專題03相等關(guān)系與不等關(guān)系計(jì)數(shù)原理

專題3相等關(guān)系與不等關(guān)系，計(jì)數(shù)原理1.高考試題不等式的考查有兩類，一是涉及不等式的性質(zhì)、不等式的解法、絕對(duì)值不等式；二是基本不等式及其應(yīng)用等，一般不獨(dú)立命題，而是以工具的形式，與充要條件、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等綜合考查.2.排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，往往是排列組合小綜合題．3.前幾年，二項(xiàng)展開式定理的問題是高考命題熱點(diǎn)之一.關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.預(yù)測(cè)2020年獨(dú)立考查的內(nèi)容將是不等式的性質(zhì)或基本不等式的應(yīng)用問題，不等式的解法將與集合、函數(shù)等其它知識(shí)點(diǎn)綜合考查.由于文科不學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理這部分內(nèi)容，2020年可能通過簡(jiǎn)單古典概率問題考查，如果單獨(dú)通過客觀題考查計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用等，難度也會(huì)降低些.有可能在主觀題中考查這部分能內(nèi)容的“工具性”.第一部分相等關(guān)系與不等關(guān)系一、單選題1．（2020屆山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（）.A．18 B．16 C．8 D．10【答案】A【解析】解：正數(shù)，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為18．故選：．2．（2020·2020屆山東省淄博市高三二模）在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A．3．（2020·2020屆山東省淄博市高三二模）已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．【答案】A【解析】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A4．（2020屆山東省濰坊市高三下學(xué)期開學(xué)考試）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，可得圓的半徑，又，則，再根據(jù)題圖知，即．故本題答案選．5．（2020屆山東省高考模擬）甲，乙，丙，丁四名學(xué)生，僅有一人閱讀了語文老師推薦的一篇文章.當(dāng)它們被問到誰閱讀了該篇文章時(shí)，甲說：“丙或丁閱讀了”；乙說：“丙閱讀了”；丙說：“甲和丁都沒有閱讀”；丁說：“乙閱讀了”.假設(shè)這四名學(xué)生中只有兩人說的是對(duì)的，那么讀了該篇文章的學(xué)生是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】若甲閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙、丁說的都不對(duì)，不滿足題意；若乙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙說的都不對(duì)，丙、丁都正確；滿足題意；若丙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙說的都對(duì)，丁說的不對(duì)，不滿足題意；若丁閱讀了語文老師推薦的文章，則甲說的對(duì)，乙、丙、丁說的都不對(duì)，不滿足題意；故選B6．（2020·2020屆山東省煙臺(tái)市高三模擬）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C7．（2020屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）甲、乙、丙三位同學(xué)獲得某項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)的前三名，但具體名次未知．3人作出如下預(yù)測(cè)：甲說：我不是第三名；乙說：我是第三名；丙說：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的預(yù)測(cè)結(jié)果有且只有一個(gè)正確，由此判斷獲得第三名的是A．甲 B．乙 C．丙 D．無法預(yù)測(cè)【答案】A【解析】若甲的預(yù)測(cè)正確，乙、丙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則丙是第一名，甲不是第三名，則甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的預(yù)測(cè)正確，甲、丙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則乙是第三名，甲的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，那么甲是第三名，矛盾！若丙的預(yù)測(cè)正確，則甲、乙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，則乙是第二名。因此，第三名是甲，故選：A。8．（2020·山東高三模擬）對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意知，與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.9．（2020屆山東省濟(jì)寧市高三3月月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，的最小值是當(dāng)，即時(shí)，的值最大的最大值是：的最大值為.故選：C10．（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三一輪檢測(cè)）設(shè)，，是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是與的等差中項(xiàng)，∴，即，∴．所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為9．11．（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三二輪檢測(cè)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為()A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，結(jié)合的面積為，得到,得到，所以，故選D．12．（2020屆山東省淄博市部分學(xué)校高三3月檢測(cè)）已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.13．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，的最小值是當(dāng)，即時(shí)，的值最大的最大值是：的最大值為.故選：C二、填空題14．（2020屆山東省淄博市部分學(xué)校高三3月檢測(cè)）已知，且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】由可知，且：，因?yàn)閷?duì)于任意，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值為.15．（2020屆山東省濰坊市高三下學(xué)期開學(xué)考試）甲、乙、丙三位同學(xué)中有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說：丙沒有申請(qǐng)；乙說：甲申請(qǐng)了；丙說：甲說對(duì)了.如果這三位同學(xué)中只有一人說的是假話，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是_____________.【答案】乙【解析】假設(shè)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是甲，則甲和丙說的都是假話，乙說的是真話，不滿足題意；假設(shè)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是乙，則甲和丙說的都是真話，乙說的是假話，滿足題意；假設(shè)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是丙，則甲、乙、丙說的都是假話，不滿足題意。故申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是乙。故答案為：乙16．（2020屆山東省高考模擬）已知函數(shù)，若，則不等式的解集為__________，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得：，當(dāng)a=1時(shí)，，可得：（1）當(dāng)時(shí)，，可得；（2）當(dāng)時(shí)，，可得，綜合可得的解集為；由，只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，同理，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故可得的取值范圍是第二部分計(jì)數(shù)原理一、單選題1．（2020屆山東省菏澤一中高三2月月考）在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于，對(duì)于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項(xiàng)的系數(shù)是C52（﹣1）2＝10故選．2．（2020屆山東省淄博市部分學(xué)校高三3月檢測(cè)）二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以，故選C．3．（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式．孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)(p，p+2)稱為孿生素?cái)?shù)．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，根據(jù)素?cái)?shù)對(duì)(p，p+2)稱為孿生素?cái)?shù)，則由不超過30的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)對(duì)為(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4組，能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率為，故選D4．（2020屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A．210 B．180 C．160 D．175【答案】B【解析】解：展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開式中共有11項(xiàng)，n＝10；∴展開式的通項(xiàng)公式為令，得，常數(shù)項(xiàng)是，故選B．二、多選題5．（2020屆山東省煙臺(tái)市高三模擬）已知的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BCD【解析】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時(shí),,所以,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式系數(shù)和為,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A錯(cuò)誤；由可知展開式共有11項(xiàng),中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因?yàn)榕c的系數(shù)均為1,則該二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故B正確；若展開式中存在常數(shù)項(xiàng),由通項(xiàng)可得,解得,故C正確；由通項(xiàng)可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD三、填空題6．（2020屆山東省濟(jì)寧市高三3月月考）的展開式中，的系數(shù)為__________.【答案】5【解析】要求的系數(shù)，則展開式中項(xiàng)與相乘，項(xiàng)與1相乘，所以展開式中項(xiàng)為與相乘得到，展開式中項(xiàng)為，與1相乘得到，所以的系數(shù)為7．（2020屆山東省淄博市部分學(xué)校高三3月檢測(cè)）從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.8．（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三一輪檢測(cè)）在的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是．【答案】7【解析】本題考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)，利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)來解題.根據(jù)題意可得，，令，可得常數(shù)項(xiàng)為7.9．（2020·山東高三模擬）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】160【解析】常數(shù)項(xiàng)為.9．（2020·2020屆山東省淄博市高三二模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________________.【答案】【解析】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.10．（2020·山東滕州市第一中學(xué)高三3月模擬）設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+aa，除最后兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都有13的倍數(shù)52，故由題意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，故答案為12．11．（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）在1x【答案】9【解析】二項(xiàng)式x+15的展開式的通項(xiàng)為∴1x-1x故答案為9．12．（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三二輪檢測(cè)）已知的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為27，則實(shí)數(shù)______，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是______.【答案】223；【解析】已知的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為27,將x=1代入表達(dá)式得到展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：(1).2；(2).23.13．（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三二輪檢測(cè)）“中國夢(mèng)”的英文翻譯為“”，其中又可以簡(jiǎn)寫為，從“中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有______種.【答案】600【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先從其他5個(gè)字母中任取4個(gè)，有（種）選法，再將“”看成一個(gè)整體，與選出的4個(gè)字母全排列，有（種）情況，則不同的排列有（種）.故答案為：60014．