2024-2025學年山東省青島五十八中高三（上）調研數學試卷（三）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省青島五十八中高三（上）調研數學試卷（三）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x3?x=0}，B={x|x2A.{0,1} B.{?1,0} C.{0,1,2} D.{?1,0,1}2.設a、b為向量，則“a?b>0”是“a、b的夾角是銳角”的(

)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3.函數f(x)=|sinx|+cos|x|在[?2π,2π]內有(????)個零點．A.3 B.4 C.5 D.64.已知等比數列{an}為遞增數列，bn=nan.記Sn，Tn分別為數列{anA.4n?1?1 B.14(4n?15.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD,∠BAD=π3,AB=AD=2，若M，N分別是邊AD，BC上的動點，滿足AM=λAD,BN=(1?λ)BC，其中λ∈(0,1)A.1 B.3 C.13 D.6.已知函數f(x)=x?e?x，g(x)=12x2?lnx+a，若?x1A.(12?1e,2e27.在△ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c，若b=a(cosC+33sinC)，AD是△ABC的角平分線，點D在BC上，AD=3，A.473 B.73 C.8.李華學了“斐波那契數列”后對它十分感興趣，于是模仿構造了一個數列{an}：a1=1，a2=2，a3=3，an+3=an+an+1?an+2.給出下列結論：

①a2023=2023A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知{an}是等差數列，Sn是其前nA.若a3+a4=9，a7+a8=18，則a1+a2=5

B.若a210.設函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)=f′(1)ex?1+xA.f(0)=1 B.f′(1)=e C.f′(x)≥0 D.f(x)≥111.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanA+tanB=3cacosBA.A=π6

B.若a=2，則該三角形周長的最大值為6

C.若△ABC的面積為2，則a有最小值

D.設BD=c2b+c三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若5cosB?8cosC8c?5b=cosAa，又△ABC的面積S=103，且B+C=2A13.已知Sn為數列{an}的前n項和，Tn為數列{Sn}的前n14.用符號[x]表示不超過x的最大整數，例如：[0.6]=0，[2.3]=2.設f(x)=(1?lnx)(ax2+2lnx)有3個不同的零點x1，x2，x3，若四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數f(x)=23sinωxcosωx?2cos2ωx+2，其中ω>0．

(1)若函數f(x)在區(qū)間[0,1]內有且僅有3個零點，求ω的取值范圍；

(2)當ω=1時，若對任意實數x1∈[0,π16.(本小題15分)

已知數列{an}的前n項和為Sn，且S1+S2+?+Sn=4an?2n?4．

(1)求a1，a2，并求證：n≥217.(本小題15分)

在(1)sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C?sin2B)；(2)1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB；(3)設△ABC的面積為S，且43S+3(b2?a2)=3c2.這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上.并加以解答.(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18.(本小題17分)

已知函數f(x)=x2+alnx?(a+2)x，g(x)=xlnx?x?a+1，a∈R．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若g(x)有兩個零點，求a的取值范圍；

(3)若f(x)+1≥g(x)+alnx對任意x≥1恒成立，求a19.(本小題17分)

已知{an}為無窮遞增數列，且對于給定的正整數k，總存在i，j.使得ai≤k，aj≤k，其中i≤j.令bk為滿足ai≤k的所有i中的最大值，ck為滿足aj≥k的所有j中的最小值．

(1)若無窮遞增數列{an}的前四項是1，2，3，5，求b4和c4的值；

(2)若{an}是無窮等比數列，a1=1，公比q為大于1的整數，b3<b4=b5，c3=c4，求q的值；

(3)若參考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.?20

13.n+2214.[?2ln315.解：(1)由題意f(x)=3sin2ωx?cos2ωx+1=2sin(2ωx?π6)+1，

∵f(x)=2sin(2ωx?π6)+1在[0,1]內有且僅有3個零點，

∴方程2sin(2ωx?π6)+1=0(ω>0)在[0,1]內恰有三個不相等的實數根．

即y=sin(2ωx?π6)與直線y=?12在[0,1]內恰有三個交點．

令2ωx?π6=t，則?π6≤t≤2ω?π6，

則y=sint與直線y=?12在[π6,2ω?π6](ω>0)內恰有三個交點．

11π6≤2ω?π6<19π6，解得π≤ω<5π3，

故ω的取值范圍為16.解：(1)由S1+S2+?+Sn=4an?2n?4，可得a1=S1=4a1?2?4，解得a1=2，

當n=2時，a1+a1+a2=4a2?4?4，解得a2=4，

證明：當n≥2時，由S1+S2+?+Sn=4an?2n?4，可得S1+S2+?+Sn?1=4an?1?2(n?1)?4，

上面兩式相減可得Sn=4an?4an?1?2，

當n≥3時，由Sn=4an?4an?1?2，可得Sn?1=417.解：(1)若選(1)，設△ABC的外接圓的半徑為R，

由正弦定理可得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，

因為sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C?sin2B)，

所以acsinB=32(a2+c2?b2)，

所以sinB=3(a2+c2?b2)2ac，

又cosB=a2+c2?b22ac，

所以sinB=3cosB，

所以tanB=3，又B∈(0,π)，所以B=π3，

所以cosB=a2+c2?b22ac=12，

所以(a+c)2?b2=3ac，

又b=23，a+c=6，所以ac=8，△ABC的面積S=12acsinB=23；

若選(2)，由1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB，

所以cosAsinA+cosBsinB=sinC3sinAcosB，

所以sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sinC3sinAcosB，

所以sin(A+B)sinAsinB=sinC3sinAcosB，

所以sinB=3cosB，即tanB=3，又B∈(0,π)，

所以B=18.解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2x+ax?(a+2)=2x2?(a+2)x+ax=(x?1)(2x?a)x，

令f′(x)=0，解得x=1或x=a2，

當a≤0時，x∈(0,1)時，f′(x)<0；x∈(1,+∞)時，f′(x)>0；

故f(x)的遞減區(qū)間是(0,1)，遞增區(qū)間是(1,+∞)；

當0<a<2時，x∈(a2,1)時，f′(x)<0；x∈(0,a2)∪(1,+∞)時，f′(x)>0；

故f(x)的遞增區(qū)間是(0,a2)和(1,+∞)，遞減區(qū)間是(a2,1)；

當a=2時，f′(x)≥0，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞)；

當a>2時，x∈(1,a2)時，f′(x)<0；x∈(0,1)∪(a2,+∞)時，f′(x)>0；

故f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)和(a2,+∞)，遞減區(qū)間是(1,a2)；

綜上，a≤0時，f(x)的遞減區(qū)間是(0,1)，遞增區(qū)間是(1,+∞)；

a=2時，f(x)的遞增區(qū)間是(0,+∞)，無遞減區(qū)間；

0<a<2時，f(x)的遞增區(qū)間是(0,a2)和(1,+∞)，遞減區(qū)間是(a2,1)；

a>2時，f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)和(a2,+∞)，遞減區(qū)間是(1,a2)．

(2)令g(x)=0得xlnx?x=a?1，設?(x)=xlnx?x，則?′(x)=lnx，

當x∈(0,1)時，?′(x)<0，?(x)遞減；當x∈(1,+∞)時，?′(x)>0，?(x)遞增，

?(x)min=?(1)=?1，.因為x→0時?(x)→0，x→+∞時?(x)→+∞，

要使直線y=a?1與函數?(x)的圖象有兩個交點，則?1<a?1<0，即0<a<1，

故a的取值范圍是(0,1)；

(3)由f(x)+1≥g(x)+alnx得x2?x?xlnx≥a(x?1)，

當x=1時上式顯然恒成立，

當19.解：(1)∵a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，又∵ai≤4，aj≥4，

∴i≤3且i∈N?，j≥4且j∈N?，∴b4=3，c4=4，

(2)由題意知，a1=1，∴an=a1qn?1=qn?1，q>1且q∈Z，

∵ai≤3，∴qi?1≤3，∴i≤1+logq3，

∴b3=[1+logq3]，q>1且q∈Z，

同理，b4=[1