《二、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《二、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律》學(xué)習(xí)任務(wù)單一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能夠準(zhǔn)確說(shuō)出向量數(shù)乘運(yùn)算的三條運(yùn)算律（結(jié)合律、第一分配律、第二分配律）。2、可以熟練運(yùn)用這三條運(yùn)算律進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算。3、能在具體的向量運(yùn)算問(wèn)題中，正確識(shí)別并選擇合適的運(yùn)算律解題。二、學(xué)習(xí)內(nèi)容與任務(wù)分解（一）回顧向量數(shù)乘運(yùn)算的概念1、任務(wù)描述我們先一起回憶一下向量數(shù)乘運(yùn)算的概念哦。假如有一個(gè)向量\（＼vec{a}＼），實(shí)數(shù)\（＼lambda\），那么\（＼lambda\vec{a}＼）就是向量\（＼vec{a}＼）的數(shù)乘運(yùn)算。這個(gè)\（＼lambda\vec{a}＼）表示的向量呢，它的長(zhǎng)度是\（＼vert\lambda\vert\vert\vec{a}＼vert\），方向呢，如果\（＼lambda>0\），就和\（＼vec{a}＼）同向；如果\（＼lambda＜0\），就和\（＼vec{a}＼）反向；要是\（＼lambda＝0\），那\（＼lambda\vec{a}＼）就是零向量啦。就像我們?cè)诓賵?chǎng)上，把一個(gè)同學(xué)跑步的方向看成向量的方向，跑步速度的大小看成向量的大小，如果這個(gè)同學(xué)的速度乘以一個(gè)數(shù)，就好像改變了他跑步的狀態(tài)，這個(gè)數(shù)大于0就繼續(xù)按原來(lái)方向跑（只是速度大小變了），小于0就往相反方向跑啦。現(xiàn)在呢，大家自己舉三個(gè)不同的向量數(shù)乘運(yùn)算的例子，寫在本子上哦。2、學(xué)習(xí)資源課本第一章中關(guān)于向量數(shù)乘運(yùn)算概念的部分。3、時(shí)間安排8分鐘。4、互動(dòng)環(huán)節(jié)同桌之間互相檢查所舉的例子是否正確。如果發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，互相討論并改正。5、反饋與評(píng)價(jià)自我評(píng)估：檢查自己所舉的例子是否符合向量數(shù)乘運(yùn)算的概念，特別是向量的長(zhǎng)度和方向的變化是否正確。教師評(píng)價(jià)：老師會(huì)隨機(jī)抽取幾位同學(xué)的例子在黑板上展示，大家一起判斷對(duì)錯(cuò)。如果正確，給予表?yè)P(yáng)；如果錯(cuò)誤，幫助分析錯(cuò)誤原因。（二）學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律1、任務(wù)描述接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律啦。這個(gè)結(jié)合律呢，就是\（＼lambda(＼mu\vec{a}）＝（＼lambda\mu)＼vec{a}＼）。這就好比是我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)計(jì)算的時(shí)候，先算哪兩個(gè)數(shù)相乘是一樣的道理。比如說(shuō)，我們要給一群小螞蟻安排任務(wù)，把螞蟻的搬運(yùn)方向看成向量方向，搬運(yùn)力量看成向量大小。如果先讓小螞蟻的力量乘以\（＼mu\），再把這個(gè)結(jié)果乘以\（＼lambda\），和先把\（＼lambda\）和\（＼mu\）相乘，再乘以小螞蟻的力量是一樣的效果哦。同學(xué)們做一下這兩道練習(xí)題：已知\（＼vec{a}＼）是一個(gè)向量，＼（＼lambda＝2\），＼（＼mu＝3\），求\（＼lambda(＼mu\vec{a}）＼）和\（（＼lambda\mu)＼vec{a}＼）的值。設(shè)\（＼vec＼）是單位向量，＼（＼lambda=1\），＼（＼mu＝4\），計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec）＼）和\（（＼lambda\mu)＼vec＼）。2、學(xué)習(xí)資源課本上關(guān)于向量數(shù)乘運(yùn)算結(jié)合律的講解部分，還有配套的例題。3、時(shí)間安排12分鐘。4、互動(dòng)環(huán)節(jié)前后桌四個(gè)人為一組，互相交換答案，討論解題思路。如果有不同意見(jiàn)，大家一起分析誰(shuí)的對(duì)。5、反饋與評(píng)價(jià)自我評(píng)估：做完題目后，檢查自己是否按照結(jié)合律的公式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過(guò)程是否準(zhǔn)確。教師評(píng)價(jià)：老師在教室里走動(dòng)，查看大家的解題情況。如果大部分同學(xué)都做得很好，就簡(jiǎn)單表?yè)P(yáng)；如果發(fā)現(xiàn)有共性的錯(cuò)誤，就在黑板上進(jìn)行講解和糾正。（三）學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的第一分配律1、任務(wù)描述現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)第一分配律\（（＼lambda+＼mu)＼vec{a}＝＼lambda\vec{a}＋＼mu\vec{a}＼）。這個(gè)怎么理解呢？就好像是我們分糖果給小朋友，有\(zhòng)（＼lambda\）個(gè)小朋友和\（＼mu\）個(gè)小朋友合起來(lái)的一組小朋友，給這一組小朋友每人發(fā)\（＼vec{a}＼）個(gè)糖果，和分別給\（＼lambda\）個(gè)小朋友每人發(fā)\（＼vec{a}＼）個(gè)糖果，再給\（＼mu\）個(gè)小朋友每人發(fā)\（＼vec{a}＼）個(gè)糖果，最后糖果的總數(shù)是一樣的。完成下面的任務(wù)：證明\（（＼lambda+＼mu)＼vec{a}＝＼lambda\vec{a}＋＼mu\vec{a}＼）（可以畫圖或者用文字解釋哦）。已知\（＼vec{c}＼）是一個(gè)向量，＼（＼lambda＝3\），＼（＼mu＝1\），求\（（＼lambda+＼mu)＼vec{c}＼）和\（＼lambda\vec{c}＋＼mu\vec{c}＼）的值并比較。2、學(xué)習(xí)資源課本上的證明示例，還有課堂筆記中關(guān)于向量相加的知識(shí)。3、時(shí)間安排15分鐘。4、互動(dòng)環(huán)節(jié)老師會(huì)挑選幾位同學(xué)到黑板上展示自己的證明過(guò)程或者解題結(jié)果，其他同學(xué)可以進(jìn)行提問(wèn)或者補(bǔ)充。5、反饋與評(píng)價(jià)自我評(píng)估：如果是證明題，檢查自己的證明邏輯是否清晰，依據(jù)是否正確；如果是計(jì)算題，檢查計(jì)算結(jié)果是否正確。教師評(píng)價(jià)：根據(jù)同學(xué)們?cè)诤诎迳系谋憩F(xiàn)，進(jìn)行詳細(xì)的點(diǎn)評(píng)。如果證明方法新穎或者計(jì)算準(zhǔn)確，給予特別表?yè)P(yáng)；如果有錯(cuò)誤，耐心指出并引導(dǎo)改正。（四）學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的第二分配律1、任務(wù)描述最后我們學(xué)習(xí)第二分配律\（＼lambda(＼vec{a}＋＼vec）＝＼lambda\vec{a}＋＼lambda\vec＼）。這就好比是我們把兩堆東西合起來(lái)，然后按照\(chéng)（＼lambda\）倍去擴(kuò)大，和分別把這兩堆東西按照\(chéng)（＼lambda\）倍擴(kuò)大，再合起來(lái)是一樣的。比如說(shuō)，有兩堆小石子，一堆看成向量\（＼vec{a}＼），一堆看成向量\（＼vec＼），我們把這兩堆小石子的總和乘以\（＼lambda\），就和把兩堆小石子分別乘以\（＼lambda\）然后加起來(lái)是一樣的。做以下練習(xí)：已知\（＼vece242oui＼）和\（＼vec{e}＼）是兩個(gè)向量，＼（＼lambda＝5\），計(jì)算\（＼lambda(＼vec0ggs4ca＋＼vec{e}）＼）和\（＼lambda\vec2oqqqqi＋＼lambda\vec{e}＼）。設(shè)\（＼vec{f}＼）和\（＼vec{g}＼）是向量，＼（＼lambda=－2\），證明\（＼lambda(＼vec{f}＋＼vec{g}）＝＼lambda\vec{f}＋＼lambda\vec{g}＼）。2、學(xué)習(xí)資源課本上關(guān)于第二分配律的相關(guān)練習(xí)題，以及老師在課堂上補(bǔ)充的類似題型。3、時(shí)間安排15分鐘。4、互動(dòng)環(huán)節(jié)小組之間交換練習(xí)題，互相批改。如果對(duì)答案有爭(zhēng)議，小組代表可以舉手向老師提問(wèn)。5、反饋與評(píng)價(jià)自我評(píng)估：檢查自己的計(jì)算過(guò)程和證明過(guò)程是否正確，有沒(méi)有正確運(yùn)用第二分配律。教師評(píng)價(jià)：老師收集同學(xué)們的做題情況，對(duì)錯(cuò)誤較多的地方進(jìn)行集中講解，對(duì)做得好的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)。（五）綜合運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律解題1、任務(wù)描述現(xiàn)在我們要把這三條運(yùn)算律綜合起來(lái)運(yùn)用啦。就像我們搭積木，要把不同形狀的積木（不同的運(yùn)算律）組合起來(lái)，搭出漂亮的城堡（解決復(fù)雜的向量數(shù)乘運(yùn)算問(wèn)題）。完成以下綜合練習(xí)題：已知\（＼vec{m}＼）、＼（＼vec{n}＼）是向量，＼（＼lambda＝4\），＼（＼mu＝3\），求\（＼lambda(＼mu\vec{m}＋＼vec{n}）＼mu(＼lambda\vec{m}＼vec{n}）＼）的值。設(shè)\（＼vec{p}＼）、＼（＼vec{q}＼）、＼（＼vec{r}＼）是向量，＼（＼lambda＝2\），＼（＼mu＝1\），證明\（＼lambda(＼vec{p}＋＼vec{q}）＋＼mu(＼vec{q}＋＼vec{r}）（＼lambda＋＼mu)＼vec{q}＝＼lambda\vec{p}＋＼mu\vec{r}＼）。2、學(xué)習(xí)資源之前做過(guò)的關(guān)于每條運(yùn)算律的練習(xí)題，以及課本上綜合運(yùn)用的例題。3、時(shí)間安排20分鐘。4、互動(dòng)環(huán)節(jié)每個(gè)同學(xué)做完后，在小組內(nèi)分享自己的解題思路，然后小組內(nèi)評(píng)選出最清晰、最簡(jiǎn)便的解題方法，由小組代表向全班匯報(bào)。5、反饋與評(píng)價(jià)自我評(píng)估：檢查自己是否能夠準(zhǔn)確地運(yùn)用運(yùn)算律，解題步驟是否簡(jiǎn)潔明了。教師評(píng)價(jià)：根據(jù)小組代表的匯報(bào)和全班同學(xué)的解題情況，進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)。對(duì)于解題思路新穎、準(zhǔn)確的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì)，對(duì)存在問(wèn)題的同學(xué)給予指導(dǎo)。三、習(xí)題答案1、在計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec{a}）＼）和\（（＼lambda\mu)＼vec{a}＼）的值（已知\（＼vec{a}＼）是一個(gè)向量，＼（＼lambda＝2\），＼（＼mu＝3\））時(shí)：先計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec{a}）＼）：＼（＼mu\vec{a}＝3\vec{a}＼），＼（＼lambda(＼mu\vec{a}）＝2\times(3\vec{a}）＝6\vec{a}＼）。再計(jì)算\（（＼lambda\mu)＼vec{a}＼）：＼（＼lambda\mu＝2\times3＝6\），＼（（＼lambda\mu)＼vec{a}＝6\vec{a}＼）。2、在計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec）＼）和\（（＼lambda\mu)＼vec＼）（設(shè)\（＼vec＼）是單位向量，＼（＼lambda=1\），＼（＼mu＝4\））時(shí)：先計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec）＼）：＼（＼mu\vec＝4\vec＼），＼（＼lambda(＼mu\vec）＝－1\times(4\vec）＝4\vec＼）。再計(jì)算\（（＼lambda\mu)＼vec＼）：＼（＼lambda\mu=－1\times4＝4\），＼（（＼lambda\mu)＼vec＝－4\vec＼）。3、在計(jì)算\（（＼lambda+＼mu)＼vec{c}＼）和\（＼lambda\vec{c}＋＼mu\vec{c}＼）（已知\（＼vec{c}＼）是一個(gè)向量，＼（＼lambda＝3\），＼（＼mu＝1\））時(shí)：先計(jì)算\（（＼lambda+＼mu)＼vec{c}＼）：＼（＼lambda+＼mu＝3+（－1)＝2\），＼（（＼lambda+＼mu)＼vec{c}＝2\vec{c}＼）。再計(jì)算\（＼lambda\vec{c}＋＼mu\vec{c}＼）：＼（＼lambda\vec{c}＝3\vec{c}＼），＼（＼mu\vec{c}＝－1\times\vec{c}＝＼vec{c}＼），＼（＼lambda\vec{c}＋＼mu\vec{c}＝3\vec{c}＼vec{c}＝2\vec{c}＼）。4、在計(jì)算\（＼lambda(＼vecc86cmag＋＼vec{e}）＼）和\（＼lambda\vecyuo6gw0＋＼lambda\vec{e}＼）（已知\（＼vecwua20mc＼）和\（＼vec{e}＼）是兩個(gè)向量，＼（＼lambda＝5\））時(shí)：先計(jì)算\（＼lambda(＼vecoygiskg＋＼vec{e}）＼）：＼（＼lambda(＼vecogygeea＋＼vec{e}）＝5(＼vecqs4euoe＋＼vec{e}）＝5\vecwayswiq＋5\vec{e}＼）。再計(jì)算\（＼lambda\vecqkkag6u＋＼lambda\vec{e}＼）：＼（＼lambda\vecwukem0s＝5\vecmqi8ea8＼），＼（＼lambda\vec{e}＝5\vec{e}＼），＼（＼lambda\vecc0aswei＋＼lambda\vec{e}＝5\vecugcswio＋5\vec{e}＼）。5、在計(jì)算\（＼lambda(＼mu\vec{m}＋＼vec{n}）＼mu(＼lambda\vec{m}＼vec{n}）＼）（已知\（＼vec{m}＼）、＼（＼vec{n}＼）是向量，＼（＼lambda＝4\），＼（＼mu＝3\））時(shí)：先展開(kāi)式子：＼（＼lambda(＼mu\vec{m}＋＼vec{n}）＝＼lambda\mu\vec{m}＋＼lambda\vec{n}＼），＼（＼mu(＼lambda\vec{m}＼vec{n}）＝＼mu\lambda\vec{m}＼mu\vec{n}＼）。代入\（＼lambda＝4\），＼（＼mu＝3\）：＼（＼lambda\mu\vec{m}＋＼lambda\vec{n}＝4\times(－3)＼vec{m}＋4\vec{n}＝－12\vec{m}＋4\vec{n}＼）。＼（＼mu\lambda\vec{m}＼mu\vec{n}＝－3\times4\vec{m}（－3)＼vec{n}＝－12\vec{m}＋3\vec{n}＼）。然后相減：＼（（－12\vec{m}＋4\vec{n}）（－12\vec{m}＋3\vec{n}）＝－12\vec{m}＋4\vec{n}＋12\vec{m}－3\vec{n}＝＼vec{n}＼）。6、在證明\（＼lambda(＼vec{p}＋＼vec{q}）＋＼mu(＼vec{q}＋＼vec{r}）（＼lambda＋＼mu)＼vec{q}＝＼lambda\vec{p}＋＼mu\vec{r}＼）（設(shè)\（＼vec{p}＼）、＼（＼vec{q}＼）、＼（＼vec{r}＼）是向量，＼（＼lambda＝2\），＼（＼mu＝