專 題 17.16用勾股定理解決動點問題（專項練習）

專題17.16用勾股定理解決動點問題（專項練習）

一、單選題

1.如圖，放AACB中，ZACB=90°,A8=25cm,AC=7cm,動點P從點B出發(fā)沿射線8c以

2cm/s的速度運動，設運動時間為fs,當△APB為等腰三角形時，/的值為（）

A.答或弓B.或24或12C.篝或24或12D.簫或g或24

2.正方形ABCQ的邊長為8,M在QC上，且￡>"=2,N是AC上的一動點，ON+MN的

最小值為（）

A.6B.8C.10D.9

3.如圖，在等腰中，斜邊48的長為2,。為AB的中點，E為AC邊上的動點,

廣交BC于點尸，尸為E尸的中點，連接布，P8,則附+P8的最小值是（）

A.3B,272C.y/6D.石

4.如圖，在心△4OC中，AD=3,NAOC=90。，NC=30。，AC的中垂線Gh分別交AC、

OC于點G、H,/為HG上一動點，則△4。/的周長的最小值為（)

G

D-------------ff

A.6B.6+36C.3+3抬D.3+百

5.如圖，點P,。分別是/ABC邊BA,8C上的點，且瓦）=4,NABC=60。.連結(jié)P。,

以PD為邊,在PO的右側(cè)作等邊△力PE,連結(jié)8E,則ABOE的面積為（）

A.4GB.2C.4D.6y/3

二、填空題

6.如圖，在等邊AABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點尸從點E出發(fā)沿E4方向運動,

連接P￡>,以為邊，在尸。的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊ADP尸，當點尸從點E運動到

點A時，點F運動的路徑長是—.

7.如圖1,點M,N為邊長為8cm的正方形A8CO邊A8,8上的動點，連接MN,點E

為邊BC的中點.將正方形A3CO沿線段MN折疊，使點。的對應點戶落在線段的上，點A

的對應點為F,如圖2所示.則線段CN的取值范圍是.

圖1圖2

8.如圖，射線垂足為。，等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別與射線0M上

的點E、點。重合,48=4.當點4從點E出發(fā)沿E0方向滑動，同時點B沿ON方向滑動.當

點4從點E滑動到點。時，直角頂點C運動的路線長為.

。⑶

9.如圖，在R/AABC中，NACB=90。，AB=4,BC=2,點E、F分別是A3、BC上的動點,

沿EF所在直線折疊△ABC,使點8落在AC上的點笈處，當△AE8是直角三角形時，AB'

的長為.

10.如圖，點M為線段A8上的一個動點，在AB同側(cè)分別以AM和8M為邊作等邊A4WC

和等邊若AB=12,則線段8的最小值為.

11.如圖，等腰ABAC中，ZBAC=120°,BC=6,P為射線8A上的動點，M為BC上一

動點，則PM+CP的最小值為

12.如圖，點A坐標為(-4,一4),點8(0,相)在)，軸的負半軸上沿負方向運動時，作

RtAABC,其中/54C=90。.直線AC與x軸正半軸交于點C5,0),當B點的運動過程

13.如圖，在平面直角坐標系中，ZACB=90°,NA=30。，點A(-3,0),B(1,0).根

據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結(jié)論：在放△ABC中，AB=2BC.請在這一結(jié)

論的基礎上繼續(xù)思考：若點。是48邊上的動點，則CD+gA。的最小值為.

14.如圖，在R/AABC中，ZC=90°,AC=6,NB=30。，點尸在邊AC上，并且C尸=2,

點E為邊BC上的動點，將ACEF沿直線EF翻折，點C落在點尸處，則點尸到邊AB距離

的最小值是.

15.已知：R/AA8C中，NBAC=90。，AB=AC=1,。是BC邊上的一個動點(其中0。</84。

<45°),以為直角邊作RhADE,其中ND4E=90。，S.AD=AE,OE交AC于點己

過點4作于點G,交BC于H,在D點的運動過程中，有下列結(jié)論：①AAB。絲A

ACE：②BfP+OCZuMZA@BD2+HC2=DH2；④當80=0-1時，AC平分NH4E；⑤當

/班。=22.5。時，S"?G=2S~CF，其中正確的有.(將所有正確結(jié)論的番號填在答

題卡對應題號的橫線上)

16.如圖，在等邊AABC中，A￡),CE是“IBC的兩條中線，AB=4,P是A。上一個動點,

則AEBP的周長最小值是.

三、解答題

17.如圖，在AABC中，N4C8=90。，A8=10,8C=6,點P從點A出發(fā)，以每秒2個單

位長度的速度沿折線A-8-C運動.設點P的運動時間為/秒(r>0).

(1)求AC的長.

(2)求斜邊A8上的高.

⑶①當點P在BC上時，PC的長為.(用含f的代數(shù)式表示)

②若點P在/B4C的角平分線上，則t的值為.

(4)在整個運動過程中，直接寫出APBC是等腰三角形時/的值.

18.在△ABC中，NACB=90。，AC=4,BC=3.

(1)如圖1,O為線段BC上一點，點C關(guān)于AD的對稱點。恰好落在A8邊上，求8的長；

(2)如圖2,E為線段AB上一點，沿CE翻折ACBE得到ACEB，，若EB，//AC,求證：AE=

ACi

(3)如圖3,。為線段BC上一點，點C關(guān)于的對稱為點C，，是否存在異于圖1的情況的

C、B、。為頂點的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出長；若不存在，請說明

理由.

19.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，A(-12,0),C(0,4g),

NC4O=/8CO=30。，點E從A出發(fā)沿AC向點C運動，點F從O出發(fā)沿0C向C運動，

兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位/秒，并且一個點到達終點時另一個點也停止運動，設運

動時間為f秒.

⑴求點8坐標.

⑵連接EF,將線段E尸繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段E。，連接CD,求CD的長.

⑶在(2)的條件下，作點。關(guān)于EF的對稱點G,連接CG、BG,當f為何值時，CBG為

直角三角形.

20.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A、8分別y軸、x軸上，連接AB,OA=OB,

=50-

(D如圖1,求點A、B的坐標:

(2)如圖2,用從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線。8運動，連結(jié)4M.設AABM

的面積為S,點M的運動時間為，秒，求S與，的之間關(guān)系式，并直接寫出f的取值范圍;

(3)如圖3,在(2)的條件下，當點運動到線段的延長線上時，過點8作于點

H,將線段AM關(guān)于x軸對稱ME,(A的對稱點是E)交直線BH于點N,當S=50時，求

MN的長.

圖3

21.如圖，已知在放AABC中，ZACB=90°,AC=18,BC=36.點P從8點出發(fā)沿射線BC

方向以每秒4個單位的速度向右運動.設點尸的運動時間為r.連結(jié)AP.

(1)當f=3秒時，BP=；AP=；

(2)當AABP為等腰三角形時，求f的值;

(3)當AP恰好平分/B4C時，求f的值.

備用圖

22.如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點尸從點A開始沿

邊向點B以每秒1cm的速度移動，點Q從點8沿邊BC向點C以每秒2cm的速度移動.如

果點P、。同時出發(fā)，設運動時間為f秒.

(1)經(jīng)過3秒時，ABPQ的面積為多少？

(2)當f為何值時，BP=^BQ?

(3)當/為何值時，點8在尸。的垂直平分線上？

23.小明也想利用軸對稱設計一幅圖參加班級的冬奧會主題畫展，他在設計的過程中發(fā)現(xiàn)了

一個有趣的現(xiàn)象：

(1)【發(fā)現(xiàn)】如圖1,在AABC中，點。在邊AB上運動(點。不與A,8重合)時，連接CD,

作AA8C關(guān)于CD的軸對稱圖形QC,邊AC交AB于點E,A9交AC于點F.他發(fā)現(xiàn)

CE與CF的有固定的數(shù)量關(guān)系，請你判斷CE與CF的數(shù)量關(guān)系為.

(2)【拓展】繼續(xù)深入研究發(fā)現(xiàn)：如圖2,在AMC中，當點。在邊A8的延長線上運動(點

。不與B重合)時，連接C￡>,作AABC關(guān)于CO的軸對稱圖形△ASC,邊A，C的延長線交

AB于點￡交AC的延長線于點F,他發(fā)現(xiàn)CE與CF仍然有固定的數(shù)量關(guān)系.請你判

斷(1)中的結(jié)論還成立嗎？并說明理由.

(3)【應用】在AABC中，若NA=30。，ZB=45°,AC=2,請直接寫出CF最小時4。的長

度為,

24.如圖，已知在RSA8C中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一點，CD=

3,點P從B點出發(fā)沿射線8C方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點P的運動時間為

t,連接AP.

(1)當r=3秒時，求AP的長度；

(2)當△AB尸為等腰三角形時，求f的值；

(3)過點。作于點區(qū)連接PO,在點P的運動過程中，當尸。平分/APC時，直接

寫出，的值；

25.如圖，己知AABC為等腰直角三角形，且面積為4.點。是8c的中點，點F是直線A3

上一動點，連結(jié)。尸.

(1)求線段8c的長；

(2)當點E在射線BC上，且CE=2BC時，連結(jié)正，若AF=3AB,試判斷A￡)E/是否為等

腰三角形，并說明理由；

(3)直線AB上是否存在點F(尸不與A8重合)，使AACF的其中兩邊之比為1：歷?若存在,

求出所的長；若不存在，請說明理由.

26.已知：如圖，AA8C中，ZC=90°,BOAC,點。是A8的中點，點P是直線8c上

的一個動點，連接。P，過點。作QQLOP交直線AC于點Q.

(1)如圖①，當點尸、Q分別在線段BC、AC上時(點。與點A、C不重合)，過點8作AC

的平行線交。。的延長線于點G,連接PG、PQ.

①求證：PG=PQi

②若BC=12,AC—9,設CQ—y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)當點P在線段C8的延長線上時，依據(jù)題意補全圖②，請寫出線段BP、PQ、AQ之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

27.如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。為AC邊上一動點，且不與點A、點C

重合，連接BO并延長，在BO延長線上取一點E,使AE=AB,連接CE.

(1)若/AED=20。，則NZ)EC=度；

(2)若/AEO=a,試探索與NAEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；

(3)如圖2,延長EC到點”，連接BH2+C〃2=2AE2,連接A3與BE交于凡試探究8E與

FH的關(guān)系.

E

28.如圖1,點A在y軸上，點8,點C在x軸上，點。在第一象限，且△45C與△A3C

均為等邊三角形，點B坐標為（-3,0）,點E為線段8c上一動點，點尸為直線0c上一

動點，且NEAF=60°,連接EF.

⑴填空：寫出點A、點。的坐標，點A；點。；

（2）試判斷防的形狀，并給予證明；

⑶直接寫出E尸長度的最小值以及此時點尸的坐標；

（4）將條件改為“點E為C8延長線上一點”,其他條件不變，AAM的形狀是否發(fā)生變化？

在圖2中畫全圖形（不必證明），直接寫出當點E坐標為（-5,0）時，EF的長度以及此

時點尸的坐標.

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰三角形的定義，分以=P8,PA=AB,三種情況求解.

【詳解】

*.*Z,ACB=90°,AB=25cmfAC=7ctn,

???BC=NAB，-AC2=4252-72=24，

當以=PB時，設%=PB=x,則PC=24-x,

A

BpC

：.x2=(24-X)2+72,

解得k篝,

.625,625

??t=-----i-2=——;

4896

當AB=PB時，則AB=PB=25,

A

BCP

???哼

當A3二%時，則8C=PC=24,

A

.J

BCP

2

故當AAP8為等腰三角形時?，f的值為詈或胃或24,

故選o.

【點撥】本題考查了分類思想，等腰三角形的判定和性質(zhì),勾股定理，熟練掌握等腰三角形

的判定，靈活運用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

要使QN+MN最小,首先應分析點N的位置，根據(jù)正方形的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直

平分，知點D的對稱點是點B,連接MB交AC于點N,此時￡W+MN最小值及時BM的長.

【詳解】

根據(jù)題意，連接8N,BM,

ND+NM=NB+NM>MB

三點共線時，ON+MN取得最小值，

則8M就是ON+MN的最小值，

在MA8CM中，BC=8,CM=6,

根據(jù)勾股定理得：3M=^/^百■=10，

即DN+MN的最小值是10,

故選C

【點撥】本題主要考查了正方形性質(zhì)的應用，結(jié)合勾股定理判斷最小路徑是解題的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【詳解】

連接PC,PD,CD,作線段CQ的垂直平分線/,作A關(guān)于CO垂直平分線的對稱點Al根

據(jù)題意可得：點?在的垂直平分線上運動，得出必+P3的最小值為48,結(jié)合圖形利

用垂直及平行的關(guān)系得出A4UA8,且A4'=C￡)=gA8=l,在RW8中，利用勾股定

理求解即可得.

【解答】

解：如圖所示：連接FC,PD,CD,作線段CO的垂直平分線/,作A關(guān)于C。垂直平分線

的對稱點4,

,/在Rt^CEF中，P為EF的中點，

/.CP=-EF,

2

在RMEDF中,

DP=-2EF,

：.CP=DP,

...點P在C。的垂直平分線上運動，

，B4+P8的最小值為43,

:?ABC為等腰直角三角形，。為A8中點，

CDLAB,

：.I//AB,

:AA'll,

AA'LAB，且A4'=CO」AB=1,

2

...在中，

^'B=A/22+12=45>

故選：D.

【點撥】題目主要考查最短路徑問題，包括直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱

的性質(zhì)，垂直及平行的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是

解題關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

連接C/,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，AI=CI,由此即可推出AAO/的周長

L=AD+C1+DI,根據(jù)C/+。/最小時，即為/點與〃點重合時，即為CD的長.最后根據(jù)

含30。角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理，求出CO的值即可.

【詳解】

如圖，連接C/,

:G”是線段4c的中垂線，

,Al=Cl.

?/L=AD+AI+DI,

：.L=AD+CI+DI.

???C/+。/最小時，即為/點與H點重合時，即為CD的長，

：.Lmin=AD+CD.

VAD=3,ZADC=90°,ZC=30°,

CD=gAD=3后，

L.=AD+C￡>=3+38.

故選c.

【點撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，含30。角的直角一角形的性質(zhì)以及勾股定理.正

確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.

5.A

【解析】

【分析】

要求ABDE的面積，想到過點E作“_L3C,垂足為F,因為題目已知NABC=60。，想到

把NA8C放在直角三角形中，所以過點。作DGL8A,垂足為G,利用勾股定理求出QG的

長，最后證明AGP。=ATOE即可解答.

【詳解】

解：過點E作所_L8C,垂足為尸，過點。作垂足為G,

/BDG=300,

BG=-BD=2

2f

/.GD=y/BD2-BG2=2x5，

?;APDE是等邊三角形,

.?.NP￡)E=60。，PD=DE,

Z.PDB+/EDF=180°-NPDE=120°,

???NABC=60。，

/.ZPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

:.ZBPD=ZEDF,

???ZPGD=ZDFE=90°,

:.\GPD=\FDE(AAS),

:.GD=EF=2出,

.?.MDE的面積=gBO.￡F,

=—x4x25/3,

2

=46?

故選：A.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的

已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線.

6.8

【解析】

【分析】

連接OE,作，8c于H,如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得N8=60。，過。點作,

則B?=；BO=2,則點E，與點E重合，所以/%>￡=30。，DE=4^BE=2也,接著證明

2PE痣由汨得到FH=DE=2幣,于是可判斷點尸運動的路徑為一條線段，此線段到

BC的距離為26,當點尸在E點時，作等邊三角形。后耳，則。耳，BC,當點P在A點時，

作等邊三角形瑪，作EQLBC于Q,則4DF2Q=\ADE,所以DQ=4E=8,所以

FtF2=DQ=S,于是得到當點產(chǎn)從點E運動到點A時，點/運動的路徑長為8.

【詳解】

解：連接作修，8C于，，如圖所示：

???△4BC為等邊三角形，

ZB=60°,

過。點作OEJ.AB,則=

，點9與點E重合，

.?.ZBDE=30。,DE=MBE=2上,

?「△DP廠為等邊三角形，

ZPDF=60°,DP=DF,

??./EDP+/HDF=9Q。,

???NHDF+/DFH=90。,

:.ZEDP=ZDFH.

在△￡）尸石和△尸?！ㄖ?，

/PED=NDHF

?/EDP=4DFH,

DP=FD

:.ADPE三AFDH,

..?點尸從點E運動到點A時，點尸運動的路徑為一條線段，此線段到的距離為26

當點尸在E點時，作等邊三角形。%，/比尸1=30。+60。=90。，則。耳，BC,

當點尸在A點時?，作等邊三角形作KQLBCr。，則4DF2Q=\ADE,

：.￡>Q=AE=10-2=8,

:.FtF2=DQ=S,

，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8.

故答案是：8.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，也考查了等邊三角形的性質(zhì).在解決問題時，

關(guān)鍵要掌握點運動的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點運動的規(guī)律.

7.0MGVM3

【解析】

【分析】

當點P與點6重合時，CN取得最小值0；當點產(chǎn)與點E重合時，CN取得最大值，根據(jù)

正方形邊長為8,點E為邊BC的中點，設C/V=x,則。V=8-x,CEU根據(jù)NC=90。，利

用勾股定理即可得出CN的長，取兩種情況的中間值即可得到線段CN的取值范圍.

【詳解】

當點P與點8重合時，CN取得最小值0；

當點P與點E重合時，CN取得最大值

如圖，

BEC

正方形邊長為8,點E為邊3c的中點

設CN=x,貝lj￡W=8-x,CE=4

?;EN=DN

:.EN=8-x

在DCEN中，ZC=90°

:.EN2=CE2+CN2

即(8-X)2=4?+/

解得x=3

此時，CN=3

所以，線段CN的取值范圍是04CN43.

故答案為：04CNM3.

【點撥】本題考查了折疊問題，涉及正方形的性質(zhì)、勾股定理的應用，熟練掌握知識點是解

題的關(guān)鍵.

8.8-4正##-4忘+8

【解析】

【分析】

點C的運動路徑是：CTC/TC,然后結(jié)合勾股定理分析求解.

【詳解】

解：如圖：

?:△ABC為等腰直角三角形，且A8=4,

/.0c=2五，

當點4滑動到點4,點8滑動到點8/時,

點C的運動路徑是線段CG,

由題意可得，此時四邊形A/08/C/是正方形，且48尸4,

OCI=AIBI=4,

CC/=4-2>/2,

當點A滑動到點0,點8滑動到點員時，

點C/的運動路徑是線段C/C,

.?.直角頂點C運動的路線長為2(4-2&)=8-4血，

故答案為：8-4夜.

【點撥】本題考查軌跡、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點C的運動軌跡，

屬于中考填空題中的壓軸題.

9.逑或4(6-1)

3

【解析】

【分析】

利用直角三角形的性質(zhì)得到乙4=30。，山折疊的性質(zhì)推出8E=B￡然后分兩種情況討論，利

用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.

【詳解】

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BE=B'E,BF=B'F,即是線段88的垂直平分線，

在ABC中，/ACB=90°,AB=4,BC=2,

：.NA=30。,

當/AB'E=90。時，△AE8是直角三角形，如圖：

,/ZA=30°,

：.EB,=-AE,

2

：.EB=-AE,

2

VAB=4,

284

；?AE=-AB=—，BE=B'E=一，

333

牌一(》2=陣

當NAE￡=90。時，△/!可是直角三角形，如圖:

：.EB'=-AB',

2

由勾股定理得AE=#)8七=6BE,

"：AB=4,

：.y/jBE+BE=4,

解得:BE=2(若-1),即8E=2(6-1),

：.AB'=2B'E=4(y/3-U，

綜上，當AAEB，是直角三角形時，的長為生旦或4(6-1).

3

故答案為：延或4(6_1).

3

【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出圖形，分類討論是解

題的關(guān)鍵.

10.6

【解析】

【分析】

過C作CEJ_AB于E,過。作DF_LMB于F,過￡＞作于G,利用平行線間距離

相等可得。G=E尸，根據(jù)勾股定理可以求得CD=JE尸+CG?，根據(jù)CG的取值范圍可以求得

C。的最小值，即可解題.

【詳解】

解：如圖過C作CE_LAB過。作于F，過。作￡>GACE于G,

..GE//DF,

-.■DG±CE,FErCE,

根據(jù)平行線間距離相等,

:.DG=EF,

???AAMCABMO為等邊三角形，

-.■CE±AM,DFIBM,

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

/.AE=ME,MF=BF,

:.DG=EF=ME+MF=-(AM+BM)=-AB=6,CD..DG,

22

.-.CD=^EF2+CG2.故CG=O時，CO有最小值，

當M為AB中點時，有CD=DG=6,

二8長度的最小值是6.

故答案為：6.

【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理在直角三角形中的靈活運用，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)勾股定理計算C/)的值.

H.373

【解析】

【分析】

作點C關(guān)于54的對稱點Z),連接3。，點M/是8c上一點，連接。M/,交AB于點P,連

接CP,作力8c于可知力M最短，根據(jù)勾股定理求出長度即可.

【詳解】

解：作點C關(guān)于加的對稱點。，連接8D,點％是8c上一點，連接。例/,交A8于點P,

連接CP，作于M,

由對稱可知，DP=CP,

：.PM+CP=PM+DP=DMt

當。M_L8C時，PM+CP最短，最小值為0M長,

;等腰AB4C中，ZBAC=120°,BC=6,

：.ZABC=ZACB=30°,

山對稱得，ZABD=30°,BC=BD=6,

：.ZCBD=60°,/MOB=30。，

BM=-BD=3,

2

DM=>]BD2-MB2='

故答案為：3G.

【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰

當作輔助線，利用垂線段最短和勾股定理求解.

12.-8

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理和坐標的性質(zhì)，分別計算得AC?、AB1,BC：結(jié)合NBAC=90。，根據(jù)勾股

定理的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意,得:AC2=[n-(^)]2+[0-(^)]2=(n+4)2+16=n2+8?+32

AB2=[0—(一4)了+[/n-(-4)]2=16+(/n+4)2=MJ2+8/H+32

BC2=n2+nr

,?NBAC=90。

:.BC2=AC2+AB2

n2+trr=n2+8〃+32+〃F+8〃z+32

8(/77+/?)+64=0

/./w+/?=-8

故答案為：-8.

【點撥】本題考查了勾股定理、直角坐標系的知識;解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì),

從而完成求解.

13.3

【解析】

【分析】

作射線AG,使得/BAG=30。，過0作DEL4G于E,過C作CFLAG于F,DE=-AD,

2

故CD+-AD=CD+DE>CF,求出CF即可.

2

【詳解】

解：?.?點A(-3,0),B(1,0),ZCAO=30°,

：.AO=3,80=1,AC=2OC,

'：AC2=AO2+OC2,即(2O02=32+OC2,

解得：OC=0,

：.AC=2OC=2y/3,

作射線AG,使得/BAG=30。，

過。作DELAG于E,過C作CF1.AG于F,

：.DE=-AD,

2

CD+-AD=CD+DE>CF,

2

VZCAG=ZCAB+ZBAG=60°,l|JZACF=30°,且AC=26，

：.AF=^AC=y[3,

CF川Ad-AF。=3,

的最小值為3.

故答案為：3.

【點撥】本題考查了坐標與圖形，含30。直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊一半，作

出射線AG,使得/8AG=30。是本題的關(guān)鍵.

14.25/3-2

【解析】

【分析】

延長FP交A8于M,當尸PLA8時，點P到A8的距離最小.運用勾股定理求解.

【詳解】

解:如圖，延長"，交48于M,當/_LA8時，點P到A8的距離最小.

；4C=6,CF=2,

：.AF=AC-CF=4,

'：ZB=30°,NACB=90°

NA=60°

,/ZAMF=90°,

，NAFM=30。，

：.AM=^AF=2,

FM=JAF?-fTW2=2G，

'：FP=FC=2,

：.PM=MF-PF=2y/3-2,

...點尸到邊AB距離的最小值是2Q-2.

故答案為：2檔-2.

【點撥】本題考查了翻折變換，涉及到的知識點有直角三角形兩銳角互余、勾股定理等，解

題的關(guān)鍵是確定出點P的位置.

15.①②③?

【解析】

【分析】

證明/8AZ)=/CAE,結(jié)合AB=ACAD=AE,可判斷①，證明

?DCE90?,C￡2CD2DE1,再結(jié)合全等三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷②，如圖,

連接則由2=比2+(7”2=(7/2+8》,證明4”是。石的垂直平分線，結(jié)合垂直平分線

的性質(zhì)可判斷③，利用勾股定理求解C/7=0-1=CE,再證明VACH/VACE,可判斷④，

如圖，過尸作證明EG'2GF,可得。G’2GF,從而可判斷⑤.

【詳解】

解：在等腰直角三角形A8c和等腰宜角三角形AOE中，

'：AB=AC,ZBAC=ZDAE=90°,AD=AE.

：.ZBAD=ZCAE.

絲△ACE.故①符合題意；

在等腰直角三角形4BC和等腰直角三角形AOE中，

?ABC?ACB?ADE?AED45?,

△ABD^/\ACE,

\2ACE45靶。CE=45?45?90?,8。CE,DE2=2AD2,

\CE2+CD-=DE2,

\B￡>2+C￡>2=24￡)2,故②符合題意,

如圖，連接￡”，則EH?=CE2+C”2=C7/2+B￡)2,

???等腰:百角三:加形ADE,AHADE,

\DG=EG,DH=EH,

\DH^CH-+BD2,故③符合題意；

QAB=AC=l；?BAC90?,8。夜-I,

\BC=0,C￡>=a(a-1)=1,CE=BO=&-1,而EH=DH=1-CH,

\"+(應-=(1-CH?,

解得：CH=?-1=CE,

QAC^AC,?ACB?ACE45?,

\NACH^/ACE,

\?HAC?EAC,即AC平分故④符合題意，

如圖，過/作月VLAE于M

A

N

Q?BAD22.5?,而也AC4E,

\?CAE22.5靶AF￡)=45?22.5?67.5??DAF,

\?GAF45?22.5?22.5??CAE,而AGADE,

\FG=FN,

\EG?2GF,而。G=EG,

\DG'l2GF,

\SVADG?2SVAOF,故⑤不符合題意；

綜上：符合題意的有：①②③④.

故答案為：①②③④

【點撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS證明三角形全等，勾股定理的應用，

線段的垂直平分線的定義與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的應用，二次根式的乘法運算，掌握以上

知識是解本題的關(guān)鍵.

16.2+2石

【解析】

【分析】

如圖連接PC,只要證明=即可推出P5+PE=PC+PE,由PE+PC..CE,推出P、

C、E共線時，P8+PE的值最小，最小值為CE的長度，進而可求AEBP的周長最小值.

【詳解】

解：如圖連接PC，

-AB=AC,BD=CD,

AD±BCf

1.PB=PC,

；,PB+PE=PC+PE,

???PE+PC.CE,

??P、C、E共線時，總+PE的值最小，最小值為CE的長度，

,*,AABC是等邊三角形，AB=4,

AB=BC=4,

BE=AE=2,

：.CE±.AB,

CE=飛BC?-BE。=26，

/.P8+PE的最小值為2道，

,/C4alp=BE+BP+PE,

的周長最小值為2+26；

故答案為2+26.

【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題及勾股定理，熟練掌握等邊三

角形的性質(zhì)、軸對稱一最短問題及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.(1)AC=8

24

(2)斜邊AB上的高為不

20

⑶①16-2f；②了.

(4)，的值為1.4或2或2.5或11

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理直接求出AC的值；

(2)由勾股定理可求得AC的值，再設斜邊A3上的高為兒由面積法可求得答案；

(3)分兩種情況計算即可：①當點P在C8上時，②當點P'在/BAC的角平分線上時；

(4)由圖可知，當△8CP是等腰三角形時，點尸必在線段AC或線段A8上，當點P在線

段4c上時，分三種情況：BC=BP：PC=BC；PC=PB,分別求得點尸運動的路程，再除以速

度即可得出答案.

(1)

?.?在AABC中,ZACB=90°,AB=\O,BC=6,

AC=y]AB2-BC2=V102-62=8;

⑵

設邊A5上的高為人

則%=：ACBC=*.m

—x6x8=—xlO-/?,

22

5

答：斜邊AB上的?同為彳；

⑶

①當點尸在8c上時，點P運動的長度為

則PC=BC-BP=6-(2r-10)=6-2/+10=16-2f；

②當點P在/B4C的角平分線上時，過點P作尸。J_4B,如圖:

平分N8AC,PC±AC,PD1AB,

：.PD=PC,

有①知，PC=16-2f,BP=2t-10,

."0=16-23

在RtXACP和R以ADP中,

[AP=AP

\PD=PC"

:.RtAACP鄴mADP(HL),

?"D=AC=8,

又VAB=10,

:?BD=2,

在RSBDP中,由勾股定理得：

22+(16-202=(2r-10)2,

20

解得：

70

故答案為：①16-2/；②了.

(4)

由圖可知，當ABC尸是等腰三角形時，點尸必在線段或線段上,

①當點尸在線段AC上時，此時ABCP是等腰直角三角形，

則CP=BC=6,

：.AP=AC-CP=S-6=2f

：.10+8+6-2t=24-2t=2

z=ll；

②當點尸在線段AB上時，若BC=BP,

c

則點尸運動的長度為AP=2，，

'：AP=AB-BP=IO-6=4,

???2r=4,

若PC=BC,如圖2,過點。作于點兒則8P=28”,

在△ABC中，ZACB=90°fAB=10,BC=6,AC=8,

：?AB*CH=ACBC,

.'.10C/7=8x6,

24

?.>C/H7—,

在放ASCH中，由勾股定理得：

BH=^BC2-CH1=^62-(y)2=y=3.6,

BP=2BH=72,

???點尸運動的長度為：AP=AB-3P=10-7.2=2.8,

???2f=2.8,

若PC=P8,如圖3所示，過點P作PQ_L8C于點Q,

B

則4Q=CQ=gx5C=3,NPQ3=90。，

ZACB=ZPQB=90°f

J.PQ//AC,

??.PQ為AABC的中位線，

PQ=yxAC=yx8=4,

在放ABP。中，由勾股定理得：BP=^BQ2+p?=律贏2=5,

點尸運動的長度為4P=2f,

AP=AB-BP=W-5=5,

：.2t=5,

.,.r=2.5.

綜上，，的值為1.4或2或2.5或11.

【點撥】本題主要考查了勾股定理在動點問題中的應用，數(shù)形結(jié)合、分類討論并熟練掌握相

關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

4

18.(D-

(2)見解析

⑶4-⑺

【解析】

【分析】

(I)首先勾股定理得48=5,再由對稱性得4C=AC=4,得BC=1,在RABC。中，利用勾

股定理列方程即可；

(2)由翻折得ZB'CE=ZBCE,再根據(jù)/AEC=NB+NBCE,

ZAC￡=Zfi'CA+ZB'C￡,可得/AEC=/ACE,從而證明結(jié)論；

(3)當NC8/X90。時，過點A作4ELAC,交8。延長線于點E,設8C為x,則CE=4-x,

在心AACE中，由勾股定理得，(4x)2+32=42,解方程從而解決問題.

(1)

解：在RdABC中，由勾股定理得AB=5,

,/點C關(guān)于AD的對稱點。恰好落在AB邊上，

，AC=AC=4,

在心△8C。中，由勾股定理得，

(3-CD)2=12+5,

4

解得：CD=-；

(2)

證明：???沿CE翻折aCBE得到ACE9，

；?NB=NB,NB，CE=NBCE,

,:EB〃AC,

：.ZB'=ZB'CA=ZB,

：.ZAEC=ZB+ZBCEfNACE=NBCA+NBEE,

NAEC=NACE,

：.AE=AC^

(3)

存在，BC=4-5，

'/ZAD0450,

???NBDC不可能為90°,

當時，過點A作AE,AG交BC延長線于點E,

：ZC=ZCBD=900=ZEf

??四邊形AC8E為矩形，設8CF為羽則CE=4-x,

??AACD翻折后得到AAC。，

\AC=AC=49

：AE=BC=3f

在燈A4CE中，由勾股定理得，

(4-x)2+32=42,

解得：x=4土不，

"：x<4,

?■x—4—5/7,

即BC長為4-"

【點撥】本題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折變換，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三

角形的判定等知識，運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想.

19.(1)8(4,0)

(2)CD=4^

⑶滿足條件的f的值為遞或4石.

3

【解析】

【分析】

(1)由題意易得04=12,0。=46，設3優(yōu),0),則有O8="BC=?,然后根據(jù)勾股定理

可求解.

(2)如圖，在CE上截取CK,使得CK=C/，可得等邊△CFK,連接。凡證明

KCDF名AKEF(SAS)可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：①如圖，當NCBG=90°時，設BG交，軸于證明ACFZ注AMGF(A4S),

構(gòu)建方程即可解決問題.②當NCG5=90。時，點尸與點C重:合，E為AC的中點，可得

t=4也,此時G與0重合.

(1)

解：?.?A(-12,0),C(0,4A/3),

0A=12,OC=4g,

設8他0),

?；NC4O=N8CO=30°,

OB=b,BC=2b,

在RfA80c中，由勾股定理可得：/+卜6)2=4/，

解得：b=4,

???8(4,0).

(2)

解：如圖，在CE上截取CK,使得CK=CF,可得等邊ACT火，連接。尸,

,;XCFK,AD/方都是等邊三角形，

.-.ZCFK=ZDFE=60°,CF=FK,DF=EF,

/DFK為NCFK,NDEE的公共角，

ZCFD=ZKFE,

:.&CDF之莊EF(SAS),

:.CD=KE,

山題意得AE=O尸=f，則CF=CK=4b-f,AC=2OC=8G，

:.KE=AC-CK-AE=8￡-(4yfi-t)-t=4yli,

.-.CD=4y/3.

(3)

解：①如圖2中，當NCBG=90。時，連接FG,設BG交V軸于M.

由(1)可知：03=4,ZOBC=90°-ZBCO=60°,

Z.OBM=90°-ZOBC=30°,

OB=-J3OM=4,

n473

3

??FD=FG,ZFCD=NfMG=120°,ZEFD=ZEFG=Of,

.?.Z.CDF+120。+/CFD=180°,Z.CFD+120°+ZMFG=180°,

:.ZMFG=4CDF,

:.\CFD^\MGF（AAS）,

:.CD=FM,

：.CD=FM=t+—=^，

3

873

/.t=----；

3

②當NCG3=90。時，點尸與點。重合，E為AC的中點，可得1=4石，此時G與O重合，

綜上所述，滿足條件的f的值為述或46.

3

【點撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了坐標與圖形，含30度直角三角形的性質(zhì)，二次

根式的運算，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

20.（l）A（0,10）,5（10,0）

_/50-10r（0<r<5）

（2）S=[10/-50（z>5）

20>/5

⑶了

【解析】

【分析】

（I）根據(jù)。4=03,4*8=50,利用三角形面積公式求解即可；

（2）根據(jù)題意可知，08=10,當「=5時一，A/WM不存在，繼而分類討論，根據(jù)三角形面

積公式進行計算即可；

（3）設==尸，根據(jù)對稱性，以及三角形的外角性質(zhì)，導角可得

ZNBE=ZNEB,根據(jù)等角對等邊可得BN=NE,設BN=NE=a,在RtdiNM中,

+MW2=M02建立方程求得a,進而即可求得MN的長.

⑴

OA-OB,S^AOB=50,

1,

.-.-AO2=50

2

解得40=80=10（負值舍去）

A（0,10）,B（10,0）

（2）

,??M從點。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線08運動，連結(jié)A例.設泌的面

積為S,

OM=2t

-.OB=\0,當f=5時，例不存在，

:.t^5

當0<f<5時，S==S^o-S^AMO=50-1xAOx（9M-50-1Or

當f>5H寸，S=S;\BM=-S.。=JxAOxOM-50=10—50

f50-10f（0<r<5）

"6-[10r-50（f>5）

（3）

如圖3,連接BE,

???點運動到線段OB的延長線上時,

:.t>5

??,S=10r-50=50

則r=」0

,\OM=2t=20

AM=yjACP+OM2=1M

BHLAM

:.NBHM=90°

在中，BM=OM-08=20-10=10

?：S=-BMxOA=AMxBH

AAMW2

BMxAQ_10xlQ

BH==2x/5

AM10x/5

HM==4>/5

?：AO=OB

.?.△AO3是等腰直角三角形

:.ZABO=45°

設NAM3=a,NMA3=尸

???ZABO=ZBAM+ZAMB=45°

.?.a+/7=45。

對稱

/./BMN=a,NBEN=0

在△//胸中，4HMN=2a

???N/WM=90?！?a=2/

又AHNM=/NBE+/NEB

ZNBE=/NEB=0

??.BN=NE

設BN=NE=a

:.MN=ME-NE=MA-ci=\*-