江蘇省南京市鼓樓區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024-2025學(xué)年八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1．以下四家銀行的行標(biāo)圖中，是軸對(duì)稱圖形的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．下面三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．5，12，133．如圖，已知△ABC≌△ADE，∠BAC=55°，∠ADE=100°，則∠C的度數(shù)為（

）A．55° B．45° C．35° D．25°4．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，則BC的長(zhǎng)度為（）A．6 B．8 C．12 D．165．下列說(shuō)法：①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8，一邊長(zhǎng)為16，那么它的周長(zhǎng)是32或40．其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長(zhǎng)度的最小值為4；③四邊形CDFE的面積保持不變；④△CDE面積的最大值為8．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．角是軸對(duì)稱圖形，_______是它的對(duì)稱軸．8．等腰三角形的一個(gè)角等于100°，則它的底角是_______°9．如圖，已知，要用“”判斷，需添加的一個(gè)條件：．10．直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)等于．11．如圖，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，則點(diǎn)D到AB的距離為cm．12．如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的周長(zhǎng)為．

13．如圖所示，將長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行折疊，如果，那么度．14．2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是14，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為．

15．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作和．若，，則的周長(zhǎng)為．16．如圖，中，，已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得與均為等腰三角形，則所有滿足條件的點(diǎn)有個(gè)．三、解答題（本大題共10小題，共68分）17．已知：如圖，，，，、是垂足，．求證：．18．[學(xué)科素養(yǎng)·幾何直觀]如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的．（1）作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；（2）求的面積；（3）在上畫出點(diǎn)，使得的值最?。?9．某校有一空地，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上中草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，，，若種植平方米草皮需要元，問(wèn)總共需要投入多少元？20．證明命題：直角三角形30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，請(qǐng)寫已知，求證，并證明．已知：；求證：；證明過(guò)程：

21．如圖，在中，，．點(diǎn)C在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l于點(diǎn)D，直線l于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）設(shè)三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．22．如圖，中，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．（1）求證：直平分；（2）已知，，求的面積．23．已知為直線外一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)在上作點(diǎn)、，分別滿足下列條件．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖①中，，（2）在圖②中，，．24．已知：在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，點(diǎn)E在AB上，ED⊥AC于點(diǎn)D，M為EC的中點(diǎn)．（1）試判斷BM和DM有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)AE＝2時(shí)，△BMD的面積是cm2．25．如圖，在中，于D，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)__________時(shí)，平分的面積；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，為軸對(duì)稱圖形；（3）若點(diǎn)E、F分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．26．【引例】如圖，點(diǎn)、、在同一條直線上，在直線同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形和，，，連接、．則與的關(guān)系是______．【模型建立】如圖，在和中，，，，連接、相交于點(diǎn)．求證：①；②．【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，．若，，求的值．參考答案1．C【詳解】第1個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，第2個(gè)行標(biāo)不是軸對(duì)稱圖形，第3個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，第4個(gè)行標(biāo)是軸對(duì)稱圖形，所以共3個(gè)軸對(duì)稱圖形，故選：C．2．D【分析】勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A．62+72≠82，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；B．22+32≠42，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；C．1.5和2.5不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；D．52+122=132，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義．3．D【分析】先根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，在中，，，．故選：D4．D【詳解】試題分析：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分線，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，，即，解得BD=8，∴BC=16．故選D．考點(diǎn)：1．勾股定理；2．等腰三角形的性質(zhì)．5．C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的定義及三邊關(guān)系，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義及三邊關(guān)系逐項(xiàng)判定即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，原說(shuō)法正確；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，原說(shuō)法是錯(cuò)誤的；③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說(shuō)法正確；④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)為，那么它的周長(zhǎng)是40，原說(shuō)法是錯(cuò)誤的；∴正確的說(shuō)法是①③，故選：．6．C【分析】①連接CF,構(gòu)造全等三角形,證明△ADF≌△CEF即可.②通過(guò)①可得△DFE是等腰直角三角形,則斜邊DE=DF,求得DF的最小值即可得到DE的最小值.③通過(guò)證明△ADF≌△CEF,進(jìn)行等面積代換即可得出.④通過(guò)結(jié)論③,換角度將四邊形CDFE的面積分為△CDE與△DEF,令△DEF的面積最小即可.【詳解】①連接CF．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，∵AD＝CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∵∠AFD+∠CFD＝90°∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本選項(xiàng)正確；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF＝BC＝4，∴DE＝DF＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF，∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△CEF＝S△DCF+S△ADF＝S△ACF＝S△ABC故本選項(xiàng)正確；④當(dāng)△CED面積最大時(shí)，由③知，此時(shí)△DEF的面積最小，此時(shí)，S△CED＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，故本選項(xiàng)正確；綜上所述正確的有①③④．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題旨在考查等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的構(gòu)造與應(yīng)用,并結(jié)合動(dòng)圖和最值問(wèn)題,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維是解答關(guān)鍵.7．角平分線所在的直線【分析】根據(jù)角平分線的定義即可解答．【詳解】解：角的對(duì)稱軸是“角平分線所在的直線”．故答案為：角平分線所在的直線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸折疊能夠完全重合是解題的關(guān)鍵．8．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)角為，當(dāng)該角為頂角時(shí)，底角為，當(dāng)該角為底角時(shí)，不符合題意，故答案為：9．（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意可得，且，，運(yùn)用的方法，添加一條邊即可求解．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)題意可得，，，∵要運(yùn)用“”判斷，∴添加的條件為：，∵，∴，即，∴，故答案為：．10．5cm##5厘米【分析】先利用勾股定理求解斜邊，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，∴斜邊為：，∴斜邊上的中線長(zhǎng)等于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線的應(yīng)用，熟記直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．4．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD，再根據(jù)CD=BC-BD計(jì)算即可得解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，∴DE=CD，∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，∴DE=4cm，即點(diǎn)D到AB的距離為4cm．故答案為4．考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)．12．【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可得出答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段AB的垂直平分線，，，，，的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．13．55【分析】利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝70°，利用折疊及平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度數(shù)．【詳解】解：由題意得EF//GH，∵，∴∠1＝∠BHG＝70°，∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°，由折疊可得∠2＝∠FEH，∵AD//BC∴∠2＝∠BHE，∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°．故答案為55．【點(diǎn)睛】考查折疊問(wèn)題；綜合利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)解題是解決本題的思路．14．【分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，根據(jù)大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據(jù)即可求解，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵大正方形的面積是14，∴，∴，∵小正方形的面積是2，∴直角三角形的面積為，又∵直角三角形的面積為，∴，∴，故答案為：．15．14【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握與勾股定理有關(guān)圖形面積計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)半圓面積公式、完全平方公式由可得，由，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），的周長(zhǎng)，故答案為：14．16．【分析】本題考查了等腰三角形的定義，根據(jù)等腰三角形的定義作出圖形即可求解，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】畫圖如下，滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，故答案為：．17．詳見解析【分析】先證Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF.【詳解】證明：因?yàn)?，所以∠AED=∠BFC=90°在Rt△AED和Rt△CFB中所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL）所以BF=ED所以BF-EF=ED-EF所以BE=DF【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.18．（1）見解析（2）（3）見解析【分析】（1）本小問(wèn)考查作圖之軸對(duì)稱變換，分別作出、、關(guān)于直線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可解題．（2）本小問(wèn)可利用割補(bǔ)法求三角形面積．（3）本小問(wèn)考查利用“將軍飲馬”模型求線段和最小值，靈活掌握該模型即可解題．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：如圖所示，的面積等于矩形的面積減去①、②、③三個(gè)三角形的面積，即．（3）解：如圖，點(diǎn)即為所求．19．元【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，連接，由勾股定理可得，進(jìn)而由勾股定理的逆定理得到為直角三角形，再根據(jù)求出四邊形的面積即可求解，掌握勾股定理及其逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵，，，∴，在中，，，∴，∴為直角三角形，∴，∴，∴共需要投入元．20．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB，證明見解析【分析】延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，求出△ADB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BD=AB，即可得出答案．【詳解】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求證：BC=AB，證明：

延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB.【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．21．（1）見解析（2）見解析【分析】（1）通過(guò)證明，得，，即可得出結(jié)論；（2）利用等面積法證得勾股定理．【詳解】（1），，．，又，．在和中，．．（2）由（1）知：，，．．又．．整理，得．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的證明，證明是解題的關(guān)鍵．22．（1）見解析（2）19【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)．（1）由角平分線性質(zhì)得到，證明，則，即可證明直平分；（2）由（1）可知．根據(jù)，，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴垂直平分；（2）解：由（1）可知．∵，，∴．23．（1）畫圖見解析（2）畫圖見解析【分析】本題考查的是作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握基本幾何圖形的性質(zhì)并應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．（1）如圖，先過(guò)作直線的垂線，垂足為，再以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，，連接，即可；由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，可得，；（2）如圖，過(guò)作直線的垂線，垂足為，截取，以為圓心，為半徑畫弧，交直線于，作線段的垂直平分線交直線于，再以為圓心，為半徑畫弧交直線于，連接，，可得，連接，則，可得為等邊三角形，可得，，可得，可得為等邊三角形，可得．【詳解】（1）解：如圖，，，即為求作的線段與直角；（2）如圖，線段，，即為求作的線段與角；24．（1）BM⊥DM，BM＝DM，見解析；（2）12.5【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝DM，∠MCB＝∠MBC，∠MCD＝∠MDC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可；（2）利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)度，根據(jù)（1）已求證的結(jié)論可得到BM、DM的長(zhǎng)度，再運(yùn)用直角三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）位置和數(shù)量關(guān)系：BM⊥DM，BM＝DM．∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，AB＝BC，∴BM＝CE＝CM，DM＝CE＝CM，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴BM＝DM，∠MBC＝∠MCB，∠MDC＝∠MCD∵∠BME＝∠MBC+∠MCB，∠DME＝∠MDC+∠MCD∠MCB+∠MCD＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝45°+45°＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM（2）由（1）知BM＝DM，，∵，∴，∴，由（1）已證，∴，，故答案是：12.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、勾股定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解