考點(diǎn)15 等腰三角形（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

考點(diǎn)15等腰三角形

在命題趨勢(shì)

等腰三角形的性質(zhì)及判定是初中數(shù)學(xué)最為重要的知識(shí)點(diǎn)之一，也是重要幾何模型

的“發(fā)源地”，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的。而數(shù)學(xué)中考中，

等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切?/p>

可以放在很多模型中，所以等腰三角形結(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也

是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn)。

在知識(shí)導(dǎo)圖

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等

』線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理

判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

也重申考向

一、等腰三角形的性質(zhì)和判定

二、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理

三、線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理

考向一：等腰三角形的性質(zhì)和判定

一.等腰三角形的性質(zhì)和判定

定義有兩邊長(zhǎng)相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長(zhǎng)叫做腰，第三邊叫做底

軸對(duì)稱性：一般等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸

性質(zhì)等邊對(duì)等角

三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。

判定①定義法；②等角對(duì)等邊

等邊三角形的性質(zhì)和判定

定義三邊長(zhǎng)都相等的三角形是等邊三角形

軸對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸

性質(zhì)等邊三角形三個(gè)角都相等，分別都等于60°

三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。

定義法

判定有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形

有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形

方位技巧

>特別注意：當(dāng)一個(gè)三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時(shí)，雖然不能直

接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形。

>等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=手邊長(zhǎng)2

a

共例引裾

1.等腰三角形的周長(zhǎng)為15CM,其中一邊長(zhǎng)為3CT?.則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cvnD.3cni或9cvw

【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)腰是3cm時(shí)，則另兩邊是3?！ǎ?0n.而3+3<9,不滿足三邊關(guān)系定理,

因而應(yīng)舍去.

當(dāng)?shù)走吺?c7〃時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是6cvn,6cm.則該等腰三角形的底邊為3c，〃.

故選：B.

2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則它的底角的大小是（）

A.25°B.20°C.25°或65°D.20°或70°

【分析】分兩種情況討論：①若/AV90。；②若/A>90°；先求出頂角N8AC,即可

求出底角的度數(shù).

【解答】解：分兩種情況討論：

①若乙4<90°,如圖I所示：

,：BDLAC,

.,.NA+/A8O=90°,

VZABD=50°,

AZA=90°-50°=40°,

,CAB^AC,

：.ZABC=ZC=1.(180°-40°)=70°；

2

②若NA>90°,如圖2所示：

同①可得：NDAB=90°-50°=40°,

.'./8AC=180°-40°=140°,

'：AB=AC,

.../ABC=/C=2(180°-140°)=20°；

2

綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為70°或20°,

故選：D.

3.如圖，等腰AABC中，AB=AC=IO,BC=5,A8的垂直平分線QE交AB于點(diǎn)。，交

AC于點(diǎn)E,則△BEC的周長(zhǎng)為（）

A.12B.8C.15D.13

【分析】根據(jù)線段垂電平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得4￡=8E，然后求出^

8EC周長(zhǎng)=AC+8C,再根據(jù)等腰三角形兩腰相等可得AC=AB,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【解答】解：是AB的垂直平分線，

：.AE^BE,

：.△8EC周長(zhǎng)=8E+CE+8C=AE+CE+BC=AC+8C,

?.?腰長(zhǎng)AB=10,

.?.AC=AB=10,

.,.△BEC周長(zhǎng)=10+5=15.

故選：C.

4.如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BD=AD=AC,NBAC=108°,則ND4c的度

數(shù)為()

【分析】由BD—AD=AC得Nl=/2,N3=N4,由N4=/l+N2得，/3=/4=2/

1=2/2,由N8AC=108°得N2+/3=180°-NBAC=180°-108°=72°,即可求

出N2=24°,最后便可求出NZMC的度數(shù).

【解答】解："：BD=AD^AC,

；.Nl=/2,/3=N4,

VZ4=Z1+Z2,

；.N3=N4=2/l=2/2,

：NBAC=108°,

...N2+N3=180°-NBAC=180°-108°=72°,

/.Z2+2Z2=72°,

；.N2=24°,

，N1=24°,

：.ZDAC=ZBAC-Zl=108°-24°=84°,

故選：D.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,A￡>平分/BAC,DE1AB,DFLAC,E,F分別為垂足,

則下列四個(gè)結(jié)論：(1)/￡>EF=NOFE；(2)4E=AF；(3)4。平分/EOF；(4)AO垂

直平分EF,其中正確的有(1)(2)(3)(4).(填序號(hào))

【分析】由在△A8C中，AB=AC,AC平分N8AC,DELAB,DFLAC,根據(jù)角平分線

的性質(zhì)，可得DE=DF,即可證得NOEF=N￡>FE：又由等角的余角相等，可得NAOE

=ZADF,然后由角平分線的性質(zhì)，證得AE=A尸，又由等腰三角形的三線合一的性質(zhì),

證得A。垂直平分EF.

【解答】解：(1)；A￡)平分NA4C,DE1AB,DFA.AC,

：.DE=DF,

:.NDEF=NDFE：正確；

(2)平分/8AC,DELAB,DFLAC,

：.ZADE^ZADF,ED=FD,

：.AE=AF,正確；

(3)'：AE=AF,A。平分/8AC,

???AD垂直平分EF,故(4)正確；

由(2)知ED=FD,

.?.AO平分/EOF；

故(3)正確.

故答案為：(1)(2)(3)(4).

6.等腰△4BC中，AB=AC,點(diǎn)E為底邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，E4長(zhǎng)為半徑畫弧,

交AB于點(diǎn)￡>,測(cè)得/CAE=80°,NEAO=54°,則/。EB=31°.

【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求/C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求

NAEC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NAED,再根據(jù)平角的定義即可求解.

【解答】解：；NCAE=80°,ZEAD=54°,

，NCAB=134°,

"：AB=AC,

：.ZC=(180°-134°)4-2=23°,

：.ZAEC=\S0°-ZCAE-ZC=77°,

由作圖可知EA^ED,

AZEDA=54°,

：.ZA￡D=180°-54°X2=72°,

.,.ZDEB=I8O°-77°-72°=31°.

故答案為：31.

7.如圖所示，在坐標(biāo)平面中，4(0,4),C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，CO=3,AC=5,若點(diǎn)P

為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以尸C為腰作等腰三角形△PCQ,已知NCPQ=2NACO=2a(a為定

值)，連接O。，則。。的最小值為—卷

y

【分析】延長(zhǎng)AC至點(diǎn)M,連接尸M,使PM=AP,證出N"M=N4PQ,進(jìn)而證明△CPA/

g△。孫(SAS),得到NB4Q=NM=NC4O,求出0c=ON,當(dāng)0Q_L4V時(shí)，。。有

最小值，利用SZWW=SAAOC,求出OQ的最小值.

【解答】解：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)用，連接〃M,使PM=AP,

ZACO=a,

：.ZM=ZCAO=90°-a,

AZAPQ=\SO°-2a,

???ZAPM=2a=ZCPQ,

：.ZCPM=ZAPQf

文,：CP=PQ,PM=F4,

：.^CPM^^QPA(SAS),

.\ZPAQ=ZM=ZCAO,

：.OC=ON,

:.當(dāng)OQLAN時(shí)，。。有最小值，

SAAON=SAAOC,

?0A=-^-ANOQ，

???3X4=50。，

解得0Q4，

；.。。的最小值是22,

5

故答案為：12.

5

8.如圖，己知點(diǎn)P是射線MV上一動(dòng)點(diǎn)，NAMN=35：當(dāng)乙4為110°或72.5°或35°

時(shí)，ZVIMP是等腰三角形.

【分析】若△AMP為等腰三角形則有4M=AP、尸和MP=A尸三種情況，分別利

用等腰三角形的兩底角相等可求得的值.

【解答】解：若為等腰三角形則有4M=A尸、尸和MP=A尸三種情況，

①當(dāng)AM=AP時(shí)，則有NM=NAPM=35°,

AZA-110°；

②當(dāng)AW=M尸時(shí)，則/A=NAPM=72.5°；

③當(dāng)MP=4尸時(shí)，則NA=NAMN=35。，

綜上可知NA為110°或72.5°或35°,

故答案為：110°或72.5°或35°.

9.在如圖所示的3X3方格中，以AB為邊,第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有4個(gè).

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以4、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，即可得出第

三個(gè)頂點(diǎn)的位置.

解：如圖所示，

分別以4、B為圓心，A8長(zhǎng)為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)。、C2、C3、C4,即為第三

個(gè)頂點(diǎn)的位置；

故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè).

故答案為：4

10.如圖所示，ZAOB=60Q,C是8。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OC=l2cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)

沿CB以3cmis的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)沿OA以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、

。同時(shí)出發(fā)，用f（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)。.或12s時(shí),△尸。。是等腰三角形.

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P

在C。的延長(zhǎng)線上時(shí).分別列式計(jì)算即可求.

【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，

設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，

有OP^OC-CP=OQ,

即12-3t=2t,

解得，/=_1區(qū)：

5

（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過CO時(shí)的時(shí)間已用5s,

當(dāng)△尸0。是等腰三角形時(shí)，：/POQ=6（T,

...△POQ是等邊三角形，

：.OP^OQ,

即3/-12=2b

解得，片⑵

故答案為衛(wèi)或12.

5

------?

Cp

11.如圖，ZVIBC中，AB=BC,NC=60°,A￡>是8c上的高，DE//AC,圖中與8。（8。

除外）相等的線段共有（）條.

C.3D.4

【分析】由已知條件可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=CQ,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/BE￡>=NEOB=6（F,可得△BE。是等邊三角形，即可得出

BD=ED=BE,再根據(jù)8O=CQ,ED//AC,可得EQ是△A8C的中位線，即可得出

=AE,即可得出答案.

【解答】解：△ABC中，AB=BC,NC=60°,

...△ABC為等邊三角形，

?.?4。是8c上的高，

:.BD=CD,

VDE//AC,

:.NBED=NEDB=60°,ZB=60°,

.?.△BED是等邊三角形，

:.BD=ED=BE,

,:BD=CD,ED//AC,

二EO是△ABC的中位線，

：.BE=AE,

：.BD=AE.

,圖中與B￡>（8。除外）相等的線段有C￡>、DE、BE、AE共4條.

故選：D.

12.已知：如圖，ZVIBC和△QEC都是等邊三角形，。是8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AO與BE相

交于點(diǎn)尸，AC.BE相交于點(diǎn)M,AD,CE相交于點(diǎn)N,則下列五個(gè)結(jié)論：①4O=BE；

@ZBMC=ZANC；③NAPM=60°；@AN=BM；⑤△<:”可是等邊三角形.其中，正

確的有（）

E

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)先證明△8CE-△AC。，得出AD=BE,根據(jù)已知給出的條件即可得出答案;

【解答】解：’.?△ABC和△OEC都是等邊三角形，

；.4C=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

ZACB+ZACE^ZECD+ZACE,即NBCE=ZACD,

:.叢BCE9XACD(SAS),

.'.AD^BE,故選項(xiàng)①正確；

VZACB=ZACE=60°,由△BCE絲△ACQ得：ZCBE=ZCAD,

:"BMC=NANC,故選項(xiàng)②正確；

由△BC￡'g/i4CO得：NCBE=NCAD,

是△AC￡)的外角，

NACB=/CAO+/A￡)C=ZCBE+ZADC=60a,

又NAPM是△尸8。的外角，

AZAPM^ZCBE+ZADC=Wa,故選項(xiàng)③正確；

在△ACN和△8CM中，

rZCAN=ZCBM

<AC=BC，

ZACN=ZBCM=60°

，/\ACN^/\BCM,

:.AN=BM,故選項(xiàng)④正確；

:.CM=CN,

.?.△CMN為等腰三角形，?.?/MCN=60°,

.?.△CMN是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確；

故選：D.

13.如圖，已知AB=AC,AC平分NBAC,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,DE=2,則

BC=7.

A

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ABEM為等邊三角形，得出

=BE=5,從而得出8N的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長(zhǎng)EZ)交8c于M,延長(zhǎng)AO交BC于M如圖，

"：AB=AC,平分NB4C,

J.AN1BC,BN=CN,

；NEBC=NDEB=6Q°,

為等邊三角形，

:.BM=EM=BE=5,NEMB=60°,

'：DE=2,

'：AN±BC,

：.ZDNM=90°,

；.NNDM=30°,

：.NM=^DM=^-,

22

：.BN=BM-MN=5-g=工，

22

：.BC=2BN=1.

14.如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=llOQ,ZBOC=a.以0C為一邊作等邊

三角形0C￡>,連接AC、AD.

(1)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

(2)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△A0。是等腰三角形？

D

/llOd<\\

【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC絲△AOC,然后利用全等三角形的性質(zhì)

可以求出NA。。的度數(shù)，由此即可判定△A。。的形狀；

（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）???△OCD是等邊三角形，

：.OC^CD,

而△ABC是等邊三角形，

：.BC^AC,

?.?乙4cB=NOCO=60°,

:.NBCO=NACD,

在△80C與△4OC中，

r0C=CD

「ZBC0=ZACD-

BC=AC

：.^BOC^/\ADC,

：.ZBOC^ZADC,

而NBOC=a=150°,ZODC=60",

AZADO^\500-60°=90°,

...△ADO是直角三角形；

（2）:設(shè)/CBO=/CAO=a,NABO=b,ZBAO^c,NCAO=d,

則a+b=60°,0+c=180°-110°=70°,c+d=60",

：.b-d=10",

（60°-a）-</=10°,

：.a+d=50°,

即ND4O=50°,

①要使AO=AO,需NAOD=NADO,

.?.190°-a=a-60°,

/.a=125°：

②要使0A=0。，需NOAD=NADO,

AHO0+800+60°+a=360°

.,.a=110°；

③要使。〃=4力，需/OAD=/AO。，

1100+50°+60°+a=360°,

...a=140°.

所以當(dāng)a為110°、125°、140。時(shí)，三角形A。。是等腰三角形.

15.如圖，在等腰△ABC中，AB^AC,過點(diǎn)A作BC的平行線交NA8C的角平分線于點(diǎn)

連接CD.

(1)求證：△ACO為等腰三角形；

(2)若/區(qū)4。=140°,求NACD的度數(shù).

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)得出N1=N3,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AQ

即可；

(2)由(1)知N1=N2=N3,根據(jù)已知條件得到/1=N2=N3=2(180°-ZBAD)

2

=20°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NAC8=N48C=40°,根據(jù)平行線的選擇得到N

AZ)C+NACO=180°,于是得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：0平分N48C,

/.Z1=Z2.

'：AD//BC,

.?.N2=N3.

；.Nl=/3.

：.AB=AD.

'：AB=AC,

：.AC=AD,

為等腰三角形；

(2)解：由(【)知，Z1=Z2=Z3,

；/&4。=140°,NR4O+Nl+N3=180°,

.\Z1=Z2=Z3=A(180°-ZBAD)=20°,

2

，N48C=40°,

NACB=/A8C=40°,

由(1)知，AD=AC,

：.ZACD=ZADC=ZBDC+Z3=ZBDC+20a,

'JAD//BC,

：.ZADC+ZBCD=]S0°,

.\40°+(ZBDC+200)+(NBDC+20°)=180",

：.ZBDC=50°,

，NAQC=70°,

：AC=AO,

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE1,BC于點(diǎn)、E,交AB于點(diǎn)凡

若A尸=8尸.

求證：（1）△AOF是等腰三角形.

（2）DF=2EF.

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證得//）=/￡＞出，根據(jù)等腰三角形的

判定即可證得結(jié)論；

（2）過A作AH1DE于H,由等腰三角形的性質(zhì)可得DH=FH,根據(jù)全等三角形的判

定證得且△BFE,得到DH=FH=EF,即可求出DF=2EF.

【解答】證明：（I）：AB=AC,

：.ZB=ZC,

\'DELBC,

：.NB+NBFE=NC+ND=90°,

：.ND=/BFE,

,：Z13FE=ZDFA,

：.ZD^ZDFA,

：.AD=AF,

...△AOF是等腰三角形；

(2)過4作AH1.DETH,

■:DE1BC,

：.ZAHF=ZB￡F=90°,

由(1)知，AD=AF,

：.DH=FH,

在△AF”和△8FE中，

'/AHF=NBEF

<ZAFH=ZBFE)

AF=BF

:.△AFHWXBFE(44S),

:.FH=EF,

：.DH=FH=EF,

:.DF=2EF.

考向二：角平分線的性質(zhì)與判定

角平分線的性質(zhì)定理與判定定理

性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

判定定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

☆其中：

1.平行線的引入方法常見的有：

①直接給出的平行；②平行四邊形及特殊平行四邊形；③梯形的上下底邊;

④輔助線作出的平行；⑤其他條件證明得到的平行；

2.當(dāng)?shù)妊魇墙Y(jié)論時(shí)，常接著用等腰△的性質(zhì)；

2.角平分線+，一等腰△；

（即“三線合一”的你應(yīng)用，此類問題常和圓的性質(zhì)結(jié)合考察）

3.見角平分線，作雙垂f得全等或線段相等，亦可以用;?，

（作“JL”，即作“高”；有“高”想“面積”，進(jìn)而拓展想“等積法”;

再往后還可延伸“平行線等積模型”、面積比=底邊之比等）

其中，“得線段相等”是因?yàn)槠湫再|(zhì)定理；更深一步

的應(yīng)用方向可以是：

①用于“等量代換”；②再證全等的條件；③將“雙垂”

看作“雙高線”，進(jìn)而得兩個(gè)△面積之間的關(guān)系；④當(dāng)角

平分線多于1條時(shí)，可能要結(jié)合其判定定理證其他線也是8

角平分線

已見漏平分線「作對(duì)稱

（即截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等）

5.圓中：由角平分線得角相等，進(jìn)而推知1得4；

6.重要思想一倍半角模型:

與角平分線有關(guān)的問題，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“倍半角”關(guān)系，可利用“倍半角模型”解題。

勇例引凝

1.三條公路將A,B,C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)

集貿(mào)市場(chǎng)，使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（）

A.三邊高線的交點(diǎn)B.三條垂直平分線的交點(diǎn)

C.三邊中線的交點(diǎn)D.三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.

【解答】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在NA、NB、NC的角平分線的交點(diǎn)處.

故選：D.

2.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分/CAB,若A8=10,CD=3,則△ABO的面

積是（）

【分析】過點(diǎn)D作DEYAB于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=

CD,再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作于E,

VZC=90°,AC平分/BAC,

：.DE=CD=3,

?'?△A8D的面積=*AB?DE=/x10X3=15-

故選：c.

3.如圖，已知△ABC的面積為10,BP平分NABC,且APJ_BP于點(diǎn)P,則△BPC的面積

是（）

【分析】延長(zhǎng)AP交8c于￡根據(jù)已知條件證得8P也△E8P,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得至（MP=PE,得出SAABP=SAEBP,SAACP=SAECP,推出S&>BC△軸？

【解答】解：延長(zhǎng)AP交BC于E,

"P平分NA5C,

，NABP=NEBP,

<AP_LBP,

:./APB=NEPB=90°,

在和△EBP中，

<ZABP=ZEBP

<BP=BP，

ZAPB=ZEPB

:?叢ABP"叢EBP(ASA),

：.AP=PE,

S^ABP=S&EBP,SAACP=SAECP,

.11

,?SAPBC=^SAABC節(jié)*10=5，

故選：c.

4.如圖，ZBOP=ZAOP=\5°,PC//OB,PQ_LOB于Q,PC=4,則P。的長(zhǎng)度為(

【分析】作PE_LOA于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/

4CP=/4。8=30°,由直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得

PE,即可求得「D

【解答】解：作尸ELO4于E,

■:NAOP=NBOP,PDLOB,PELOA,

:.PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

；NBOP=NAOP=15°,

：.ZAOB=30°,

；PC//OB,

：.ZACP=ZAOB=3Q°,

...在RtZkPCE中，PE=JLPC=JLX4=2（在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜

22

邊的一半），

:.PD=PE=2,

故選:A.

A

ODB

5.如圖：已知在△ABC中，NAC8=90°,BC=6,AC=8,CE為△ABC的角平分線，EF

A.mB.C.D.4

776

【分析】根據(jù)E尸〃AC,得至IJEF_LBC,過點(diǎn)E作EDLAC,易得：EF=ED,利用等積

法，求出EF的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：尸〃4C,

.,.ZEFB=ZACB=90°,

：.EF±BC,

過點(diǎn)E作EDJ_AC,交AC于點(diǎn)D,

為△48C的角平分線，

:.DE=EF,

,:S4ABe=S&AEdS?EB,即：^AC'BC=^AC'ED+^BC'EF=^CAC+BC>EF,

2222

；.6X8=(6+8)?EF,

故選：B.

6.如圖，△4BC中，ZABC./FC4的角平分線8P、CP交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)54、BC,PMA.

BE于M,PNLBF于N,則下列結(jié)論：①AP平分NE4C；②/ABC+2NAPC=180°；

@ZBAC=2ZBPC；④S&PAC=S&MAP+S&NCP.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】過點(diǎn)尸作P。，4c于C,根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rl

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NAPM=NAP。，判斷②；根據(jù)三角形的

外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④.

【解答】解：①過點(diǎn)P作尸OLAC于Q,

平分NABC,PC平分NFC4,PMLBE,PN1BF,PDLAC,

：.PM=PN,PN=PD,

：.PM=PD,

■:PM工BE,PD1.AC,

平分/EAC,故①正確：

@'：PM1AB,PN1,BC,

：.ZABC+900+ZMPN+90°=360°,

:.NABC+NMPN=180°,

在Rt/^PAM和Rt△%/)中，

fPI=PD

IPA=PA'

Rt/\PAM^Rt/^PAD(HL),

：.ZAPM=ZAPD,

同理：Rt/^PCD出Rt/\PCN(HL),

:.NCPD=4CPN,

：.NMPN=2NAPC,

.?.NA8C+2/APC=180°,②正確；

③：以平分NC4E,8P平分NABC,

ZCAE^ZABC+ZACB^2ZPAM,ZPAM=1ZABC+ZAPB,

2

AZACB=2ZAPB,③正確；

④由②可知Rt△以M<RtZ\B4O(HL),RlAPCD^RtAPC?/(HL),

:?S〉A(chǔ)PD=S〉MAP，SKPD=S〉NCP，

S^PAC=S^MAP+S/iNCP,故④正確,

7.如圖，A、8兩點(diǎn)分別在射線OM,ON上，點(diǎn)C在/yWON的內(nèi)部，且AC=3C,CD1.

OM,CELON,垂足分別為。，E,且AO=BE.

(1)求證：OC平分NMCW：

(2)若4。=3,80=4,求4。的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtAfiEC,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得出CL>=CE,再得出答案即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出A￡>=8E=3,根據(jù)全等三角形的判定定理推出RtAODC

^RtAOEC,放根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出00=08,再求出答案即可.

【解答】(I)證明：；C￡>_LOM,CELON,

：.ZADC=ZCEB=90°,

在RtAADC和RtABEC中，

[AC=BC,

1AD=BE'

ARtA4DC^RtABEC(HL),

：.CD^CE,

"."CD10M,CELON,

OC平分NMON；

(2)解：VRtAADC^RtABEC,AO=3,

：.BE=AD=3,

'：B0=4,

OE=08+8E=4+3=7,

,：CD10M,CELON,

.'.ZCDO=ZCEO=90°,

在RtADOC和RlAEOC中，

<foc=oc>

ICD=CE'

/?RtADOC^RtAEOC(HL),

：.OD=OE=1,

?.,AD=3,

二。4=0。+4。=7+3=10.

8.如圖，點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)在一直線上，在8c同側(cè)作△BCQ、/\BCE,若BE,CE分別平

分NAB。，/BCD,過點(diǎn)B作/CBO的平分線交CE于點(diǎn)尸.

（1）已知NE=27°,求NO的度數(shù)；

（2）若BE〃CD,BD=8,求線段BE的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，若BF=6,求線段CQ的長(zhǎng).

【分析】（1）由/E+NEBD=ND+NDCE,再由角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，可

推出NO=2NE；

（2）由平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，可以推出

（3））延長(zhǎng)8尸交QC于G,作BHLEC于H,由勾股定理可以求出CF的長(zhǎng)，列出關(guān)于

FG的方程，求出FG,再由勾股定理求出CG的長(zhǎng)，即可求出CD的長(zhǎng).

【解答】解：（1）BE,CE分別平分/ABC,ABCD,

:.NEBD=LNABD,NDCE=LNBCD,

22

■：NABD=ND+NDCB,

：.NEBD=LND+工NDCB,

22

NE+NEBD=ZD+ZDCE,

：.ZE+1,ZD+l.ZDCB^ZD+^ZBCD,

222

.?./O=2NE=54°；

(2)'：BE//DC,

:.ND=NEBD,/DCB=NEBA,NE=NDCE,

:NEBD=/EBA,ZDCE=ZBCE,

:.ND=NDCB,NE=NECB,

：.BE=BC,BD=BC,

:.BE=BD=8；

(3)延長(zhǎng)B尸交/)C于G,作8，，EC于，，

；NEBD=L/ABD,NDBFh工NDBC,

22

；.NEBD+NDBF=LCZABD+ZDBC),

2

.?.NEBF=_1NA8C=90°,

2

???￡F=7BE2+BF2=V82+62=101

■:EF?BH=BE?BF,

10BH=8X6,

；.BH=4.8,

?**CW=VBC2-BH2=V82-4.82=6-4,

F//=VBF2-BH2=V62-4.82=3.6,

:.CF=CH-FH=2.8,

,:BD=BC,BG平分NCBD,

：.BGLDC,

,:C?=Bd-BG2=CF2-FG2,

.\82-(6+FG)2=2.82-FG2,

，尸G=1.68,

；?CG=A/CF2-FG2=V2.82-l.682=2-24,

.?Q=2CG=4.48.

考向三：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理

性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等。

判定定理：到線段兩端的距離相等點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

I@

角平分線與線段垂直平分線常見輔助線的區(qū)別：

角平分線：過點(diǎn)作到邊的垂線段；

線段垂直平分線：連接兩個(gè)端點(diǎn)

1.下列說法正確的是（

A.三角形的角平分線將三角形的面積平分

B.三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)內(nèi)角

C.在△ABC中，若NA+NB=NC,則這個(gè)三角形是直角三角形

D.若線段AB垂直平分線段CZ）,則線段CZ）必垂直平分線段AB

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中線，三角形的內(nèi)角和定理，逐一判斷

即可解答.

【解答】解：A、三角形的中線將三角形的面積平分，故A不符合題意；

B、三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故8不符合題意；

C、在△A8C中，若則這個(gè)三角形是直角三角形，故C符合題意；

D、若線段A8垂直平分線段CZ）,而線段CO不一定垂直平分線段A8,故。不符合題意;

故選：C.

2.如圖，在△4BC中，DE是4B的垂直平分線，BC=10,AC=14,則△BCO的周長(zhǎng)為（）

B

A.14B.24C.10D.26

【分析】依據(jù)OE是△A8C中48邊的垂直平分線，即可得到再根據(jù)8c=10,

AC=14,即可得到△8CE的周長(zhǎng).

【解答】解：是△ABC中AB邊的垂直平分線，

:.AD=BB,

又,.?BC=10,AC=14,

/.ABCD的周長(zhǎng)=8C+CO+B。

=BC+CD+AED

=BC+4C

=24,

故選：B.

3.如圖，ZBAC=\05°,AB=AC,若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則N%。的度

數(shù)是（）

【分析】由AB=AC,N8AC=100°,可求得/8+/C的度數(shù)，又由MP,NQ分別垂直

平分AB,AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP=8P,AQ=CQ,繼而求得N8AP+

NCA。的度數(shù)，則可求得答案.

【解答】解：：A8=AC,NBAC=105°,

.,.ZB+ZC=180o-NBAC=75°,

；MP,NQ分別垂直平分A5,AC,

：.AP=BP,AQ=CQ,

:./BAP=NB,/C4Q=/C,

:.NBAP+NCAQ=75°,

J.ZPAQ^ZBAC-（ZBAP+ZCAQ）=30°.

故選：C.

4.如圖，銳角三角形ABC中，直線/為8c的垂直平分線，直線“為NABC的角平分線，

/與相相交于P點(diǎn)，若NA=65°,N4CP=22°,則NA8P的度數(shù)是（)

A

A.31°B.22°C.43°D.32°

【分析】連接PA,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB=PC,得至根

據(jù)角平分線的定義得到/P8C=NA8P,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可.

【解答】解：連接心,

??,直線L為8C的垂直平分線，

:?PB=PC,

:,NPBC=/PCB,

???直線PM為ZABC的角平分線，

:?/PBC=NABP,

i^ZPBC=x,則NPC3=NA8P=JG

：.x+x+x+65Q+22°=180°,

解得，x=3I°,

故選：A.

5.如圖，在RtZ\A8C中，D為BC上一點(diǎn),DE上AB,S.AE=BE,若NCAO=4N8,BD

=6,則AC=()

A

B.3a

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】解:'：DELAB,AE=BE,

，￡)E垂直平分48,

:.AD=BD=6,

，NDAB=ZB,

,：/CAD=4/B,

ZCAB=5ZB,

VZC=90°,

.,.NC48+N8=90°,

：.ZB=ZDAB=15Q,

.?.NAOC=/B+N&W=30°,

.?.AC=X4O=3,

2

故選：A.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(5,5),點(diǎn)B(1,1),點(diǎn)C(7,1),若點(diǎn)P到點(diǎn)4、

B、C的距離相等，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,2).

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出點(diǎn)P，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：:?點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離相等，

...點(diǎn)P是線段A8、BC垂直平分線的交點(diǎn)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),

故答案為：(4,2).

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,8為不重合的兩個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)C到人B兩點(diǎn)的距離相等，

則稱點(diǎn)C是線段AB的“公正點(diǎn)”.特別地，當(dāng)60。WNACBW180。時(shí)，稱點(diǎn)C是線段

AB的“近公正點(diǎn)”.

(1)已知A(1,0),B(3,0),在點(diǎn)C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)

中，線段48的“公正點(diǎn)”為點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)E(2,-2.3)；

(2)已知點(diǎn)M(0,3),作NOMN=60°,射線MN交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N.

①若點(diǎn)P在)，軸上，點(diǎn)P是線段MN的“公正點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,-3)；

②若點(diǎn)Q(a,b)是線段MN的“近公正點(diǎn)”，直接寫出h的取值范圍是-3Wb<6.

【分析】(1)判斷點(diǎn)C(2,0),￡)(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直線x=2上即

可；

(2)①畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出

答案即可；

②得出點(diǎn)Q的兩個(gè)“臨界值”，即〃的“臨界值”即可.

【解答】解：(1)如圖，A(1,0),B(3,0),線段A8的“公正點(diǎn)”在線段AB的中垂

線上.

即“公正點(diǎn)”在直線x=2的直線上，

在C(2,0),D(l,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有點(diǎn)C、點(diǎn)E在直線x=2上，

故答案為：點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)E(2,-2.3)；

(2)①如圖，作MN的中垂線交y軸的負(fù)半軸于尸1,

'：OM=3,NOMN=60°,

:.MN=2OM=6,ON=MOM=3愿，

在RtapQM中，MQ=^MN=3,ZOMN=GO0,

2

：.OP\^P\M-OM^6-3=3,

；.點(diǎn)Pi(0,-3),

故答案為：(0,-3)；

②如圖，連接PM由對(duì)稱性可知△MNP是正三角形，

此時(shí)，NMP1N=6O°,

△MNPi是關(guān)于MN的對(duì)稱三角形尸2是正三角形，

此時(shí)P2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,

?.?點(diǎn)。(a,h)是線段MN的“近公正點(diǎn)”，

；.60°WNMQNW180。，

即點(diǎn)。在線段PP2上，

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)P時(shí)，b--3,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)P2時(shí)，OE=6,即6=6,

二6的取值范圍為-3W6W6,

故答案為：-39W6.

8.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=9Q°,力是48上一點(diǎn)，BD=BC,過點(diǎn)。作A8的垂線交

AC于點(diǎn)E,求證：8E垂直平分CD

【分析】證明RtZ\B￡>EgRtZ\8CE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EO=EC,根據(jù)線段垂

直平分線的判定定理證明.

【解答】證明：,DELAB,

；.NACB=/8DE=90°,

在RtABDE和RtABCf中，

[BD=BC

IBE=BE'

.".RtABD￡^RtABC￡,

：.ED=EC,

\'ED=EC,BD=BC,

.?.BE垂直平分CD.

t跟蹤訓(xùn)練

0''*

1.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AOJ_BC,且頂

角NBAC=120°,則/C的大小為30°.

BDC

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到NB=NC=30°.

【解答】解：?.,A8=AC且NBAC=120°,

.?.ZB=ZC=A（1800-ABAC}=AX60°=30°.

22

故答案為：30°.

2.（2022?北京）如圖，在△ABC中，A力平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE^\,則S

A4CD=I

【分析】過。點(diǎn)作OH_LAC于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=OH=1,然后

根據(jù)三角形面積公式計(jì)算.

【解答】解：過。點(diǎn)作DHLAC于H,如圖，

平分/84C,DE1,AB,DHLAC,

:.DE=DH=1,

?*-S/\ACD—X2X1=1.

2

故答案為：1.

3.（2022?鄂爾多斯）如圖，ZAOE=]5°,OE平分NAOB,OE〃OB交。4于點(diǎn)。，EC

-LOB,垂足為C若EC=2,則。。的長(zhǎng)為（）

C.4D.4+2禽

【分析】過點(diǎn)E作Eb_LOA于點(diǎn)”，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得E”=EC,再根據(jù)平行線

的性質(zhì)可得NAOE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CE的長(zhǎng)度，再證

明OD=DE,即可求出OD的長(zhǎng).

【解答】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)如圖所示：