2018屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖表面積和體積解析版

2018屆數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)立體幾何：(一)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖、表面積和體積知識梳理·題型剖析【知識歸納梳理】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征１．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱eｑ\b\lc\{\ｒｃ\(\a＼vs4\al\ｃo1(底面：互相平行,側(cè)面:都是四邊形，且每相鄰兩個面的交線都,平行且相等)）(2)棱錐eｑ\ｂ\ｌc\｛\rc\(\a\ｖs4\al＼co１(底面:是多邊形,側(cè)面：都是有一個公共頂點的三角形))(３)棱臺棱錐被平行于棱錐底面的平面所截,截面與底面之間的部分.２.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1）圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到.(２）圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(４）球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.[注意］(1）認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征時,易忽視定義,可借助于幾何模型強化對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識．(2)臺體可以看成是由錐體截得的,但一定強調(diào)截面與底面平行.二、空間幾何體的三視圖與直觀圖1.空間幾何體的三視圖(1)空間幾何體的三視圖包括正(主）視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正,高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬;③看不到的線畫虛線.［注意]若相鄰兩物體的表面相交,則表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實、虛線的區(qū)別.2.空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測＿畫法,基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點O，畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的ｘ′軸、y′軸,兩軸相交于點O′,且使∠ｘ′O′y′＝45°(或135°).(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別平行于x′軸、y′軸.（3)已知圖形中平行于ｘ軸的線段，在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话?（4)在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOｙ平面,在直觀圖中對應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變．[注意］按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖=eq\ｆ(\r(2),４)S原圖形，S原圖形=２ｅq\r(２)S直觀圖.三、空間幾何體的表面積和體積1.空間幾何體的表面積當(dāng)圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時,得到圓柱;當(dāng)圓臺的上底面半徑為零時,得到圓錐，由此可得：S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))Ｓ圓臺側(cè)=π（r+r′)leq\o（→，\s\up7(r′=0))Ｓ圓錐側(cè)=πｒl[注意]組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.2.空間幾何體的體積(1)柱體：Ｖ柱體＝Sh；Ｖ圓柱＝πｒ２h.(2)錐體:V錐體＝eq\ｆ(1,3)Sh;V圓錐=eq\ｆ（1,3)πr2h.(3)臺體：V臺體=eｑ\f(1,3)(S＋eｑ\r(ＳＳ′）+Ｓ′）ｈ；V圓臺=eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2).３.球體(１)球的表面積公式：S＝4πR2；球的體積公式V＝eq\ｆ（4,3)πR3(2)正方體與球：①正方體的內(nèi)切球:截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為a,則｜OＪ｜=r=eq\f(a,2)(r為內(nèi)切球半徑)．②與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形ＥFHG的外接圓，則|GＯ|=R=eq＼f(\r(２),2）ａ.③正方體的外接球:截面圖為正方形ACC1Ａ1的外接圓，則｜Ａ１O(jiān)|＝R′=ｅq＼f（\r(3)，2)a.(3)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長為a,內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R,取ＡB的中點為D,連接CD,SE為正四面體的高,在截面三角形ＳDC內(nèi)作一個與邊SD和DC相切,圓心在高SE上的圓.因為正四面體本身的對稱性,內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時,CO＝OS＝R，OＥ=r,ＳE=eq\r(＼f(２,3）)ａ,CE=eｑ\ｆ(＼r(３),3)a，則有R+ｒ=ｅq＼r(\ｆ(2，3）)ａ，Ｒ2－r2＝｜CE|2＝eq\f（ａ2,3)，解得R=eq\f(\r(６),4)a,ｒ＝eq\f(\ｒ(6),１2)ａ.【第１講：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖】題型1：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典型例題】［例１](1)設(shè)有以下四個命題:①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形;④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點;⑤直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐．其中真命題的序號是＿__＿__＿＿．解析:命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題②是錯誤的;③正確,如圖1,PD⊥平面ＡBCD,其中底面ABCD為矩形,可證明∠PＡB,∠PCＢ為直角,這樣四個側(cè)面都是直角三角形;命題④由棱臺的定義知是正確的；⑤錯誤,當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖2所示,它是由兩個同底圓錐形成的.答案：①③④(2)以下命題：①直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱;③圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；④棱錐截去一個小棱錐后剩余部分是棱臺.其中正確的命題序號是＿___＿___.【答案】③[例2](１)用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（）A.圓柱B.圓錐C．球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體.(2)下列結(jié)論正確的是（)A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線解析：選DA錯誤,如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，它的各個面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或△ＡBC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐；C錯誤,若該棱錐是六棱錐，由題設(shè)知,它是正六棱錐．易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長,這與題設(shè)矛盾.圖1圖2【變式訓(xùn)練】1.判斷正誤(１)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐(）(3)用一個平面去截一個球,截面是一個圓面()答案：(1)×（2）×(３)√2.下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：①若有兩個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；②若過兩個相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其中,真命題的編號是__＿_＿__＿.【答案】②④３.給出四個命題:①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體;③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長方體一定是正四棱柱.其中正確的命題個數(shù)是()Ａ.０B.1C．2D．３【答案】A題型2:空間幾何體的三視圖與直觀圖【典型例題】[例1](１)一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為（)【答案】C(2）如圖由若干個相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖,其中小立方體中的數(shù)字表示相應(yīng)位置的小立方體的個數(shù),則該幾何體的側(cè)視圖為()解析:選Ｃ由俯視圖知側(cè)視圖從左到右能看到的小立方體個數(shù)分別為2,3,１.(3)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長為２的正三角形,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()【答案】B(4)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖為（)【答案】Ｃ(5)如圖所示,Ｅ、F分別為正方體ABCＤ—A1B1C1D1的面ADD１A１、面ＢＣC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面DCＣ1D1上的投影是_____＿.(填序號)【答案】②[例2］(１)(2０１4·福建)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是()A.圓柱B.圓錐Ｃ.四面體D.三棱柱【答案】Ａ［考向1]因為圓錐、四面體、三棱柱的正視圖均可以是三角形,而圓柱無論從哪個方向看均不可能是三角形，故選A.(２）(2014·課標(biāo)Ⅰ)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是（）A.三棱錐B.三棱柱Ｃ．四棱錐Ｄ.四棱柱［解析]B[由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形,兩個四邊形,分析可知該幾何體為三棱柱,故選B.]（3)(教材例題改編)已知空間幾何體的三視圖如圖,則該幾何體是由＿__＿_＿___＿__＿_____組合而成.答案：圓柱和正四棱柱(4)(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ＡBCD-A′Ｂ′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是_＿______,截去的幾何體是＿＿_＿_＿＿_．答案：五棱柱三棱柱(５)(2015·北京朝陽期末）一個四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A.1B.2C.3D．４[解析]D[滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示,易知該四棱錐四個側(cè)面均為直角三角形.]［例3］(1)利用斜二測畫法得到的以下結(jié)論,正確的是___＿_＿____.(寫出所有正確的序號)①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形;④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形．【答案】①②④(2)用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC,ＡD平行于x軸.已知四邊形ABＣD的面積為2eq\ｒ（２)ｃm2,則原平面圖形的面積為（）Ａ.４cｍ2B.4ｅq＼r(2）cm２C.8ｃｍ2D．8eq\ｒ（２)cｍ2解析:選C依題意可知∠BAＤ=４5°,則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC,AＤ相等，高為梯形AＢCD的高的2eｑ\r(２)倍,所以原平面圖形的面積為8cm2．(3)(2０14·湖北)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Ｏ-xｙｚ中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（０,0,２)，(2,2,0),(１,2,１),(2,2，２).給出編號①②③④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(）A.①和②Ｂ．③和①Ｃ.④和③D.④和②解析:選D在空間直角坐標(biāo)系O-ｘｙｚ中作出棱長為２的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示，由圖可知，該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.選Ｄ.【變式訓(xùn)練】1.(2011·課標(biāo)全國）在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【答案】D2.(2015·成都一診)若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個全等的正方形,則這個幾何體的俯視圖不可能是()[解析]C［由題意知,俯視圖的長度和寬度相等,故C不可能．]3．(２01５·南陽三模）已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選Ｃ當(dāng)正視圖為等腰三角形時，則高應(yīng)為2，且應(yīng)為虛線,排除A,Ｄ；當(dāng)正視圖是直角三角形，由條件得一個直觀圖如圖所示，中間的線是看不見的線ＰA形成的投影,應(yīng)為虛線,故答案為Ｃ.4.(２015·桂林一調(diào))已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（)[解析]Ｃ［選項Ａ，Ｂ,D中的俯視圖,正方形內(nèi)的線應(yīng)該為另一條對角線,當(dāng)四棱錐的直觀圖為右圖時,它的三視圖是C．]5.一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖不可能為：①長方形;②正方形；③圓;④橢圓．其中正確的是＿_______.答案：②③6．(2016天津文)將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()ABCD【答案】B7.(２０15·東北三校聯(lián)考）利用斜二測畫法可以得到：①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形;④菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論正確的是_____＿__.答案：①②8.(２01５·福州模擬)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形,則原來的圖形是()解析：選A由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形,對角線長為eq\r(２),所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對角線長為2eq\r(2）．9.(2０1３·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()【答案】D[考向1］由三視圖可知該幾何體為一個上部為圓臺、下部為圓柱的組合體,圓臺的下底面和圓柱的底面恰好重合.１0.（２014·江西)一個幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個俯視圖中正確的是()【答案】B俯視圖為在水平投射面上的正投影,結(jié)合幾何體可知選Ｂ.【第2講:空間幾何體的三視圖與表面積和體積】題型３:空間幾何體的三視圖與表面積【典型例題】[例1](1)(2015·北京石景山一模）正三棱柱的側(cè)（左)視圖如圖所示，則該正三棱柱的側(cè)面積為________．解析：由側(cè)(左）視圖知：正三棱柱的高(側(cè)棱長)為2,底邊上的高為eq\r(3），所以底邊邊長為２,側(cè)面積為3×2×2=1２．答案：12（2)(2０1４·日照一模)如圖是一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖,其俯視圖是面積為8eｑ\ｒ（2)的矩形.則該幾何體的表面積是().A.８B.２0+8eq\r（2)C.16D.24+8ｅq\r(２)解析由已知俯視圖是矩形,則該幾何體為一個三棱柱,根據(jù)三視圖的性質(zhì),俯視圖的矩形寬為２eq\r(２),由面積8eｑ\r(２),得長為4，則該幾何體的表面積為S=２×eq\f（1，2)×2×2＋2ｅq＼r（2)×4+2×2×4＝２０+8eq\r(2）.答案B(3)(201４·許昌模擬)如圖所示,一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為１的圓,那么這個幾何體的表面積為()．A.4πB.eq＼f（３,2）πＣ.3πD．2π解析由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱，Ｓ表=2×π×eq\b\ｌｃ\(\rc\)（\a\vs4\ａl\ｃo1（\f(1,2))）２+π×１×1=eq\f(３π,2)．答案B（4)(2016·湖南長沙聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可得這個幾何體的表面積是__＿＿___＿.【解析】由題意知,該幾何體是一個側(cè)放的圓錐,圓錐底面位于右側(cè),底面圓的半徑為１,圓錐的高為2,易知其母線長為eq＼r（5)，所以其表面積為S=π·1×(1+eq\r(5））＝ｅq＼ｒ（５）π＋π.【答案】eq\r(5)π＋π（5)(2016·課標(biāo)＝3\*ROMAＮ\*MERGEＦＯRMＡTIＩI)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.１8＋36eq＼ｒ(5)B.５4＋１8eq\r(5)C.90D.８1解析B[考向２]由圖可知,該幾何體為四棱柱,Ｓ表＝2S底+２S前＋2S側(cè)=2×32＋２×3×6＋2×3×eｑ\r(３２＋62)＝18＋3６+18eｑ\r（5）=54+１8eq\r（5)．[例２]（1)已知棱長為ａ,各面均為等邊三角形的四面體S-ABＣ,則它的表面積為______＿_.解析:過S作ＳＤ⊥BC,∵ＢC＝a,∴ＳD=eq\f(＼r(3),2)a∴S△SBＣ=eq\ｆ(\r（3),4)a2,∴表面積S＝4×eq\ｆ(\r(3)，4)a2＝eｑ\r(3)a2.答案：eq\ｒ(３)ａ2(2)(2015·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（)A.2+ｅq\r（5)B．４+ｅq\r(5)Ｃ.2+2eｑ\r(5)D.5【解析】作出三棱錐的示意圖如圖①，在△ABC中,作AＢ邊上的高CＤ，連接SD．在三棱錐S-ABC中,SC⊥底面ＡBC,SC＝1,底面三角形ABＣ是等腰三角形,AC=ＢC，ＡB邊上的高CD=2,AD＝ＢD＝1，斜高ＳD＝eq＼r(５),ＡC=BC=ｅｑ＼r(５).∴Ｓ表＝Ｓ△ABC＋S△SＡＣ＋S△SBC＋S△SAB＝eq\f（１，２）×２×2+eq\f（１，2)×1×ｅｑ\r(5）+eq\f(1,2)×1×ｅq\r(５)＋eq\f（1，２)×２×eq＼r(5)＝２＋２eq\r(5）.(3)（２01５·遵義模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是菱形，則該幾何體的側(cè)面積為()A.eｑ\ｒ(3）+eq\r（6)B．eｑ\r(３)+eq＼r(5)C.ｅq＼ｒ(2）＋ｅq＼r(6）D.ｅq\ｒ（2)+ｅq\ｒ(5)解析:選C由三視圖還原為空間幾何體,如圖所示,則有OA=OＢ=1,AＢ＝eｑ\r(2).又PB⊥平面ABＣD，∴PB⊥BD,PB⊥ＡB，∴PD=eq\ｒ(2２+1)＝ｅq＼r(5),PA＝eq＼r（２＋12）＝ｅq\r(3)，從而有PA2＋DA2＝PD2,∴PA⊥ＤA,∴該幾何體的側(cè)面積Ｓ=2×ｅq\f(1，2)×eq\r(2)×1+2×eｑ\f(1,2）×eｑ\r(2)×eq＼r(３）＝eq＼r(2)+eq\r(6).(４)（２０1６·北京房山一模）某四棱錐的三視圖如圖所示,則最長的一條側(cè)棱的長度為(）A.eｑ＼r（2)B.eq\r(3)Ｃ.eq\ｒ(５）D.eｑ\r（6)3．Ｃ［考向1]由三視圖可知,該幾何體是一個底面為直角梯形,且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，直觀圖如圖所示,其中ＰA⊥面ABCD,PA＝１,AD=1,CD＝1,ＡＢ＝2，PD=ｅq＼ｒ（2），ＰC=ｅq\r(３),而在Ｒt△ＰＡＢ中,PB＝eq\r(PA2+AB2)＝ｅｑ\r(１２＋2２）=eｑ\r(5)＞ｅq＼r（3)，故最長的側(cè)棱為PB,其長度為eq\r(５）,故選C.(5）(2０14·課標(biāo)Ⅰ)如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為１,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為()A.6eｑ\r(2)B.4eq\r（2)Ｃ.6Ｄ．４【解析】由三視圖可知該幾何體為圖中棱長為4的正方體中的三棱錐P-ABＣ.由圖②可知,最長棱為ＰC=eq\ｒ(４２+４2＋22)=6．[例３](1)已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形,俯視圖是兩個同心圓,如圖所示,則該幾何體的表面積為＿＿______.解析由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為２ｅq\r（３）的圓臺,則幾何體的表面積S=π×1＋π×9＋π×(1＋3）×ｅq＼r(2＼r(3)2+２2)=2６π.答案：2６π（2)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為___＿＿＿__．解析如圖所示:該幾何體為長為4，寬為3，高為1的長方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分.∴S表=（４×1＋3×4＋3×1)×２+2π×1×1－2π×12=38.答案38(3）(2015·課標(biāo)Ⅰ）圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π,則r=(）Ａ．1B.２Ｃ.4D.8解析B由題意知，該幾何體是由半個圓柱與半個球組合得到的.則表面積S＝2πr2+２×eｑ\f(1,2)πｒ２＋4r２＋2πr2=５πr２＋4r2＝２0π＋16，∴ｒ＝2.(4)[２０14重慶理]某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的表面積為（)A．54B.60C.6６Ｄ．72【答案】B【解析】在長方體中構(gòu)造幾何體,如右圖所示,,經(jīng)檢驗該幾何體的三視圖滿足題設(shè)條件.其表面積,，故選擇(５)(201４·安徽)一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為()Ａ.２1+ｅq\r(3)B.18+ｅq\r(3）C.２1D.18解析A由三視圖知,該多面體是由正方體割去兩個角后剩下的部分,如圖所示,則S＝Ｓ正方體－2S三棱錐側(cè)+2S三棱錐底=24-2×3×ｅq\f(１,２)×1×１+2×eq\f(\r(3),4）×(eq＼r(2))2=21+eq\r(3).【變式訓(xùn)練】１．(2015·北京西城期末)已知一個正三棱柱的所有棱長均相等,其側(cè)(左)視圖如圖所示，那么此三棱柱正(主)視圖的面積為＿_______.解析:由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正(主)視圖是一個矩形,其中一邊的長是側(cè)（左)視圖中三角形的高，另一邊是棱長.因為側(cè)(左)視圖中三角形的邊長為２,所以高為eq\r(３),所以正視圖的面積為２eq\r（３)．答案：２ｅq\r（3)２.(２01５·云南一檢）如果一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓,那么這個空間幾何體的表面積等于()Ａ.100πB.eq\f(1０0π，３)C.２5πD.ｅｑ\ｆ（２5π,3）解析:選A易知該幾何體為球,其半徑為5,則表面積為S＝4πＲ2=100π.3.（2０13·湖南）已知棱長為１的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于().A.1B.ｅq＼r（2)C.eｑ＼f（＼r（2)-1,2）D.ｅq\f（\r(２)+1,２)解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時,正視圖的面積最小,其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對角面BDD1B1或AＣC1A1垂直時,正視圖的面積最大，其值為eq\r(2),由于正視圖的方向不同,因此正視圖的面積S∈[１,ｅq\r(2）].故選C．答案C4.（２014·陜西)將邊長為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是()A.4πB.3πC.2πＤ.π解析:選Ｃ由幾何體的形成過程知所得幾何體為圓柱,底面半徑為1,高為1,其側(cè)面積S＝2πｒh＝2π×1×1＝2π．５.(20１3·臨沂一模)具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積為(）.A.３B.7＋３eq\ｒ(２）C.eq\f（7,２)πD.1４解析由正視圖和俯視圖可知,該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圓柱．由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為１,底面邊長分別為1，3，所以表面積為2（1×３+1×１＋３×1）＝14．答案D6．(２０15·山東淄博模擬)把邊長為1的正方形AＢCD沿對角線BD折起，形成的三棱錐A-BCD的正(主）視圖與俯視圖如圖所示,則其側(cè)（左）視圖的面積為(）A．eq\f(＼r(２)，2)B.ｅq\f(1,２)C．eq\ｆ(\r(２)，4)D.eq\f(1,4)解析D由正(主)視圖與俯視圖可得三棱錐A-BCD的一個側(cè)面與底面垂直,其側(cè)(左）視圖是直角三角形,且直角邊長均為eq＼f(＼r（2）,2),所以側(cè)(左)視圖的面積為S＝eq＼ｆ(1,2)×eq＼f(\ｒ(2),2)×ｅq＼ｆ（\r（2)，２)＝eｑ＼f(1,4)．7．(2０１6·西安一模)如圖，網(wǎng)格紙中的小正方形的邊長均為１,圖中粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積為()A.eq＼f(1,2)（ｅq\ｒ(22)+3eｑ\r(２)+4)Ｂ.eq\f(1,２）(eq\r(22)＋３eq\r（2)+8）C.ｅq\f(１,2)(eq\ｒ(2２)＋eq\r(2)＋8）D.eq\f(１,2)（eq\r（22）＋2eｑ＼r(2)＋8)解析Ｂ根據(jù)三視圖可知該幾何體是底面為直角三角形的三棱錐，其表面積S=eｑ＼ｆ（1,2）×eq＼r(2)×eq\ｒ(2）＋eq\ｆ(1,2）×eq＼r(2)×3+eq\f(1,2)×2×3＋eｑ＼f(１,2)×ｅq\r（2)×eｑ\r(１1）=eq\f(1,2)(ｅq\ｒ(22）+3eq＼r(2)+8）,故選Ｂ．8．(２０１6·課標(biāo)Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20πＢ.2４πC.28πＤ.32π解析ＣS表=πr2＋2πr×4+eq\f(1,２)×2πｒ×R=4π＋16π+2πeｑ\r(2２＋(２\r(3)）2)＝28π.9.(2０1３重慶文)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）A.180Ｂ.２０0Ｃ．220D．24０【答案】D１0．(２014浙江理)某幾何體的三視圖(單位：ｃｍ)如圖所示,則此幾何體的表面積是(）A．９０cｍ２B.129cm2C．1３2cｍ2D．138cm2【答案】D【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體,其中直三棱柱的側(cè)棱長為3,底面是直角邊長分別為3、4的直角三角形,四棱柱的高為6，底面為矩形,矩形的兩相鄰邊長為３和4,∴幾何體的表面積S=２×4×6＋3×6＋3×３+２×3×4+2××3×4＋(4+5）×3=48+1８+９+２4+12+2７=138（cm2）.11.（2０17北京理)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為().A.3eq\r(2）Ｂ．２eq\r(３)Ｃ.2eｑ＼r(2）D.２解析幾何體四棱錐如圖所示,最長棱為正方體的體對角線,即.故選B.1２.（2０17全國1理)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為（)．A.10B.1２C.14Ｄ.1６解析由三視圖可畫出立體圖，如圖所示，該多面體只有兩個相同的梯形的面,，．故選B．題型4：空間幾何體的三視圖與體積【典型例題】[例1](1）(2０13·陜西)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為_＿___＿＿＿.解析該幾何體為一個半圓錐,故其體積為V＝eq\ｆ(１，3)×ｅq\f(1,2）×π×12×２２＝ｅq\ｆ(π,３).答案eq\f（π，３)(2）(２0１5·惠州二調(diào))一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左(側(cè))視圖均為半徑是2的圓,則這個幾何體的體積是(）A.１６πＢ.14πC.12πD．8π解析：選D由三視圖可知,該幾何體為一個球切去四分之一個球后剩余的部分，由于球的(3)(2０1３·廣東）某四棱臺的三視圖如圖所示,則四棱臺的體積是（).Ａ.４B.eｑ＼f(1４，3)C．eq＼f(1６,３）D.6解析由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為１的正方形;下底面是邊長為２的正方形,高為2.由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積V＝eq\f（1，3)(12＋eｑ\r(1２×2２)＋22)×2=eq\f(14,３),故選B.答案B(4)（2０16·四川)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是_＿___＿__.解析[考向3]【解析】由題可知錐體的高為1,底面積為eq\f(1,2)×2ｅｑ\r(３）×１=eq\ｒ(3),∴V錐=ｅq＼ｆ(1,3)×ｅq\r（3)×1=eq\f(\r(３)，3).【答案】eq\ｆ（＼ｒ(３)，3)[例2］(1）(２01５·浙江）某幾何體的三視圖如圖所示(單位:ｃm),則該幾何體的體積是()A.8cm3B.12cｍ3C.ｅｑ\f（3２，3)cｍ3D.eq\f(40，3）cm3解析C由題意得,該幾何體由一個正方體與一個正四棱錐組合而成,所以體積V=23＋eq\f(１，3)×22×2＝ｅq＼f（３2，3).(2)(2017山東理)由一個長方體和兩個eq\f(1,4)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.解析該幾何體的體積為．(３)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：ｃm),則該幾何體的體積(單位：cm３)是（）.A．eq\f(π,2)＋1B.eｑ\f（π,２)＋3C.eｑ\ｆ（３π，２)＋1D.ｅq\ｆ(３π,２)＋3解析由三視圖可知,直觀圖是由半個圓錐與一個三棱錐構(gòu)成,半圓錐體積為,三棱錐體積為,所以幾何體體積.故選A.(４)(２０1３·課標(biāo)Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().Ａ.16+8πＢ.8＋8πＣ.１６+１6πＤ.8+16π解析由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成.其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝２×２×4+eｑ\ｆ(１,２)×２2×π×4＝１6+8π.故選A.（5)(201５·廣東中山模擬）已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積(單位：cm3）為_＿＿__＿＿_.解析π＋eq\ｆ(\r(3），3)[由三視圖，該組合體上部是一個三棱錐，下部是一圓柱由圖中數(shù)據(jù)知V圓柱=π×12×１＝π三棱錐垂直于底面的側(cè)面是邊長為2的等邊三角形,且邊長是2，故其高即為三棱錐的高，高為eq\r（3),故棱錐高為eq＼ｒ(3)由于棱錐底面為一等腰直角三角形,且斜邊長為2,故兩直角邊長都是eｑ\r(2)，底面三角形的面積是eq＼f(1,2)×ｅq\ｒ(2)×eq\ｒ（2)＝1，故V棱錐＝eq\f(1,３）×１×eq\r（3)＝eq\f(\r（３)，３),故該幾何體的體積是π+eq＼f（\r(３),3).][例3](1)（20１5·山東實驗?zāi)M)設(shè)下圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)Ｂ.８－ｅq\f(π,3)Ｃ.８-2πD.8－eq＼f(２π,３)解析D［由三視圖可知,幾何體為正方體內(nèi)挖去一個圓錐，所以該幾何體的體積為V正方體-V錐＝23－eq\ｆ（1,3)(π×12×2)=8-ｅq\f（2,3）π.](2)（2０１３·遼寧)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是________.解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內(nèi)部挖去一個正四棱柱,圓柱底面圓半徑為2,高為４，故體積為１6π；正四棱柱底面邊長為2,高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為1６π－16.(3)(2015·河南天一聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()Ａ.１2＋πB.８＋πC．12－πD.6－π解析C［由三視圖可知，原幾何體是底面邊長為2的正方形,高為3的棱柱，里面挖去一個半徑為１的球,所以所求幾何體的體積為1２-π，故選Ｃ．］(4)（20１7全國2理）如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為().A．90πB.63πC．4２πD.36π解析該幾何體可視為一個完整的圓柱減去一個高為６的圓柱的一半,如圖所示．.故選Ｂ.（5）(201５·唐山統(tǒng)考）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（)Ａ.8π+16B.8π－16C.８π+8D.16π-8解析：選B由三視圖可知：幾何體為一個半圓柱去掉一個直三棱柱．半圓柱的高為4,底面半圓的半徑為２，直三棱柱的底面為斜邊是4的等腰直角三角形,高為4，故幾何體的體積V=eｑ\f(1，2)π×22×４－ｅｑ\f（1，2)×４×2×４＝8π-16.[例４］(1）(2014·福州模擬）如圖所示,已知三棱柱ＡBC－A1Ｂ1C1的所有棱長均為1,且ＡA1⊥底面ABＣ,則三棱錐B1-ABC1的體積為（）.A.eｑ\f（\r（３),12)B．eq\f（\r(３）,4）C.ｅq\ｆ(\ｒ（6），1２)D.eｑ\f（\ｒ(６)，4)解析三棱錐Ｂ１-ABＣ１的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐Ａ-B1BC１的高為ｅq\ｆ(\ｒ（3),2），底面積為eq\ｆ(1,２),故其體積為eq＼f(１,3）×eｑ＼f(1,２)×eq＼f(\ｒ(３),2)=ｅq\ｆ(\ｒ（3),12).(2）(2０12·山東)如圖,正方體AＢＣD-A1Ｂ１Ｃ1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA１,B１C上的點,則三棱錐Ｄ1-ＥDF的體積為________．[一般解法]三棱錐D1-EDＦ的體積即為三棱錐F－DＤ1Ｅ的體積.因為E,F分別為ＡA1,B１Ｃ上的點，所以在正方體ABCD-A１B1C1D1中△EDD1的面積為定值eｑ＼f(1，2）,F到平面ＡA1D1D的距離為定值1，所以＝eq\ｆ（１,３）×eq＼f(１,2)×１=eq\f(1，6).[優(yōu)美解法]E點移到A點,F點移到C點,則==ｅq\ｆ(１,3）×ｅq\f(1,2)×1×１×１＝eq＼ｆ（1,6).［答案]eq\f(1,6）（３）(2014·安徽）一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為()A.eq\f（23,3)B.eq\ｆ（4７，6)C．6Ｄ.７解析：選Ａ如圖,由三視圖可知,該幾何體是由棱長為2的正方體從右后和左下分別截去一個小三棱錐得到的,其體積為V=8－2×ｅq＼f(1，3)×1×eq\f(1，２）×1×１=eq\f(2３,3).(４)(２014·山東)三棱錐P-ＡBＣ中,Ｄ,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-AＢC的體積為Ｖ２,則eq\f(V1,Ｖ2)＝__＿_____.解析如圖,設(shè)點C到平面PＡB的距離為h，三角形PAB的面積為Ｓ,則V2＝eq＼f(1,3）Sh,Ｖ１=ＶＥ-ADB=eq\f(1，3）×eq\ｆ(1,2)S×eq\f(1,2)ｈ＝eq\f（１,1２)Ｓｈ,所以eq\ｆ(Ｖ1,V2)=eq\f(1,4).(5)（２013·江蘇）如圖，在三棱柱A1Ｂ1C1-ＡＢＣ中,D,E，Ｆ分別是AＢ,AＣ,AA１的中點，設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V１，三棱柱Ａ1B1Ｃ1－ＡBＣ的體積為V2,則Ｖ1∶V2＝＿____＿__.解析設(shè)三棱柱A1B1Ｃ1－ABC的高為ｈ,底面三角形ＡＢC的面積為S,則V1=eq\f（1,3)×eq\f（１,４）Ｓ·eq＼ｆ(１,2)h＝ｅｑ\f(１,24)Sｈ=eq\ｆ（1，２4）V２，即Ｖ１∶V2＝1∶2４.答案1∶24[例5]（1）(2０15·課標(biāo)Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.６２立方尺,圓周率約為３,估算出堆放的米約有()A.14斛B.2２斛Ｃ．36斛D.66斛解析B設(shè)圓錐的底面半徑為ｒ,∵ｅｑ\ｆ(1,4）×2πr＝8,∴r＝eｑ＼ｆ(16，π）,∴V=eq\f（1，４)×eq\f(1,３)×π×eq\f（162,π２)×5=eｑ＼ｆ(320，９)．設(shè)米堆共有ｘ斛,則１.６2x=eq\f(３２0，9),解得x≈22(斛).(2）(2015·江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為８的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為___＿____.解析設(shè)新的底面半徑為r,根據(jù)題意得eq\f（１,3)π×5２×4+π×22×8＝eq＼f（１,3）πr2×４+8πr2,即2８r2＝1９６,∴ｒ=eq\r（7).【答案】eq\r(７）【變式訓(xùn)練】1.(2０1３廣東文)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．eq\f(1,6）B．eq\f(１,3)C.eq\f(２，３)D.【答案】Ｂ2.（2０16·天津）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示（單位:ｍ),則該四棱錐的體積為_＿_＿___＿ｍ3．解析依題意得,該四棱錐底面平行四邊形的一邊長為2,高為1.又依據(jù)正視圖知該四棱錐高為3,∴V四棱錐＝ｅq\f(1,3）S·h＝eq\f(1,3)×２×1×3=2(m３)．【答案】２３．（20１6·課標(biāo)Ⅰ)如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑,若該幾何體的體積是eq\f(28π，3),則它的表面積是（)Ａ．１7πB.1８πC.20πD.28π解析A由三視圖可知該幾何體為球去掉一個ｅq＼f(1，8)球.設(shè)球的半徑為R,則Ｖ＝ｅq\f(7,8）×ｅq\f(4，３)πＲ３＝eq\f(28π，3),得Ｒ＝2.故其表面積Ｓ＝ｅq\f(７,8）×4πR2＋3×eq\f(1，4)×πＲ2＝１4π＋3π=17π．4.（２015·山東)在梯形AＢCD中,∠ABC＝eq\f（π,２),AD∥BC，BC＝2AD＝２AB＝2.將梯形AＢＣD繞ＡD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eｑ\ｆ（2π,3)Ｂ.eq＼f（4π,３)C.ｅｑ\f(5π，3)Ｄ.2π解析如圖,過點C作CE垂直AＤ所在直線于點E,梯形ABCD繞AＤ所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑,線段ＢＣ為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑,ＥＤ為高的圓錐，如圖所示,該幾何體的體積為Ｖ＝V圓柱-V圓錐＝π·AB2·ＢC－ｅq\f(1,3)·π·CＥ2·DＥ＝π×１2×２-ｅq\f(１，3)π×12×１=ｅq＼f（５π,３).5.(２014·山東)一個六棱錐的體積為2eq\ｒ(3),其底面是邊長為２的正六邊形,側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_＿＿_＿＿_＿.解析:由題意可知,該六棱錐是正六棱錐，設(shè)該六棱錐的高為h,則eq\ｆ(1,3)×６×ｅｑ\f（\r(3）,4)×22×ｈ=2eq＼ｒ(3),解得h=1,底面正六邊形的中心到其邊的距離為eｑ\r(3),故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為eq\r(\r（3）2＋1)＝２,故該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(１,2)×1２×２=12.答案:126．(2014·江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S１,S２,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等，且eq\f（S１，Ｓ２）=eq\f(９，4）,則eq\ｆ(V１,V2）的值是________．【解析】設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1,h1,r2,h2,由側(cè)面積相等，即２πｒ1ｈ1=２πr2ｈ2,得ｅq＼ｆ(ｈ1,h2)＝ｅq\ｆ(r2,r１)．又eｑ＼f(S1,S２)=eq\ｆ(πreq\o\al(2，1)，πrｅq\o＼aｌ(2,2))=eq\ｆ(9,4)，所以eq\ｆ(r１,ｒ２）＝eq＼f（３,2），則ｅq＼f(V1,V2)=eq\ｆ(πｒeq＼o\ａl（2，1）h１，πｒeq\o\ａl(２,2)ｈ2）＝eq\f(rｅq\o\aｌ(2,１),req\o＼ａｌ(2，2))·ｅq\f(h1,h2)=eq＼f(req\o＼al（2，1),req\o\al(2,２））·eq\f(r２,r1)＝eq\ｆ(r1，r2)＝eｑ＼ｆ(３,2）．【答案】eq\f(3，2）7.(２0１4·天津）一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:ｍ),則該幾何體的體積為__＿___＿_m3．解析:該幾何體是一個組合體，上半部分是一個圓錐，下半部分是一個圓柱.因為V圓錐＝eq\f(1,3)π×22×2=eq＼f(８π,３),V圓柱=π×12×4＝4π,所以該幾何體體積V＝ｅq\f(8π,3)＋4π=eq＼f(２０π,3)．答案：eq\f（20π,３)8.(2016·山東)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eｑ\f(1,３)+ｅq\f(２,3)πB.eq\f（1，3)+eq\f(\r（２),3)πC.ｅｑ＼f(1,3)+ｅq\f(\r(2),6)πD.1+ｅq＼f(\r(２），6)π解析C由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,半球的直徑為eｑ\ｒ（１2＋１2)＝eq\r(2),所以四棱錐的體積為eq\f（1,3)×１2×１＝eq＼f(1,３)，半球的體積為eq\f(１,２)×ｅq\f(4,3)π×eｑ＼b\ｌc＼(＼rc\)（＼a＼ｖs4\ａl＼co1(\f(\ｒ(２),2）))eq＼s\ｕp12(3)＝eq\f(\r(2),6)π，所以此組合體的體積為eq\f(1，3)＋eq\f(\ｒ（2),6)π.9.(2０１3·浙江)若某幾何體的三視圖(單位：cm）如圖所示,則此幾何體的體積等于．答案２４cｍ31０.(201４·遼寧）某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()Ａ.8－2πＢ.8-πＣ.８-eq\f(π，2)D.8－eｑ＼f（π，4)解析：選Ｂ直觀圖為棱長為2的正方體割去兩個底面半徑為1的eｑ\f(１,４)圓柱，所以該幾何體的體積為２3-2×π×12×2×eq＼ｆ(1,４)＝8-π.11.(２014·課標(biāo)Ⅱ文)正三棱柱ABC-Ａ1B１C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為eq＼ｒ(３)，D為ＢC中點,則三棱錐A-B１DC1的體積為(）A.3B．eq\ｆ(3,２）C.1D.eq\f(\r(3）,2)【解析】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C１中，∵ＡD⊥BC，∴ＡD⊥平面B1DC１，∴ＶA-Ｂ1DC1=eｑ\f(1,3)Ｓ△B1ＤC１·AD=ｅq＼f(1,3）×eq\ｆ（１,2）×2×eq\r(３)×eq\r(3)＝１,故選C.12.(2０15·課標(biāo)Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()Ａ.eｑ＼f(1，8)B．eq\f（1,７）Ｃ.eｑ\f(1，6)Ｄ.eq\f(1,５)解析D如圖所示為正方體被一個平面截去后剩余部分的幾何體.設(shè)正方體棱長為a,∴eq\ｆ(VA-A１B1Ｄ１,V剩)＝eq＼f(＼ｆ(１，3)×＼f(１,２)a２·a,a3－\ｆ（1,３）×\f（1,2)a2·a)＝eq\ｆ(1,5).13．(2016·吉林長春二模)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(）Ａ.ｅｑ＼ｆ(16,3)B.eq\f（20,3)Ｃ.eq\f(１5,2)D.eq＼f(13,2)解析D該幾何體可視為正方體截去兩個三棱錐所得，所以其體積為8-eq\f(４，3)-eq\ｆ(1,6)=ｅq\f(１3,2）.故選D．14.(2０1４課標(biāo)Ⅱ理）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cｍ）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A.eq\ｆ(17,27)B．eq\f(5，9)C．ｅq＼f(10,27)Ｄ.eｑ\ｆ(１，３)【答案】C【解析】題型5:與球有關(guān)的切、接問題【典型例題】[例1]（1)［20１7全國=２＼*RＯMAN\*MERGEFＯRＭATIＩ文]長方體的長、寬、高分別為3,2，1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為_____＿__.解析：易知球O為長方體的外接球,其直徑２R為長方體體對角線的長(2）(201３·福建）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_____________＿.解析由三視圖知,棱長為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對角線長為2eq\ｒ(３)，即為球的直徑.所以球的表面積為Ｓ=4π·eq＼b\lｃ＼(\rc＼）(\a\vs4＼aｌ\co１(＼f(２\r(3),2）))2＝12π.(3)(2０14·陜西)已知底面邊長為1，側(cè)棱長為ｅq\r（2）的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的體積為(）A.eｑ\f(32π,3)B.4πＣ．２πＤ.eq＼f(4π,３)解析:選Ｄ因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半,所以半徑r=eq\f（1,2)eq＼ｒ(１2＋12＋\r(2）2）=1,所以V球＝eq\ｆ（４π,3）×1３＝eq\ｆ(4π，3).故選D．[例2](1)（2０1５·山東臨沂模擬)四面體ＡBCＤ中,共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分別為2,3,4．若四面體ABCD的四個頂點在同一個球面上,則這個球的表面積為＿＿______.【解析】依題意,原幾何體是一個三棱錐,可以看作一條棱與底面垂直且其長度為３,底面是一個直角三角形,兩直角邊長分別為２，4,這個幾何體可以看作是長、寬、高分別為4，2,3的長方體的一部分,則其外接球的半徑為R＝eｑ\f(1,2)eq\r(42＋22+32)＝ｅq\f(＼r(29）,２)，故這個球的表面積為Ｓ=4πＲ２=4πeq\b＼lc\（\ｒc\)（\ａ＼ｖｓ４\ａl\co1(\ｆ(\r（29),２））)eq\ｓ＼up12（２)=2９π.（2)(2013·遼寧)已知直三棱柱ABC－Ａ1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若ＡB=3，ＡC＝4,AＢ⊥AＣ，ＡA１＝12,則球O的半徑為()().A．eｑ\f(３＼ｒ(17),2)Ｂ.２ｅq\ｒ(10)C.eｑ\f(１3,２）D.3eq\r(10)解析因為在直三棱柱中AB＝3,AC=4,AA1＝12，AB⊥ＡC，所以BC＝5,且BＣ為過底面ＡBC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OＤ⊥底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC１B1的對角線長即為球的直徑,所以2r＝eq\ｒ(122＋５2)＝１3,即r＝ｅq\f(１3,２).(3）已知正六棱柱的１2個頂點都在一個半徑為3的球面上,當(dāng)正六棱柱的底面邊長為eq\r(6）時,其高的值為(）A．３eｑ\r(3)B．eq\ｒ(3）C.2eq\ｒ(６)D.2ｅq\r（3）解析:選D設(shè)正六棱柱的高為h,則可得(eq\ｒ（6））２＋eｑ\f（h２,4)＝32,解得h＝2eq\ｒ(3）．[例3](1)（２014·大綱)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為２，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,４)B．16πC.９πＤ.eq\f（27π,4）解析:選A如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O′且球心為O,∵正四棱錐P-ＡBCD中AB＝２,∴AＯ′=eq\r（２).∵PO′＝4,∴在Rt△AOO′中，AO2=ＡO′２+OO′２，∴R2＝(eq\r(2))2+（4-Ｒ)2,解得R＝eq＼f(9，4),∴該球的表面積為4πR2＝4π×eq＼b＼ｌc\(\rc\)（＼a\vs4\al\cｏ1(＼f(9,４)))2=eq\ｆ(8１π,4),故選A.（2)（2016·江西南昌一模)一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為()A．eq＼f(1,2）B.eｑ\f（\r(3)，１６)C．eq\f(＼r（1７),4)D．ｅq\f(17,4)[解析］D如圖所示，直觀圖為三棱錐P-ABC,AＢ⊥BC，平面ＰAC⊥平面ABＣ，過P作PＤ⊥AC于D,則D是ＡＣ的中點,ＰD⊥平面AＢC，則外接球球心O在線段PＤ上.由三視圖得PD＝eq＼r(52－32)＝4,AC＝6eq\r(2)．設(shè)外接球的半徑為r,在直角三角形ＯDC中,由OＤ２=OC2－CD2得(4-r)2=r２－(３eq\r（2)）2,解得r＝eｑ\f(17,4）.（3)（20１5·長春模擬)若一個正四面體的表面積為Ｓ1,其內(nèi)切球的表面積為S２,則eq\f(Ｓ1,Ｓ2)＝__＿＿___＿.解析:設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為Ｓ１=4·eq\f（\r(３),4)·ａ2＝eq＼r(3)ａ2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的ｅq\f(1,４),即r＝eｑ\ｆ（1,４)·eq\ｆ(\r(６）,3)ａ=eq\ｆ(\r（６),12)ａ，因此內(nèi)切球表面積為S2=4πr２=eｑ\f（πa２，６),則eq\f(S1,S２)=eｑ\ｆ（\r(3)a２,\f（π,６)a2)=eq\ｆ(６\r(3),π).答案:ｅq＼f(6＼r(3),π)(4）[2０17全國=１\*ROMAN\*MERＧＥFORMATＩ文]已知三棱錐S-ＡBC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面ＳCA⊥平面SCB,SA＝ＡC,ＳB=BC,三棱錐S-ＡBC的體積為９,則球O的表面積為_＿＿__＿__.【答案】【解析】取的中點,連接因為所以因為平面平面所以平面設(shè)所以所以球的表面積為[例４](1)（20１2·課標(biāo)全國)平面α截球Ｏ的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為eｑ\r（２),則此球的體積為().Ａ.eｑ＼r(6）πＢ.4eｑ\r（3）πC．4eq\ｒ（6)πD.6eq\r（3)π解析如圖,設(shè)截面圓的圓心為Ｏ′,M為截面圓上任一點，則OＯ′＝ｅq＼r(2),Ｏ′M=1,∴OＭ＝eq＼r（＼r(２)2＋1)=eｑ\r(3),即球的半徑答案B為eq\ｒ(3),∴V=eq\f(4,3）π(eq\ｒ(3))3=4eq＼r(3)π．(2)(20１５·石家莊調(diào)研,)已知球O，過其球面上A,Ｂ,C三點作截面，若Ｏ點到該截面的距離是球半徑的一半，且AＢ＝BC＝2,∠B＝120°,則球O的表面積為(）A．eq＼f(64π，3)B.eq＼f(8π,３)Ｃ.４πD．eq\ｆ(16π,９)［解析］A由余弦定理,得AC＝eq＼r(22＋22－2×２×2×cｏｓ1２0°）=２eq\r（3）.設(shè)△ABC所在截面圓的半徑為ｒ,則2r＝eq\f(AC,sin120°)=eq\f（2\r(3)，sｉn1２0°)＝4,即ｒ＝２．∵O點到截面的距離是球半徑的一半,即ｄ＝eq＼f（Ｒ，2)，且d２+r2＝R2,∴eq＼b\lc＼(＼rc\)（\a＼vs４\aｌ\co1（\f(R,2)))eq\s＼up１2(2)+4＝R2，即R2=ｅｑ\f(1６,3).∴Ｓ球=４πＲ2=4π×ｅq\ｆ(１6,3)=eq\f(64π,3）.(3)(20１5·云南一模)一個圓錐過軸的截面為等邊三角形,它的頂點和底面圓周在球Ｏ的球面上,則該圓錐的體積與球Ｏ的體積的比值為_____＿＿＿.[解析]設(shè)等邊三角形的邊長為2ａ,則V圓錐＝eq\ｆ(1，3)·πａ2·eｑ\r（3)a=eq＼f(\ｒ(3),3)πa３;又R2=ａ２＋（eq\r（３)a－Ｒ)2,所以R=eq＼f(２\r（3),3）a,故V球＝eq\f（4π,3）·eq＼ｂ＼lc\(＼rｃ\)(\a\vs4＼al＼cｏ１(\f(２＼r(3)，3)ａ)）3=ｅq＼f(3２\r（3)π，27)a3,則其體積比為ｅq\f（9,3２).答案:eq\ｆ（9，32)（４)已知球的直徑SC＝