《2. 萬(wàn)有引力定律》講義

《2.萬(wàn)有引力定律》講義一、走進(jìn)萬(wàn)有引力定律（一）從蘋果落地說(shuō)起同學(xué)們，咱們先來(lái)講個(gè)有趣的事兒。牛頓啊，就像咱們身邊那個(gè)特別愛(ài)思考的學(xué)霸一樣。據(jù)說(shuō)啊，有一天牛頓坐在蘋果樹下，一個(gè)蘋果“啪嗒”一聲就掉到地上了。這事兒在咱們看來(lái)可能就覺(jué)得很平常，不就是蘋果熟了掉下來(lái)嘛。但是牛頓就不一樣了，他就開始琢磨了，這蘋果為啥是往地上掉，而不是飛到天上去呢？這個(gè)問(wèn)題就像一顆種子一樣，在他腦袋里開始發(fā)芽。其實(shí)咱們生活中也經(jīng)常能看到類似的現(xiàn)象。比如說(shuō)，你把一個(gè)小石子往上一扔，它最后還是會(huì)落回地面。這背后啊，就隱藏著萬(wàn)有引力的奧秘。那這萬(wàn)有引力到底是個(gè)啥呢？咱們就一點(diǎn)點(diǎn)來(lái)揭開它的神秘面紗。（二）前人的探索在牛頓之前呢，也有很多聰明的人對(duì)天體的運(yùn)動(dòng)感興趣。像哥白尼提出了日心說(shuō)，他覺(jué)得太陽(yáng)是中心，地球和其他行星都繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)。這在當(dāng)時(shí)可算是一個(gè)超級(jí)大膽的想法，就像在一群都認(rèn)為地球是中心的人當(dāng)中，突然有人說(shuō)不是這樣的，就像在平靜的湖水里投下了一顆大石頭，引起了軒然大波。然后開普勒也做出了很大的貢獻(xiàn)。他通過(guò)對(duì)天體的觀測(cè)，總結(jié)出了開普勒三定律。這開普勒三定律就像是打開天體運(yùn)動(dòng)大門的三把鑰匙。比如說(shuō)第一定律，行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓的，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這就好像行星們?cè)诎凑找环N特殊的規(guī)則在宇宙中跳舞，而這個(gè)橢圓軌道就是它們的舞池。這些前人的探索啊，就像是在黑暗中摸索的人，雖然還沒(méi)有完全找到那個(gè)最終的答案，但是已經(jīng)為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律點(diǎn)亮了一盞盞明燈。二、萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容（一）定律的表述萬(wàn)有引力定律是這么說(shuō)的：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比。如果用公式來(lái)表示的話，就是F＝Gm1m2／r2，這里面的G就是引力常量，它的值是G＝6.67×10?11N·m2/kg2。這個(gè)公式看起來(lái)可能有點(diǎn)復(fù)雜，但是咱們可以慢慢理解。比如說(shuō)，想象有兩個(gè)大鐵球，一個(gè)質(zhì)量是10千克，另一個(gè)是20千克，它們之間的距離是5米。那咱們就可以根據(jù)這個(gè)公式來(lái)計(jì)算它們之間的萬(wàn)有引力。先把數(shù)字代進(jìn)去，F(xiàn)＝6.67×10?11×10×20／52，經(jīng)過(guò)計(jì)算就能得出它們之間的引力大小啦。（二）對(duì)定律的理解1、普遍性這個(gè)萬(wàn)有引力定律可不得了，它是普遍存在的。不管是地球上的物體，像咱們?nèi)撕妥雷?、椅子之間，還是天體之間，比如地球和月球，太陽(yáng)和地球，都存在萬(wàn)有引力。就像有一種無(wú)形的線，把所有的物體都連接起來(lái)了。比如說(shuō)咱們站在地球上，不會(huì)飄到太空去，就是因?yàn)榈厍驅(qū)υ蹅冇腥f(wàn)有引力。這個(gè)引力把咱們緊緊地拉在地面上，就像有一雙無(wú)形的大手在拽著咱們。2、相互性萬(wàn)有引力是相互的哦。也就是說(shuō)，如果物體A對(duì)物體B有引力，那么物體B對(duì)物體A也有引力，而且這兩個(gè)引力大小相等，方向相反。就像兩個(gè)人互相拉著手，你拉我一下，我也拉你一下，力氣是一樣大的。比如說(shuō)地球吸引月球，同時(shí)月球也吸引地球。這種相互性在天體運(yùn)動(dòng)中起著非常重要的作用呢。3、宏觀性萬(wàn)有引力主要是在宏觀物體之間起作用。對(duì)于微觀的粒子，像電子、質(zhì)子這些，萬(wàn)有引力相比于其他的力，比如電磁力，就小得幾乎可以忽略不計(jì)了。就好像在一個(gè)大的足球隊(duì)里，有個(gè)特別小的螞蟻，螞蟻的力量和足球隊(duì)員的力量相比，簡(jiǎn)直可以忽略不計(jì)一樣。三、萬(wàn)有引力定律的推導(dǎo)（一）牛頓的思考過(guò)程牛頓是怎么得出這個(gè)萬(wàn)有引力定律的呢？他可是經(jīng)過(guò)了一番深思熟慮的。他在思考天體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，想到了地球上的物體下落和天體運(yùn)動(dòng)之間可能存在著某種聯(lián)系。他就想啊，如果把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)看成是一種類似于地球上物體下落的運(yùn)動(dòng)，只是這個(gè)“下落”是一直在繞著地球轉(zhuǎn)，那是不是就可以找到一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)律呢？牛頓做了一個(gè)很聰明的假設(shè)。他假設(shè)地球?qū)υ虑虻囊偷厍驅(qū)Φ孛嫔衔矬w的引力是同一種力，都是萬(wàn)有引力。然后他就開始根據(jù)開普勒定律和一些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)推導(dǎo)。這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程可不容易，就像走在一條布滿荊棘的小路上，需要一步一步小心翼翼地前進(jìn)。（二）數(shù)學(xué)推導(dǎo)1、從圓周運(yùn)動(dòng)入手咱們知道月球繞地球做近似的圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它需要一個(gè)向心力來(lái)維持這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，向心力F向＝mω2r，這里的m是月球的質(zhì)量，ω是角速度，r是月球到地球的距離。2、聯(lián)系開普勒定律開普勒第三定律說(shuō)，所有行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。對(duì)于月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，我們可以把這個(gè)定律轉(zhuǎn)化一下。因?yàn)樵虑虻能壍澜瓶闯蓤A，所以半長(zhǎng)軸就是半徑r。根據(jù)這個(gè)定律，我們可以得到r3／T2＝常量。這里的T就是月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期。3、得出萬(wàn)有引力公式把這兩個(gè)式子結(jié)合起來(lái)，再經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換（這里咱們就不詳細(xì)講這個(gè)復(fù)雜的過(guò)程啦，不然大家可能會(huì)被數(shù)學(xué)公式繞暈），最后就得出了F＝Gm1m2／r2這個(gè)萬(wàn)有引力公式。這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程就像一場(chǎng)神奇的魔法，把天體運(yùn)動(dòng)和地球上的重力現(xiàn)象用一個(gè)公式就聯(lián)系起來(lái)了。四、萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用（一）計(jì)算天體質(zhì)量1、以地球?yàn)槔蹅兛梢杂萌f(wàn)有引力定律來(lái)計(jì)算地球的質(zhì)量。比如說(shuō)，咱們知道地球表面的重力加速度g是大約9.8m/s2。在地球表面，物體受到的重力近似等于地球?qū)λ娜f(wàn)有引力。根據(jù)F＝Gm1m2／r2，這里m1可以看成是地球的質(zhì)量M，m2看成是地面上一個(gè)小物體的質(zhì)量m，r就是地球的半徑R。因?yàn)镕＝mg，所以mg＝GMm／R2，把數(shù)字代進(jìn)去，就可以算出地球的質(zhì)量M＝gR2／G。地球的半徑R大約是6371千米，把這個(gè)數(shù)值和g、G的值代進(jìn)去，就能算出地球的質(zhì)量啦。2、計(jì)算其他天體質(zhì)量同樣的道理，我們也可以用這個(gè)方法去計(jì)算其他天體的質(zhì)量。只要能測(cè)量出這個(gè)天體表面或者衛(wèi)星繞它運(yùn)行時(shí)的一些相關(guān)數(shù)據(jù)，像衛(wèi)星的周期、軌道半徑這些，就可以通過(guò)萬(wàn)有引力定律來(lái)算出這個(gè)天體的質(zhì)量。這就好像我們有了一把萬(wàn)能鑰匙，可以打開計(jì)算天體質(zhì)量的大門。（二）發(fā)現(xiàn)未知天體萬(wàn)有引力定律還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)未知天體呢。比如說(shuō)，天文學(xué)家在觀測(cè)天王星的運(yùn)動(dòng)軌跡的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的軌跡不太一樣。這就像一個(gè)人走路的路線和我們預(yù)先規(guī)劃好的路線不一樣一樣。那這是怎么回事呢？天文學(xué)家就推測(cè)，在天王星附近可能存在著另外一顆未知的天體，它的引力影響了天王星的運(yùn)動(dòng)軌跡。后來(lái)，經(jīng)過(guò)不斷地觀測(cè)和計(jì)算，就發(fā)現(xiàn)了海王星。這就像是在一個(gè)神秘的寶藏地圖上，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)隱藏的寶藏一樣。（三）人造衛(wèi)星1、衛(wèi)星的發(fā)射原理人造衛(wèi)星的發(fā)射也是基于萬(wàn)有引力定律的。當(dāng)我們把衛(wèi)星發(fā)射到一定的高度，并且給它一個(gè)合適的速度，它就可以繞著地球做圓周運(yùn)動(dòng)了。這個(gè)速度是很關(guān)鍵的，如果速度太小，衛(wèi)星就會(huì)掉回地球；如果速度太大，衛(wèi)星就會(huì)脫離地球的引力，跑到太陽(yáng)系里面去了。這個(gè)合適的速度就叫做第一宇宙速度。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，即GMm／r2＝mv2／r，這里M是地球質(zhì)量，m是衛(wèi)星質(zhì)量，r是衛(wèi)星到地球中心的距離，v就是衛(wèi)星的速度。解這個(gè)方程就可以得到第一宇宙速度v＝√（GM／r)。對(duì)于近地衛(wèi)星，r近似等于地球半徑R，把地球的質(zhì)量和半徑代進(jìn)去，就可以算出第一宇宙速度大約是7.9km/s。2、衛(wèi)星的軌道類型衛(wèi)星的軌道有很多種類型呢。有近地軌道，這種衛(wèi)星離地球比較近，它可以快速地繞地球飛行，適合用于一些對(duì)地球表面觀測(cè)要求比較高的任務(wù)，比如氣象衛(wèi)星、資源衛(wèi)星等。還有同步軌道衛(wèi)星，這種衛(wèi)星的特點(diǎn)是它繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和地球自轉(zhuǎn)的周期是一樣的，都是24小時(shí)。所以從地球上看，這種衛(wèi)星就好像是靜止在天空中的一樣，這種衛(wèi)星對(duì)于通信等方面有著非常重要的應(yīng)用。五、萬(wàn)有引力定律的重難點(diǎn)（一）重點(diǎn)1、萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容和公式這個(gè)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，同學(xué)們一定要牢記這個(gè)公式F＝Gm1m2／r2，并且要理解公式里面每個(gè)字母代表的含義。只有這樣，我們才能在各種題目中正確地運(yùn)用這個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算。2、萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用像計(jì)算天體質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、人造衛(wèi)星這些應(yīng)用，都是非常重要的知識(shí)點(diǎn)。這些應(yīng)用不僅可以幫助我們更好地理解萬(wàn)有引力定律，還能讓我們看到這個(gè)定律在科學(xué)研究和實(shí)際生活中的巨大作用。（二）難點(diǎn)1、萬(wàn)有引力定律的推導(dǎo)過(guò)程這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程涉及到很多的數(shù)學(xué)知識(shí)和物理概念的結(jié)合，像圓周運(yùn)動(dòng)、開普勒定律這些。對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)可能會(huì)比較難理解。但是同學(xué)們不要害怕，咱們可以多花點(diǎn)時(shí)間，一步一步地去分析每個(gè)步驟，慢慢地就會(huì)理解這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程了。2、在實(shí)際問(wèn)題中的綜合運(yùn)用當(dāng)我們遇到一些比較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可能需要綜合運(yùn)用萬(wàn)有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)、能量守恒等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。比如說(shuō)計(jì)算衛(wèi)星在橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)情況，這就需要我們把這些知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通。這就像做一道超級(jí)復(fù)雜的大菜，需要把各種食材（知識(shí)點(diǎn)）合理地搭配起來(lái)，才能做出一道美味的菜肴（得出正確答案）。六、課堂練習(xí)1、兩個(gè)質(zhì)量分別為5千克和8千克的物體，它們之間的距離為3米，求它們之間的萬(wàn)有引力大小。解：根據(jù)萬(wàn)有引力定律F＝Gm1m2／r2，把m1＝5千克，m2＝8千克，r＝3米，G＝6.67×10?11N·m2/kg2代進(jìn)去，得到F＝6.67×10?11×5×8／32＝6.67×10?11×40／9≈2.96×10?1?N2、已知地球的質(zhì)量為M，半徑為R，一顆人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為2R，求衛(wèi)星的運(yùn)行速度。解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMm／（2R)2＝mv2／（2R)，化簡(jiǎn)得到v2＝GM／（2R)，所以v＝√（GM／（2R)）