高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）【教學(xué)目標(biāo)】1.駕馭等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲得思路.2.經(jīng)驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特別到一般的探討方法，學(xué)會(huì)視察、歸納、反思.3.嫻熟駕馭等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)．【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對(duì)課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生通過觀看《2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）》課件“情景導(dǎo)入”部分，思索與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的兩個(gè)實(shí)際問題的解法，從而引發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)問的愛好.二、自主學(xué)習(xí)教材整理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和閱讀教材P42～P44例2，完成下列問題．1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和的概念一般地，稱a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d三、合作探究問題1高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50快速求出了等差數(shù)列前100項(xiàng)的和．但假如是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)怎么辦？提示：不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致不能配對(duì)．但我們可以采納倒序相加來回避這個(gè)問題：設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝eq\f(nn＋1,2).問題2等差數(shù)列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3項(xiàng)和S3嗎？提示：S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝3eq\f(a1＋a3,2)＝3a2＝21.問題3我們對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式變形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系．你能類比這個(gè)思路分析一下Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d嗎？提示：按n的降冪綻開Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是關(guān)于n的二次函數(shù)形式，且常數(shù)項(xiàng)為0.問題4假如{an}是等差數(shù)列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列嗎？提示：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，類似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列．探究點(diǎn)1等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例1已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？提示：由題意知S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝310，,20a1＋190d＝1220，))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝6.))∴Sn＝n×4＋eq\f(nn－1,2)×6＝3n2＋n.名師點(diǎn)評(píng)：(1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，要留意方程思想和整體思想的運(yùn)用；(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．命題角度2實(shí)際應(yīng)用例2某人用分期付款的方式購(gòu)買一件家電，價(jià)格為1150元，購(gòu)買當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月起先算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢？提示：設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元．由于{an}是以60為首項(xiàng)，以－0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20＝eq\f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1105(元)，即全部付清后實(shí)際付款1105＋150＝1255(元)．名師點(diǎn)評(píng)：建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要依據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)．本題是依據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解．探究點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．提示：(1)在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a9,\f(1,2)b1＋b9)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(9b1＋b9,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12).名師點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，假如運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果．四、當(dāng)堂檢測(cè)1．在等差數(shù)列{an}中，若S10＝120，則a1＋a10的值是()A．12B．24C．36D．482．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d等于()A．2B．3C．6D．73．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.4．已知等差數(shù)列{an}中：(1)a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.提示：1．B2.B3.1904．解(1)∵Sn＝n×eq\f(3,2)＋(－eq\f(1,2))×eq\f(nn－1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×(－eq\f(1,2))＝－4.∴n＝12，an＝a12＝－4.(2)由Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1－512,2)＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到．2．等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共