2024-2025學年廣東省佛山市南海中學高二（上）第一次段考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省佛山市南海中學高二（上）第一次段考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.經(jīng)過點(?3,2)，傾斜角為60°的直線方程是(

)A.y+2=3(x?3) B.y?2=332.在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，用計算機產(chǎn)生1～5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)1、2、3時表示一局比賽甲獲勝，當出現(xiàn)4、5時表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)，結(jié)果如下：

423?123?423?344?114?453?525?332?152?342

534?443?512?541?125?432?334?151?314?354

則估計在本次比賽中甲獲得冠軍的概率是(

)A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.653.已知兩個向量a=(2,?1,3),b=(4,m,n)，且a//b，則A.1 B.2 C.4 D.84.下列命題中正確的是(

)A.點M(3,2,1)關(guān)于平面yoz對稱的點的坐標是(?3,2,?1)

B.若直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，平面α的法向量為m=(6,4,?1)，則l⊥α

C.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為120°，則直線l與平面α所成的角為30°

D.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若OP5.已知|a|=1，|b|=2，?a,b?=60°A.1 B.277 C.6.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點M為棱AB的中點，點N為上底面A1B1A.MN=16CA?16CB+7.從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是13，從乙袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是12，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則4個球中恰有3個紅球的概率是(

)A.112 B.16 C.298.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N，G，H分別為棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中點，P為DH的中點，連接EH，F(xiàn)G.對于空間任意兩點I，J，若線段IJ上不存在也在線段EHA.D

B.P

C.M

D.N二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球.設事件A1=“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件A2=“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件A3=A.事件A1與事件A2是互斥事件 B.事件A1與事件A3是對立事件

C.事件A1與事件A3是相互獨立事件 10.若A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，P(B)>0，則(

)A.當A??B時，P(A)+P(B)≤1

B.當A和B互斥時，P(A?B?)=1?P(A)?P(B)

C.當A和B獨立時，P(A11.如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分別是線段BC，SB的中點，Q是線段DC上的一個動點(含端點D，C)，則下列說法正確的是(

)A.存在點Q，使得NQ⊥SB

B.存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60°

C.三棱錐Q?AMN體積的最大值是23

D.當點Q自D向C處運動時，直線DC與平面QMN三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.經(jīng)過點A(m,3)和B(?2,m)的直線l與斜率為?4的直線互相垂直，則m的值是______．13.如圖，線段AB，BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=3，BD=4，AC=5.則C，D兩點之間的距離為______．14.某中學根據(jù)學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2015年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“書法”.“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為m、13、n，已知三個社團他都能進入的概率為124，至少進入一個社團的概率為34，且m≥n.該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學增加校本選修學分1分，對進入“詩詞”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“理學”社的同學增加校本選修學分3分.求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

柜子里有3雙不同的鞋，分別用a1，a2；b1，b2；c1，c2表示6只鞋，其中a1，b1，c1表示每雙鞋的左腳，a2，b2，c2表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機地取出2只，那么

(1)寫出試驗的樣本空間；

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD為正方形，M，N分別為AD，PD的中點．

(1)求點B到平面MNC的距離；

(2)求直線MB與平面BNC所成角的余弦值．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2，BC=3，PC=23，BE：EP=1：2，CF=2，CD⊥BC．

(1)證明：平面AEF//平面PCD；

(2)在棱PC上是否存在一點G，使得DG//平面PAB？若存在，求PGGC18.(本小題17分)

圖1是邊長為2的正方形ABCD，將△ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐P?ABC，且PB=2．

(Ⅰ)證明：平面PAC⊥平面ABC；

(Ⅱ)點M是棱PA上不同于P，A的動點，設AMAP=λ(0<λ<1)，若平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值為19.(本小題17分)

甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲(剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀)，規(guī)定每局中：

①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；

②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負1分；

③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響．

(1)求甲在一局中得2分的概率P1；

(2)求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率P2；

(3)求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率P3參考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.D

6.B

7.B

8.D

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.514.1615.解：(1)該試驗的樣本空間可表示為Ω={(b1,b2)，(b1,c1)，(b1,c2)，(b2,c1)，(b2,c2)，(c1,c2)(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，

(a1,c2)，(a2,b1)，(a2,b216.解：(1)∵PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD為正方形，

以D為原點，如圖建立空間直角坐標系Dxyz，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，

∵M，N分別為DA，DP中點，∴M(12,0,0)，N(0,0,1)，

則MN=(?12,0,1)，MC=(?12,1,0)，MB=(12,1,0)，

設平面MNC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?MN=?12x+z=0n?MC=?12x+y=0，

令x=2，則y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，

則MB?n=2×12+1×1+1×0=2，|n|=22+12+12=6，

∴點B到平面MNC的距離d=|MB?n||n|=217.(1)證明：如圖，連接AC，由于PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則PA⊥AC．

且PA=2，PC=23，則AC=PC2?PA2=22．

又AD=CD=2，則AD2+DC2=8=AC2，故CD⊥AD．

又CD⊥BC，則AD/?/FC，又AD=FC=2，則四邊形ADCF為平行四邊形．則AF/?/DC．

AF?平面PCD，CD?平面PCD，則AF//平面PCD(?)．

由于BC=3，CF=2，則BF=1.又BE：EP=1：2，則BE：BP=BF：BC=1：3，

則△BEF～△BPC，則∠BEF=∠BPC，則EF//CP．

EF?平面PCD，CP?平面PCD，則EF/?/平面PCD(??)．

EF∩AF=F，EF，AF?平面AEF，結(jié)合

(?)，(??)，得到平面AEF/?/平面PCD．

(2)解：由前面證明知道，四邊形ADCF為矩形，PA⊥平面ABCD，

則PA，AF，AD兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A?xyz．

則P(0,0,2)，C(2,2,0)，A(0,0,0)，B(2,?1,0)，D(0,2,0)，

設PG=λPC=λ(2,2,?2)=(2λ,2λ,?2λ),λ∈[0,1]，則G(2λ,2λ,?2λ+2)，λ∈[0,1]．

設m=(x,y,z)為平面ABP的一個法向量，且AP=(0,0,2),AB=(2,?1,0)，

則m?AP=2z=0m?AB=2x?y=0，取x=1，則m=(1,2,0)，

18.解：(Ⅰ)由于正方形ABCD的邊長為2，所以AC=2．

取AC的中點O，連接PO，BO，由題意，得PO=BO=12AC=1，

再由PB=2，可得PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

由題易知PO⊥AC，又AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC，又PO?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO⊥OB，PO⊥OC，又OB⊥AC，

于是可分別以OC，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

則C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(?1,0,0)，P(0,0,1)．

所以AP=(1,0,1)，BC=(1,?1,0)，PC=(1,0,?1)，

由題意知AM=λAP=(λ,0,λ)，所以M(λ?1,0,λ)．

所以MC=(2?λ,0,?λ)．

設平面MBC的法向量為m=(x,y,z)，

則BC?m=x?y=0MC?m=(2?λ)x?λz=0，

令x=1，得平面MBC的法向量為m=(1,1,2?λλ)，

同理可得平面PBC的一個法向量為19.解：(1)根據(jù)題意畫出樹狀圖，如圖：

∴每局共有27種情況，其中甲在一局中得2分的情況有(出手順序按甲乙丙)：

(剪刀、剪刀、布)，(剪刀、布、剪刀)，(剪刀、布、布)，(石頭、石頭、剪刀)，(石頭、剪刀、石頭)，

(石頭、剪刀、剪刀)，(布、布、石頭)，(布、石頭、布)，(布、石頭、石頭)，有9種情況，

∴甲在一局中得2分的概率P1=927=13．

(2)游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一乙丙得負一分，第二局得1分，

由(1)中樹狀圖得滿足情況有：

第一局：(剪刀、布、布)，(石頭、剪刀、剪刀)，(布、石頭、石頭)，

第二局：(剪刀、剪刀、剪刀)，(布、布、布)(石頭、石頭、石頭)，

此時概率為327×327=181；

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得負1分，

由(1)種樹狀