專(zhuān)題44任意角(原卷版)

專(zhuān)題44任意角1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線的起始位置OA，(2)終邊：射線的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．角的分類(lèi)按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類(lèi)：名稱(chēng)定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角4．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過(guò)原點(diǎn)的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法：確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法：已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．5．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．(5)終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．提示：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.題型一角的有關(guān)概念的判斷1．下列說(shuō)法正確的是()A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是負(fù)角D．小于90°的角都是銳角2．給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．3．下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③鈍角比第三象限角??；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào))．4．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B．鈍角不一定是第二象限角C．終邊與始邊重合的角是零角D．鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B∪C?C6．設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．BCAB．BACC．D(A∩C) D．C∩D＝B7．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是負(fù)角C．60°角與600°角是終邊相同的角D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60°9．下列命題正確的是()A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角10．若將鐘表?yè)苈?0分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)了______度，分針轉(zhuǎn)了________度．11．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用1．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是________．2．下列各個(gè)角中與2019°終邊相同的是()A．－149°B．679°C．319° D．219°3．下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．在－360°～0°范圍內(nèi)與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°7．與600°角終邊相同的角可表示為()A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，則與角α終邊相同的最小正角是________．9．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．10．若α，β兩角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，且α＝－120°，則β＝________.11．寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．12．在－360°～360°之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.16．在與角1030°終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角．17．在與530°終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在與角10030°終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角β.(1)最大的負(fù)角和最小的正角；(2)[360°，720°)內(nèi)的角．19．已知角β為以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所成的角．(1)寫(xiě)出角β的集合S；(2)寫(xiě)出S中適合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有幾種終邊不相同的角？(2)若－360°<α<360°，則集合中的α共有多少個(gè)？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問(wèn)題：(1)集合M有幾類(lèi)終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)寫(xiě)出集合M中的第二象限角β的一般表達(dá)式．22．若角α與β的終邊在一條直線上，則α與β的關(guān)系是__________．23．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊在()A．x軸的非負(fù)半軸 B．y軸的非負(fù)半軸C．x軸的非正半軸 D．y軸的非正半軸24．已知角α的終邊與角－690°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α＝___________.25．角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α與β的關(guān)系為()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α滿(mǎn)足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.27．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大?。?8．終邊在第一或第三象限的角的集合是________．29．終邊在直線y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為_(kāi)_______．31.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng)，兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過(guò)α角，黑螞蟻每秒爬過(guò)β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14s時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2s時(shí)均位于第二象限，求α，β的值．題型三象限角的判定(任意角終邊位置的確定和表示)1．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α2．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．3．若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上，則角α－150°的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．y軸的正半軸上 D．x軸的負(fù)半軸上4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限5．若β是第二象限角，則270°＋β是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角6．若α是第二象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限的角？7．已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．若α是第一象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限角？9．(1)若α為第三象限角，試判斷90°－α的終邊所在的象限；(2)若α為第四象限角，試判斷eq\f(α,2)的終邊所在的象限．10．若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角11．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角12．已知θ為第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，則角eq\f(α,3)的終邊可能落在________．(填寫(xiě)所有正確的序號(hào))①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限題型四區(qū)域角的表示1．已知，如圖所示．分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．2．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么α∈________.4．如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}5．寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合．6．寫(xiě)出角的終邊在圖中陰影區(qū)域的角的集合(包括邊界)．7．寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．8．如圖，分別寫(xiě)出適合下列條件的角的