2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.某同學(xué)記錄了當(dāng)?shù)?月最后8天每天的最低氣溫（單位：），分別為，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.93.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A. B. C. D.4已知，則（）A. B. C. D.5.已知圓臺(tái)甲?乙的上底面半徑均為，下底面半徑均為，圓臺(tái)甲?乙的母線長(zhǎng)分別為，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為（）A. B. C. D.6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A3 B.4 C.5 D.6二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.的虛部為8D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是的準(zhǔn)線，點(diǎn)是上一點(diǎn)且位于第一象限，直線與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則（）A.B.直線的方程為C.D.面積為11.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，且，則（）A. B.C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列的公比不為1，且成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為_(kāi)_________.13.有紅色?黃色2套卡片，每套3張，分別標(biāo)有字母A，B，C，若從這6張卡片中隨機(jī)抽取4張，這4張卡片的字母恰有兩個(gè)是相同的，則不同的取法種數(shù)為_(kāi)_________.14.若直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.16.如圖，在三棱柱中，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.（1）證明.（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.已知甲?乙兩人參加某檔知識(shí)競(jìng)賽節(jié)目，規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，甲?乙兩人初始分均為0分，答題過(guò)程中當(dāng)一人比另一人的得分多2分時(shí)，答題結(jié)束，且分高者獲勝，若甲?乙兩人總共答完5題時(shí)仍未分出勝負(fù)，則答題直接結(jié)束，且分高者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人答對(duì)每道題的概率分別為，每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立，且每題都有人搶答.（1）求第一題結(jié)束時(shí)甲獲得1分的概率；（2）記表示知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，甲?乙兩人總共答題的數(shù)量，求的分布列與期望.18.已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在上.（1）求的方程.（2）已知直線的斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線上.（i）證明：的斜率為定值.（ii）若的面積為，求的方程.19.定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個(gè)，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解不等式求得集合，再由對(duì)數(shù)函數(shù)定義可得集合，即可求得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可得,所以可得.故選：C2.某同學(xué)記錄了當(dāng)?shù)?月最后8天每天的最低氣溫（單位：），分別為，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列：，共8項(xiàng)，又，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第5項(xiàng)，即8.故選：C.3.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求出，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，所以，解得，所以橢圓的離心率.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由可知為鈍角，從而，，，于是先計(jì)算，再開(kāi)方即可．【詳解】，，，而，，為鈍角，，，．故選：C．5.已知圓臺(tái)甲?乙的上底面半徑均為，下底面半徑均為，圓臺(tái)甲?乙的母線長(zhǎng)分別為，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)甲圓臺(tái)的高為，乙圓臺(tái)的高為，利用勾股定理求出，，再由圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)甲的高為，圓臺(tái)乙的高為，則，，所以圓臺(tái)甲的體積，圓臺(tái)乙的體積，所以圓臺(tái)甲、乙的體積之比為.故選：A.6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】，則，整理得，而向量均為非零向量，則反向共線且，有；反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分，兩種情況，分別求出函數(shù)值域，結(jié)合題意可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?；在上單調(diào)遞增，則在上值域?yàn)椋瑒t此時(shí)值域不可能為R，則不合題意；當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?；在上單調(diào)遞減，則在上值域?yàn)椋怪涤驗(yàn)镽，則.故選：B8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】借助輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)對(duì)稱性可得，再畫出與圖象同一坐標(biāo)系中即可得解.【詳解】，其中，且，則有，解得，即，則，即，畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線y=fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.的虛部為8D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【正確答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】依題意，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的虛部為8，C正確；對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，D正確.故選：ACD10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是的準(zhǔn)線，點(diǎn)是上一點(diǎn)且位于第一象限，直線與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則（）A.B.直線的方程為C.D.的面積為【正確答案】BC【分析】利用勾股定理求得，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而計(jì)算出的面積.【詳解】圓即，是圓心為，半徑的圓.拋物線的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線為，由于直線與圓相切，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，所以，所以直線的斜率為，方程為，即，B選項(xiàng)正確.由解得，即，根據(jù)拋物線的定義得，C選項(xiàng)正確.所以的面積為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】應(yīng)用賦值法判斷A，B選項(xiàng)；對(duì)求導(dǎo)，得到，賦值法得到，判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合賦值法得出再計(jì)算即可求解判斷D.【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，令時(shí)，，故，故A選項(xiàng)正確；令時(shí)，，故，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知有：在R上可導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)有：，即，，令時(shí)，，則，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故是偶函數(shù)，所以故，所以也是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則恒成立，由已知是奇函數(shù)，故，故，則，所以是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，又因?yàn)?，奇函?shù)的定義域?yàn)?，所以，令時(shí)，，，所以，令時(shí)，，所以，令時(shí)，，所以,，故D選項(xiàng)正確.故選：AD結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列的公比不為1，且成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件可得出，化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】由已知條件可知，又因等比數(shù)列，所以，且，代入到，可得，化簡(jiǎn)，解之可得或(舍).故13.有紅色?黃色2套卡片，每套3張，分別標(biāo)有字母A，B，C，若從這6張卡片中隨機(jī)抽取4張，這4張卡片的字母恰有兩個(gè)是相同的，則不同的取法種數(shù)為_(kāi)_________.【正確答案】12【分析】先從標(biāo)有字母A，B，C中任選一個(gè)，共有2張卡片，再?gòu)氖Ｓ嘧帜钢懈魅∫粡埧ㄆY(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：先從標(biāo)有字母A，B，C中任選一個(gè)，共有2張卡片，再?gòu)氖Ｓ嘧帜钢懈魅∫粡埧ㄆ?，所以不同的取法種數(shù)為.故12.14.若直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】令，分析可知函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，且，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：令，由題意可知，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，且，且，令，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，分以下幾種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；（2）當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多個(gè)零點(diǎn)，從而可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；（3）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，且?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，存在，使得，此時(shí)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，令，，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以，存在，使得，可得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故當(dāng)時(shí)，，即，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，且，因?yàn)?，所以，存在，使得，此時(shí)，函數(shù)在上也存在唯一零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有個(gè)零點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換分析求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理解得，，即可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，則，可得，即，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，整理可得，，所?16.如圖，在三棱柱中，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.（1）證明：（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，求證平面即可得證.（2）由（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量與，即可由空間角的向量法求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，故由余弦定理，所以，故即，即，又平面，，所以平面，又平面，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）可得、且即，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，則，，所以，，取，，則，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.17.已知甲?乙兩人參加某檔知識(shí)競(jìng)賽節(jié)目，規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，甲?乙兩人初始分均為0分，答題過(guò)程中當(dāng)一人比另一人的得分多2分時(shí)，答題結(jié)束，且分高者獲勝，若甲?乙兩人總共答完5題時(shí)仍未分出勝負(fù)，則答題直接結(jié)束，且分高者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人答對(duì)每道題的概率分別為，每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立，且每題都有人搶答.（1）求第一題結(jié)束時(shí)甲獲得1分的概率；（2）記表示知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，甲?乙兩人總共答題的數(shù)量，求的分布列與期望.【正確答案】（1）23（2）分布列見(jiàn)詳解，【分析】（1）考慮甲先得1分，分為甲搶到答題并且答對(duì)，或者是乙搶到并且答錯(cuò)兩種情況，分別計(jì)算概率即可；（2）在每道題的搶答中甲、乙得1分的概率.的所有可能取值分別為，利用獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算得出的分布列，求出即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)每道題的搶答中，記甲得1分為事件.發(fā)生有兩種可能：搶到題且答對(duì)，乙搶到題且答錯(cuò)，∴，∴甲率先得1分的概率為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙得1分的概率分別為，設(shè)兩人共搶答了道題比賽結(jié)束，根據(jù)比賽規(guī)則，的可能取值為.，，，245.18.已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在上.（1）求的方程.（2）已知直線的斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線上.（i）證明：的斜率為定值.（ii）若的面積為，求的方程.【正確答案】（1）.（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）由題可得，解該方程組即可得解.（2）（i）設(shè)，聯(lián)立得，則由韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，接著由的中點(diǎn)在直線上即可求解得證.（ii）由（i）結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線距離公式依次求出AB和的中點(diǎn)到直線的距離，再由即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題可得，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）證明：設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)?，所以，故的斜率為定?（ii）由（i）得的方程為，且，又點(diǎn)到的距離，所以，解得，所以的方程為.19.定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個(gè)，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析