江蘇省南京市鼓樓區(qū)2024-2025學年八年級上學期期中數學試卷（含答案解析）

2024-2025學年八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1．以下四家銀行的行標圖中，是軸對稱圖形的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下面三組數中是勾股數的一組是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．5，12，133．如圖，已知△ABC≌△ADE，∠BAC=55°，∠ADE=100°，則∠C的度數為（

）A．55° B．45° C．35° D．25°4．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．165．下列說法：①角平分線上的點到角兩邊的距離相等；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③三角形三邊的垂直平分線交于一點且這一點到三角形三個頂點的距離相等；④等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是32或40．其中，所有正確說法的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長度的最小值為4；③四邊形CDFE的面積保持不變；④△CDE面積的最大值為8．其中正確的結論是（）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．角是軸對稱圖形，_______是它的對稱軸．8．等腰三角形的一個角等于100°，則它的底角是_______°9．如圖，已知，要用“”判斷，需添加的一個條件：．10．直角三角形兩直角邊長分別是6cm和8cm，則斜邊上的中線長等于．11．如圖，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，則點D到AB的距離為cm．12．如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的周長為．

13．如圖所示，將長方形紙片進行折疊，如果，那么度．14．2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是14，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為．

15．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，，則的周長為．16．如圖，中，，已知平面內有一點，使得與均為等腰三角形，則所有滿足條件的點有個．三、解答題（本大題共10小題，共68分）17．已知：如圖，，，，、是垂足，．求證：．18．[學科素養(yǎng)·幾何直觀]如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，有一個以格點為頂點的．（1）作關于直線對稱的圖形；（2）求的面積；（3）在上畫出點，使得的值最?。?9．某校有一空地，如圖所示，現計劃在空地上中草皮，經測量，，，，，，若種植平方米草皮需要元，問總共需要投入多少元？20．證明命題：直角三角形30°角所對的邊是斜邊的一半，請寫已知，求證，并證明．已知：；求證：；證明過程：

21．如圖，在中，，．點C在直線l上，分別過點A、B作直線l于點D，直線l于點F．（1）求證：；（2）設三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．22．如圖，中，是的角平分線，于點E，于點F，連接交于點G．（1）求證：直平分；（2）已知，，求的面積．23．已知為直線外一點，利用直尺和圓規(guī)在上作點、，分別滿足下列條件．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖①中，，（2）在圖②中，，．24．已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，點E在AB上，ED⊥AC于點D，M為EC的中點．（1）試判斷BM和DM有怎樣的位置關系和數量關系，并說明理由；（2）當AE＝2時，△BMD的面積是cm2．25．如圖，在中，于D，，，，點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著運動，設點P運動的時間為t秒．（1）當__________時，平分的面積；（2）求當t為何值時，為軸對稱圖形；（3）若點E、F分別為、上的動點，則的最小值為__________．26．【引例】如圖，點、、在同一條直線上，在直線同側作兩個等腰直角三角形和，，，連接、．則與的關系是______．【模型建立】如圖，在和中，，，，連接、相交于點．求證：①；②．【拓展應用】如圖，在四邊形中，對角線與交于點，，，．若，，求的值．參考答案1．C【詳解】第1個行標是軸對稱圖形，第2個行標不是軸對稱圖形，第3個行標是軸對稱圖形，第4個行標是軸對稱圖形，所以共3個軸對稱圖形，故選：C．2．D【分析】勾股數的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數，據此求解即可．【詳解】解：A．62+72≠82，不能構成勾股數，故錯誤；B．22+32≠42，不能構成勾股數，故錯誤；C．1.5和2.5不是整數，所以不能構成勾股數，故錯誤；D．52+122=132，能構成勾股數，故正確．故選：D．【點睛】此題考查的知識點是勾股數，解答此題要深刻理解勾股數的定義．3．D【分析】先根據“全等三角形對應角相等”得出，再根據三角形內角和定理即可求出的度數．本題主要考查了全等三角形的性質和三角形內角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】∵，，在中，，，．故選：D4．D【詳解】試題分析：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，，即，解得BD=8，∴BC=16．故選D．考點：1．勾股定理；2．等腰三角形的性質．5．C【分析】本題考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的定義及三邊關系，根據角平分線的性質、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的定義及三邊關系逐項判定即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：①角平分線上的點到角兩邊的距離相等，原說法正確；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，原說法是錯誤的；③三角形三邊的垂直平分線交于一點且這一點到三角形三個頂點的距離相等，原說法正確；④等腰三角形的一邊長為，一邊長為，那么它的周長是40，原說法是錯誤的；∴正確的說法是①③，故選：．6．C【分析】①連接CF,構造全等三角形,證明△ADF≌△CEF即可.②通過①可得△DFE是等腰直角三角形,則斜邊DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.③通過證明△ADF≌△CEF,進行等面積代換即可得出.④通過結論③,換角度將四邊形CDFE的面積分為△CDE與△DEF,令△DEF的面積最小即可.【詳解】①連接CF．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，∵AD＝CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∵∠AFD+∠CFD＝90°∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本選項正確；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴當DE最小時，DF也最小，即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF＝BC＝4，∴DE＝DF＝，故本選項錯誤；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF，∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC故本選項正確；④當△CED面積最大時，由③知，此時△DEF的面積最小，此時，S△CED＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，故本選項正確；綜上所述正確的有①③④．故選：C．

【點睛】本題旨在考查等腰直角三角形的性質,全等三角形的構造與應用,并結合動圖和最值問題,熟練掌握等腰三角形的性質和全等三角形,應用數形結合的數學思維是解答關鍵.7．角平分線所在的直線【分析】根據角平分線的定義即可解答．【詳解】解：角的對稱軸是“角平分線所在的直線”．故答案為：角平分線所在的直線．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形，理解軸對稱圖形沿對稱軸折疊能夠完全重合是解題的關鍵．8．【分析】本題考查了等腰三角形的性質定理與三角形內角和定理．熟練掌握等腰三角形的性質定理與三角形內角和定理是解題的關鍵；根據等腰三角形的性質定理與三角形內角和定理，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形的一個角為，當該角為頂角時，底角為，當該角為底角時，不符合題意，故答案為：9．（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據題意可得，且，，運用的方法，添加一條邊即可求解．【詳解】解：∵，∴，根據題意可得，，，∵要運用“”判斷，∴添加的條件為：，∵，∴，即，∴，故答案為：．10．5cm##5厘米【分析】先利用勾股定理求解斜邊，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長分別是6cm和8cm，∴斜邊為：，∴斜邊上的中線長等于．故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線的應用，熟記直角三角形斜邊上的中線的性質是解本題的關鍵．11．4．【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD，再根據CD=BC-BD計算即可得解．【詳解】如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，∴DE=CD，∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，∴DE=4cm，即點D到AB的距離為4cm．故答案為4．考點：角平分線的性質．12．【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得，進而可得，即可得出答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，，，，，的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖、線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質以及作圖方法是解答本題的關鍵．13．55【分析】利用平行線的性質可得∠1＝70°，利用折疊及平行線的性質，三角形的內角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度數．【詳解】解：由題意得EF//GH，∵，∴∠1＝∠BHG＝70°，∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°，由折疊可得∠2＝∠FEH，∵AD//BC∴∠2＝∠BHE，∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°．故答案為55．【點睛】考查折疊問題；綜合利用平行線的性質，三角形的內角和定理及折疊的性質解題是解決本題的思路．14．【分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，根據大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據即可求解，正確表示出直角三角形的面積是解題的關鍵．【詳解】解：∵大正方形的面積是14，∴，∴，∵小正方形的面積是2，∴直角三角形的面積為，又∵直角三角形的面積為，∴，∴，故答案為：．15．14【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握與勾股定理有關圖形面積計算是解題關鍵．根據勾股定理得到，根據半圓面積公式、完全平方公式由可得，由，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，，，，，，，，，（負值舍去），的周長，故答案為：14．16．【分析】本題考查了等腰三角形的定義，根據等腰三角形的定義作出圖形即可求解，正確作出圖形是解題的關鍵．【詳解】畫圖如下，滿足條件的點有個，故答案為：．17．詳見解析【分析】先證Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根據全等三角形性質得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF.【詳解】證明：因為，所以∠AED=∠BFC=90°在Rt△AED和Rt△CFB中所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL）所以BF=ED所以BF-EF=ED-EF所以BE=DF【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.18．（1）見解析（2）（3）見解析【分析】（1）本小問考查作圖之軸對稱變換，分別作出、、關于直線的對應點，依次連接對應點，即可解題．（2）本小問可利用割補法求三角形面積．（3）本小問考查利用“將軍飲馬”模型求線段和最小值，靈活掌握該模型即可解題．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：如圖所示，的面積等于矩形的面積減去①、②、③三個三角形的面積，即．（3）解：如圖，點即為所求．19．元【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用，連接，由勾股定理可得，進而由勾股定理的逆定理得到為直角三角形，再根據求出四邊形的面積即可求解，掌握勾股定理及其逆定理的應用是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵，，，∴，在中，，，∴，∴為直角三角形，∴，∴，∴共需要投入元．20．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB，證明見解析【分析】延長BC到D，使CD=BC，連接AD，求出△ADB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出BD=AB，即可得出答案．【詳解】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證：BC=AB，證明：

延長BC到D，使CD=BC，連接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB.【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質和等邊三角形的性質和判定，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．21．（1）見解析（2）見解析【分析】（1）通過證明，得，，即可得出結論；（2）利用等面積法證得勾股定理．【詳解】（1），，．，又，．在和中，．．（2）由（1）知：，，．．又．．整理，得．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理的證明，證明是解題的關鍵．22．（1）見解析（2）19【分析】此題考查了角平分線的性質定理、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的判定等知識．（1）由角平分線性質得到，證明，則，即可證明直平分；（2）由（1）可知．根據，，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，于點E，于點F，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴垂直平分；（2）解：由（1）可知．∵，，∴．23．（1）畫圖見解析（2）畫圖見解析【分析】本題考查的是作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，掌握基本幾何圖形的性質并應用于作圖是解本題的關鍵．（1）如圖，先過作直線的垂線，垂足為，再以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，，連接，即可；由等腰直角三角形的性質可得：，可得，；（2）如圖，過作直線的垂線，垂足為，截取，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，作線段的垂直平分線交直線于，再以為圓心，為半徑畫弧交直線于，連接，，可得，連接，則，可得為等邊三角形，可得，，可得，可得為等邊三角形，可得．【詳解】（1）解：如圖，，，即為求作的線段與直角；（2）如圖，線段，，即為求作的線段與角；24．（1）BM⊥DM，BM＝DM，見解析；（2）12.5【分析】（1）根據直角三角形的性質得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根據三角形的外角性質解答即可；（2）利用勾股定理求出CE的長度，根據（1）已求證的結論可得到BM、DM的長度，再運用直角三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）位置和數量關系：BM⊥DM，BM＝DM．∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，點M為EC的中點，AB＝BC，∴BM＝CE＝CM，DM＝CE＝CM，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BM＝DM，∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD∵∠BME＝∠MBC+∠MCB，∠DME＝∠MDC+∠MCD∠MCB+∠MCD＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝45°+45°＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM（2）由（1）知BM＝DM，，∵，∴，∴，由（1）已證，∴，，故答案是：12.5．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、三角形的外角性質、勾股定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解