2024-2025學(xué)年廣東省廣州市部分學(xué)校高二（上）第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市部分學(xué)校高二（上）第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線3x?3y?1=0的傾斜角為(

)A.30° B.135° C.60° D.150°2.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以DA.(1,1,1) B.(?1,1,1) C.(1,?1,1) D.(1,1,?1)3.已知向量a=(0,0,2)，b=(?1,1,1)，向量a+b在向量aA.(0,0,3) B.(0,0,6) C.(?3,3,9) D.(3,?3,?9)4.圓(x+2)2+(y+3)A.(?2,3)，1 B.(2,?3)，3 C.(?2,?3)，2 D.(2,?3)，5.將直線l1：x?y+1=0繞點(diǎn)(0,1)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l2，則l2的方程是A.x+y?2=0 B.x+y?1=0 C.2x?y+2=0 D.2x?y+1=06.空間中有三點(diǎn)P(1,?2,?2)，M(2,?3,1)，N(3,?2,2)，則點(diǎn)P到直線MN的距離為(

)A.22 B.23 C.7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?2,0)，B(4,0).點(diǎn)P滿足|PA||PB|=12，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為CA.C的方程為(x+4)2+y2=16

B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1,1)的距離為3

C.在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|MA|

8.已知P，Q是直線l：x?y+1=0上兩動點(diǎn)，且|PQ|=2，點(diǎn)A(?4,6)，B(0,6)，則|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為(

)A.10+2 B.10?2 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m∈R，若過定點(diǎn)A的動直線l1：x?my+m?2=0和過定點(diǎn)B的動直線l2：mx+y+2m?4=0交于點(diǎn)P(P與A，B不重合)，則以下說法正確的是(

)A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1) B.PA⊥PB

C.|PA|2+|PB|210.已知圓C：(x+2)2+y2=4，直線lA.直線l恒過定點(diǎn)(?1,1)

B.當(dāng)m=0時，圓C上恰有三個點(diǎn)到直線l的距離等于1

C.直線l與圓C有兩個交點(diǎn)

D.圓C與圓x211.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，A.BD1=2 B.直線BD1與AC所成角的余弦值為66

C.A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量a=(2,3,m)，b=(0,2,1)，c=(2,7,n)，若a，b，c共面，則mn13.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對三角形三邊的張角相等，均為120°，根據(jù)以上性質(zhì)，已知A(?2,0)，B(2,0)，C(0,4)，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，記f(P)=|PA|+|PB|+|PC|，則f(P)的最小值為______．14.已知正三棱柱ABC?A′B′C′的底面邊長為23，高為2，點(diǎn)P是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是MN，則PM?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓x2+(y?4)2=16，過B(0,2)作直線l圓C交于點(diǎn)M、N．

(1)求證：BM?BN是定值；

16.(本小題15分)

如圖，在空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，BF⊥平面ABCD，CG=1，AE=2，BF=3，且CG//AE//BF．

(1)求證：D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；

(2)在線段FG上是否存在一點(diǎn)M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為72233？若存在，求出17.(本小題15分)

已知M(x,y)為圓C：x2+y2?4x?14y+45=0上任意一點(diǎn)，

(1)求y?4x+3的最大值和最小值；

18.(本小題17分)

我國漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四鄰矣.”這是我國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.而英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許從鏡面反射現(xiàn)象中得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)測量計算出了地球的質(zhì)量，他從而被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人.已知圓C的半徑為3，圓心C在直線l：3x?y+3?3=0位于第一象限的部分上，一條光線沿直線l入射被x軸反射后恰好與圓C相切．

(1)直接寫出l的反射光線所在直線的方程；

(2)求圓C的方程；

(3)點(diǎn)E是圓C與x軸的公共點(diǎn)，一條光線從第一象限入射后與圓C相切于點(diǎn)A，并與x軸交于點(diǎn)B，其在點(diǎn)B處被直線m反射后沿著x軸負(fù)方向傳播，此時△ABE的面積恰好為19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中點(diǎn)．

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求平面EDB與平面PAD夾角的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使直線EF與平面EDB所成角的正弦值為63，若存在，求出求線段BF的長；若不存在，說明理由．

參考答案1.A

2.A

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.A

9.ABC

10.ACD

11.ABD

12.?1

13.4+214.[0,4]

15.(1)證明：若直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為x=0，

將x=0代入圓的方程可得：(y?4)2=16，

解得y=0或y=8，

設(shè)M(0,0)，N(0,8)，

則BM=(0,?2),BN=(0,6)，

所以BM?BN=?12；

若直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立：y=kx+2x2+(y?4)2=16，整理可得：(1+k2)x2?4kx?12=0，

可得Δ=16k2+4?(1+k2)?(?12)>0恒成立，且x1+x216.解：(1)證明：因?yàn)锽F⊥平面ABCD，AB，BC?平面ABCD，

所以BF⊥AB，BF⊥BC，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC，所以BA，BC，BF兩兩垂直，

則以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，BF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意，得D(2,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,0,3)，G(0,2,1)，

所以DE=(0,?2,2),DF=(?2,?2,3),DG=(?2,0,1)，

因?yàn)镈E+DG=(?2,?2,3)=DF，

所以DE,DF,DG共面，

又DE，DF，DG有公共點(diǎn)D，

所以D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．

(2)存在，理由如下：

A(2,0,0)，C(0,2,0)，則AC=(?2,2,0),AF=(?2,0,3)，

設(shè)m=(x1,y1,z1)為平面FAC的法向量，

則m⊥ACm⊥AF，即m?AC=0m?AF=0，即?2x1+2y1=0?2x1+3z1=0，令z1=2，

得平面FAC的一個法向量為m=(3,3,2)，

假設(shè)線段FG上存在點(diǎn)M，使得平面FAC與平面MAC所成角的余弦值為72233，

令FM=λFG=(0,2λ,?2λ)(0≤λ≤1)，

則AM=17.解：(1)已知圓C：x2+y2?4x?14y+45=0，

則(x?2)2+(y?7)2=8，

又M(x,y)為圓C上任意一點(diǎn)，

設(shè)y?4x+3=k，

得直線kx?y+3k+4=0，

該直線與圓(x?2)2+(y?7)2=8有交點(diǎn)即可，

所以圓心C(2,7)到直線的距離要小于等于半徑即可，

有|2k?7+3k+4|1+k2≤22，

解得115≤k≤12，

即115≤y?4x+3≤12，

所以y?4x+3的最大值為12，最小值為115；

(2)因?yàn)閤2+y2?5x?15y=(x?52)2+(y?152)2?1252，

顯然18.解：(1)設(shè)l的反射光線所在直線DF上任意點(diǎn)為(x,y)，

則該點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)(x,?y)在直線l上，

所以l的反射光線所在直線DF的方程為3x+y+3?3=0；

(2)設(shè)點(diǎn)C(t,3t+3?3)，而圓C與直線DF相切，且圓C半徑為3，

則|3t+3t+3?3+3?3|(3)2+12=3，即|3(t?1)+3|=3，

整理得3(t?1)=0或3(t?1)=?6，

又點(diǎn)C在第一象限，即t>0，

所以t=1，圓心C(1,3)，半徑r=3，

所以圓C的方程為(x?1)2+(y?3)2=9；

(3)由(2)知，點(diǎn)C到x軸距離為3，即x軸與圓C相切于點(diǎn)E(1,0)，

由一條光線從第一象限入射后與圓C相切于點(diǎn)A，并與x軸交于點(diǎn)B，得點(diǎn)B在點(diǎn)E的右側(cè)，

設(shè)B(a,0)，19.(1)證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，

點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

所以PA/?/OE，OE?平面EDB，PA?平面EDB，

所以PA//平面EDB；

(2)解：如圖，以向量DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，

即D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，

則DB=(1,2,0),DE=(0,1,1)，

設(shè)平面EDB的一個法向量為m=(x,y,z)，

則由m⊥DB，m⊥DE，可得DB?m=x+2y=0DE?m=y+z=0，

令y=?1，得x=2，z=1，

可得平面EDB的一個法向量為m=(2,?1,1)，