專題22極值點偏移問題

專題22極值點偏移問題1．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當時，恰好存在一條過原點的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個根，（），求證：．【解析】（1）當時，，設直線與的切點為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，故切線斜率為1，則切線方程為.又，，設直線與的切點為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，又切線斜率為1，則；（2）當時，，則由題可得有兩個根，令，則可得方程有兩個根，則.令，，則，.注意到，則構(gòu)造函數(shù)，.因，則在上單調(diào)遞增，得.故命題得證.2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以成立，等價于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實數(shù)的取值范圍為.（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數(shù)根.令，則，當時，解得.所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因為，當時，，當時，.且時，.所以，且.因為是方程的2個不同實數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因為，，因此要證，只需證.因為，所以只需證，即證.因為，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當時，成立，命題得證.【點睛】極值點偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.3．（2023·遼寧阜新·校考模擬預測）已知函數(shù)(1)若時，求的最值；(2)若函數(shù)，且為的兩個極值點，證明：【解析】（1），，，，所以當單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.所以在處有唯一極小值，即最小值，為，無極大值，即無最大值.（2）證明：，令因為，所以單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，所以.因為為的兩個極值點，所以，且.所以在、，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減；因為，則，則，設，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，因為在，單調(diào)遞減，所以.所以要證，只需證，即，令，令.所以在單調(diào)遞增，，所以在單調(diào)遞增，，所以，即.4．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；時，令得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：時，由（1）知至多有一個零點.時，由（1）知當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，即，故沒有零點；③當時，即，又，由（1）知在上有一個零點.又，由（1）知在有一個零點，所以在上有兩個零點，的取值范圍為不妨設，則，且，令，則，由于（且僅當?shù)忍柍闪ⅲ援敃r，在單調(diào)遞減，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上單調(diào)遞增，所以即.5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）設函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】（1）解：由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當時，則，所以在上單增，，此時對恒成立，符合題意；②當時，，，故存在使得，當時，，則單調(diào)遞減，此時，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設，，則，整理得.于是，即.6．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？寄M預測）已知函數(shù).(1)若有唯一零點，設滿足條件的值為與證明：①與互為相反數(shù)；②；(2)設.若存在兩個不同的極值點、，證明.參考數(shù)據(jù)：，【解析】（1）若，則，此時無零點，舍.故，，令，因為，故在上有且只有一個零點，若，則，這與矛盾，故.且時，，當，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，下證：當時，有.證明：當時，成立，設，則，故在上為減函數(shù)，故即，故，故當時且.當時，若，則恒成立，而當時，有，設，則，，故當時，即：當時，有即.當時，，由時的討論可得：若時，有，故成立.而即時，有成立.因為僅有一個零點，故，所以且，故，整理得到，化簡得到：，令，則，其中.設，則，故在上均為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點，而，故在上有且只有一個零點，故在有且只有兩個零點，且它們互為倒數(shù)，故在有且只有兩個零點，且即，其中即.設函數(shù)零點為時對應的參數(shù)值為，函數(shù)零點為時對應的參數(shù)值為，則，且，故，故即，但，故，故，故互為相反數(shù).又，其中，而在為減函數(shù)，故，同理，故.（2），設，故為的兩個不同的零點，故，故，故，不妨設，則，若，則，故為上的增函數(shù)，故至多一個零點，與題設矛盾，故.設，則，故在上為增函數(shù)，故，即任意，恒成立，故對任意的恒成立，而，故，故.7．（2023·安徽滁州·校考二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個不相同的零點，設的導函數(shù)為.證明：.【解析】（1）的定義域為，且，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知：當時，在上單調(diào)遞增，故至多有一個零點，不合要求，故，要想有兩個不相同的零點，則，解得：，，故要證，即證，即證：，因為在上單調(diào)遞增，所以只需證，不妨設，兩式相減得：，變形為，下面證明在上成立，只需證，即，令，即證，構(gòu)造，，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，所以，，故，即，所以，，證畢.8．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）已知，(1)不等式對任意恒成立，求的取值范圍；(2)當有兩個極值點時，求證：.【解析】（1）方法一：當時，不等式兩邊同除以得：，，記，則，①當即時，則，所以在上遞增，滿足要求，②當時，則在上遞增，滿足要求③當時，令得，所以在上遞減，與題設不符，舍去，綜上，的取值范圍為；方法二：化為，，記，則①當時，由基本不等式可知：則，當且僅當時取等，所以在上遞增，滿足要求；②當時，令得，所以在上遞減，此時與題設不符綜上，的取值范圍為；（2）定義域為，，令得，由題意，是方程的兩個不等實根，記，則，令得：，令，，故在上遞增，在上遞減，因為，又，且當時，恒成立，所以，則，由（1）取，則時，，又代入，并整理得，，同理，，所以.9．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)當時，證明；(2)若存在極值點，且對任意滿足的，都有，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，，定義域為，設，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，，當且僅當時等號成立，所以，且等號不同時成立，所以；（2）函數(shù)，，若存在極值點，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，不妨設，若，則；若，由可得，則，所以，即對恒成立，令，則，則，設，則，，令，，則，，令，則，令，則，當時，令，則，設，所以，所以，所以當時，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，，符合題意；當時，，存在，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，，不符合題意；所以，由單調(diào)遞增可得.10．（2023·天津河東·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且）．(1)，求函數(shù)在處的切線方程．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)有兩個零點，且，證明：．【解析】（1）當時，，所以.，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域為(0，+∞)，.當a<0時，恒成立，所以在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當a>0時，.在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.（3）當，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意可得：.由及得：.欲證x1+x2>2e，只要x1>2ex2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)=0，只要證明f(2ex2)>0即可.由得.所以令則，則g(t)在(e，2e)上是遞增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2ex2)>0.綜上x1+x2>2e.11．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．(1)當時，若函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)當時，若函數(shù)有兩個極值點，，現(xiàn)有如下三個命題：①；②；③；請從①②③中任選一個進行證明．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【解析】（1）當時，，當時，因為，所以此時不合題意；當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實數(shù)b的取值范圍為．(2)當時，，，令，則，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以有兩個零點，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，所以，令得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，因為有兩個零點，所以，則，設，因為，，則，因為，所以，，則，取對數(shù)得，令，，則，即①令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，亦即，因為，，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，因為，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡整理得，即，故③成立．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．【解析】（1）由，得，設，則，，因為，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因為，所以，，，所以a的取值范圍是．(2)證明：不妨設，由（1）知，則，，，又在上單調(diào)遞增，所以等價于，即．設，則．設，則，設，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又因為，，，所以存在，使得，當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因為，，所以當時，，當時，，所以當時，，單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即原命題得證．13．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)(1)求證：當時，；(2)當方程有兩個不等實數(shù)根時，求證：【解析】（1）證明：令，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.(2)證明：由，得，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.

因為方程有兩個不等實根，所以.不妨設.由（1）知，當時，；當時，.方程可化為.所以，整理得.①同理由，整理得.②由①②，得.又因為所以.法二：由，得，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.因為方程有兩個不等實根，所以.不妨設.要證，只要證，只要證：.因為在上單調(diào)遞增，只要證：.令，只要證，恒成立.因為，令，則，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故原結(jié)論得證.14．（2023·天津·統(tǒng)考二模）設函數(shù)為的導函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點的個數(shù)；(3)若有兩個極值點且，證明：.【解析】（1）因為，所以．

即，，則．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）得，．當時，，則在上無零點．當時，，則在上有一個零點．當時，，因為，，，所以，，，故在上有兩個零點．綜上，當時，在上無零點；當時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點．（3）證明：由（2）及有兩個極值點，且，可得，在上有兩個零點，且．所以，

兩式相減得，即．因為，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．15．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，證明：；(2)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍，并證明：．【解析】（1）當時，，定義域為令，則當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，得；（2）因為有兩個不同的零點，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；由當時，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；當時，在上有，在上有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設令則當時，，則在上單調(diào)遞增所以故，因為所以，又，則，又在上單調(diào)遞減，所以，則．16．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若（為的導函數(shù)），方程有兩個不等實根、，求證：．【解析】（1）因為，則，所以，，，所以，曲線在點處的切線方程為，即.(2)證明：因為，，所以．因為為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由方程有兩個不等實根、，則可設，欲證，即證，即證，而，即，即，設，其中，則，設，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故得證．17．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點個數(shù)；(2)當時，設函數(shù)的兩個極值點為、且，求證：.【解析】（1）由可得，令，其中，則函數(shù)的零點個數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點個數(shù)，，令可得，列表如下：減極小值增如下圖所示：當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.（2）證明：，其中，所以，，由已知可得，上述兩個等式作差得，要證，即證，因為，設函數(shù)的圖象交軸的正半軸于點，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，設函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點，函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點，因為，所以，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，聯(lián)立可得，即點，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，對任意的，，當且僅當時等號成立，由圖可知，則，所以，，因為，可得，函數(shù)在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即點，因為，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，對任意的，，當且僅當時，等號成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.18．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知函