)原理，分步進(jìn)行：第一天有5種不同排法，其次天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．二、多選題14．(原創(chuàng))下列說法正確的是(CD)A．將4封信投入到3個(gè)信箱中，共有64種不同的投法B．4只相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，共有12種不同放法C．五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有54種D．用0,1，……，9十個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為328[解析]第1封信可以投入3個(gè)信箱中的隨意一個(gè)，有3種投法；同理，第2,3,4封信各有3種投法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3×3×3×3＝34＝81種投法．故A錯(cuò)；將4個(gè)小球放入一個(gè)盒子有3種方法，將3個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子，另2小球放另一只盒子有3種放法，將2個(gè)小球放入一個(gè)盒子中，另2個(gè)小球分別放入另兩個(gè)盒子中，有3種方法，故共有15種放法，故B不正確；五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．故C正確；個(gè)位為0的三位偶數(shù)有9×8＝72(個(gè))，個(gè)位不為0的三位偶數(shù)有4×8×8＝256(個(gè))，∴沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有256＋72＝328(個(gè))．故D正確．三、填空題15．(2024·山東模擬)某元宵燈謎競(jìng)猜節(jié)目，有6名守擂選手和6名復(fù)活選手，從復(fù)活選手中選擇一名選手為攻擂者，從守擂選手中選擇1名選手為守擂者，則攻擂者、守擂者的不同構(gòu)成方式共有36種．[解析]從6名守擂選手中選1名，選法有Ceq\o\al(1,6)＝6種；復(fù)活選手中選擇1名選手，選法有Ceq\o\al(1,6)種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的構(gòu)成方式共有6×6＝36種．16．(2024·山東青島調(diào)研)在疫情防控常態(tài)化條件下，各地電影院有序開放，某影院一排共有10個(gè)座位，選出3個(gè)用于觀影，防疫要求選出座位的左右兩邊都是空位，則不同的選法有20種(用數(shù)字回答)．[解析]由某影院一排共有10個(gè)座位，選出3個(gè)用于觀影，要求選出座位的左右兩邊都是空位，可先將其中的7個(gè)空位排成一排，其中有6個(gè)空隙，再把三個(gè)座位放在其中的3個(gè)空隙中，共有Ceq\o\al(3,6)＝20種不同方法．故答案為：20.17．(2024·柳州模擬)4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成168個(gè)不同的三位數(shù)．[解析]解法一：要組成三位數(shù)，依據(jù)首位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步：第一步：首位可放8－1＝7個(gè)數(shù)；其次步：十位可放6個(gè)數(shù)；第三步：個(gè)位可放4個(gè)數(shù)．故由分步計(jì)數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168個(gè)不同的三位數(shù)．解法二：0,1卡片不參與：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)；0,1卡片參與：Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))．故共有48＋120＝168個(gè)．18．(2024·遼寧省大連市模擬)甲、乙等五名志愿者被安排到上海世博會(huì)中國館、英國館、澳大利亞館、俄羅斯館四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少一名志愿者，則甲、乙兩人各自獨(dú)立擔(dān)當(dāng)一個(gè)崗位工作的分法共有72種．(用數(shù)字作答)[解析]由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，設(shè)5個(gè)志愿者為甲、乙、丙、丁、戊．甲在中國館、英國館、澳大利亞館、俄羅斯館四個(gè)地方選一個(gè)，有4種選擇，乙在剩下的3個(gè)地方選一個(gè)，有3種選擇，丙、丁、戊三人只能選擇剩下的兩個(gè)地方，每人有2個(gè)選擇，總共有2×2×2＝8種，這8種里要去掉3個(gè)人都選擇同一個(gè)地方的狀況，即8－2＝6，∴方法數(shù)為4×3×6＝72種．B組實(shí)力提升1．(2024·貴陽模擬)現(xiàn)有2門不同的考試要支配在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試支配方案種數(shù)是(A)A．12 B．6C．8 D．16[解析]不同的考試支配方案共有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)．2.(2024·江西省萍鄉(xiāng)市模擬)如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)染色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方法種數(shù)有(C)A．24 B．48C．96 D．120[解析]由表端點(diǎn)ABECD涂法432與A同色12與A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(種)，故選C．3．(2024·湖南長(zhǎng)沙一中月考)某公司支配甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人僅出差一個(gè)地方，每個(gè)地方都須要支配人出差，若擔(dān)心排甲去北京，則不同的支配方法共有(C)A．18種 B．20種C．24種 D．30種[解析]解法一：若支配一人去北京，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18種；若支配兩人去北京，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種，總共24種，故選C．解法二：Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24.4．(2024·云南昆明一中摸底)數(shù)學(xué)與文學(xué)有很多奇異的聯(lián)系，如詩中有回文詩“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀．?dāng)?shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343,12521等．兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33，……，99共9個(gè)，則在三位數(shù)的回文數(shù)中