2024春新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示分層演練含解析新人教A版必修第二冊

平面對量基本定理及坐標(biāo)表示A級基礎(chǔ)鞏固1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,則實(shí)數(shù)m的值為 ()A.-32 B.32解析:因?yàn)閍=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,所以3×2+m·(-1)=0,所以m=6. 答案:D2.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則AD·AC= ()A.5 B.4 C.3 D.2解析:由四邊形ABCD為平行四邊形,知AC=AB+AD=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5.答案:A3.若正方形OABC兩邊AB,BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)D和E,則∠DOE的余弦值為 ()A.12 B.32 C.3解析:以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形OABC的邊長為1,則D（1,12）,E（12,1）,于是cosDOE=1×1答案:D4.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,則|b|=5.解析:因?yàn)閍=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).因?yàn)?a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)+3(3-2t)=0,解得t=2,所以b=(1,2),所以|b|=12+25.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c∥a,求c的坐標(biāo);(2)若|b|=52,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角解:(1)設(shè)c=(x,y),因?yàn)閨c|=25,所以x2+y2=25,所以x2+由c∥a,得1×y-2×x=0,所以1×y-2×x故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因?yàn)?a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×54整理得a·b=-52所以cosθ=a·b因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=π.B級實(shí)力提升6.已知點(diǎn)A(2,-1),B(4,2),點(diǎn)P在x軸上,當(dāng)PA·PB取最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ()A.(2,0) B.(4,0) C.（103,0）解析:設(shè)P(a,0),則PA=(2-a,-1),PB=(4-a,2),所以PA·PB=(2-a)(4-a)-2=a2-6a+6.由二次函數(shù)的性質(zhì),得當(dāng)a=3時(shí),PA·PB有最小值,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,0).答案:D7.已知平面對量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=2.解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).因?yàn)閨a|=5,|b|=25,a·c=5m+8,b·c=8m+20,且c與a的夾角等于c與b的夾角,所以c·a|即5m+85=8m+208.設(shè)向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=-12,32,且a與b不共線.(1)求證:(a+b)⊥(a-b);(2)若向量3a+b與a-3b的模相等,求α.(1)證明:由題意可得a+b=（cosα-12,sinα+32a-b=（cosα+12,sinα-32所以(a+b)·(a-b)=cos2α-14+sin2α-3所以(a+b)⊥(a-b).(2)解:因?yàn)橄蛄?a+b與a-3b的模相等,所以(3a+b)2=(a-3b)2,所以a2-b2+23a·b=0.因?yàn)閨a|=cos2α+sin2α所以1-1+23a·b=0,解得a·b=0,所以-12cosα+32sin所以tanα=33因?yàn)?≤α<2π,所以α=π6或7πC級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題設(shè)向量a=(1,0),b=12,12,則下列結(jié)論正確的是 ()A.|a|=|b| B.a·b=1C.a-b與b垂直 D.a∥b解析:由題意,知|a|=12+02=1,|b|=(12)

2+(12)

2a·b=1×12+0×12=12,(a-b)·b=a·b-|b|2=12-12=0,所以a-b與b垂直,故選項(xiàng)答案:BC10.多空題已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若a⊥b,則k的值為5;若|a+b|不超過5,則k的取值范圍為-6≤k≤2