專題09重疊問題（解析）2

20222023學年小學三年級思維拓展舉一反三精編講義專題09重疊問題知識精講知識精講專題簡析：三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發(fā)一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發(fā)下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數(shù)學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。解答重疊問題要用到數(shù)學中的一個重要原理——包含與排除原理，即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。典例分析典例分析【典例分析01】六一兒童節(jié)，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？【思路引導】根據(jù)題意，畫出下圖：從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第8面，從后數(shù)起是第10面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復了一次，所以這行彩旗共有8＋10－1=17面?！镜淅治?2】同學們排隊做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個，從右數(shù)起是第3個，從前數(shù)起是第5個，從后數(shù)起是第6個。做操的同學共有多少個？【思路引導】根據(jù)題意，畫出下圖：由圖可看出：小明的位置從左數(shù)第4個，右數(shù)第3個，說明橫行有4＋3－1=6個人；從前數(shù)第5個，從后數(shù)第6個，說明豎行有5＋6－1=10人，所以做操的同學共有：6×10=60人?！镜淅治?3】把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長多少厘米？【思路引導】把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長度是120＋16=136厘米，每塊木板的長度是136÷2=68厘米?！镜淅治?4】一次數(shù)學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？【思路引導】根據(jù)題意，畫出下圖：圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數(shù)，把做第一道題和做對第二道題的人數(shù)加起來得21＋18=39人，這39人比全班總人數(shù)36多出了39－36=3人，這多出的3人既在做對第一題的人數(shù)中算過，也在做對第二道題的人數(shù)中算過，即表示兩道題都做對的人數(shù)?！镜淅治?15】三（1）班訂《數(shù)學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三（1）班有學生多少人？【思路引導】根據(jù)題意，畫出下圖：從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數(shù)學報》的32人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報》的30人內(nèi)，重復算了一次，所以要算出全班人數(shù)，必須從32＋30=62人中去掉被重復算過的10人。所以全班人數(shù)應是62－10=52人。真題演練真題演練一、選擇題(共6題；共18分)1．（3分）把三塊一樣長的木板，釘在一起（如圖）．每塊木板的長10分米，中間釘在一起重疊的部分長2分米，你知道現(xiàn)在這塊長木板的長是（）分米．A．30 B．28 C．26 D．22【答案】C【規(guī)范解答】解：10×3﹣2×2，=30﹣4，=26（分米）；答：現(xiàn)在這塊長木板的長是26分米．故選：C．【思路引導】通過觀察與分析，三塊木板兩個地方重疊，總共重疊了2×2=4分米，所以現(xiàn)在這塊長木板的長是10×3﹣4，計算即可．此題屬于重疊問題，解答的關鍵是正確求出重疊部分的長度，不能誤認為兩次重疊部分是8分米．2．（3分）有兩張一樣長的紙條粘貼起來，成為長30厘米的紙條，粘貼部分長10厘米，求這兩張紙條各長幾厘米？（）A．20 B．15 C．30【答案】A【規(guī)范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案應選：A．【思路引導】要求這兩張紙條各長幾厘米，如果粘貼的是兩張紙條的寬邊，粘貼部分是10厘米，粘貼后是30厘米，則原來的長度是（30+10）÷2=20（厘米）.3．（3分）有兩張一樣長的紙條粘貼起來，成為長30厘米的紙條，粘貼部分長10厘米，求這兩張紙條各長幾厘米？（）A．20 B．15【答案】A【規(guī)范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案應選：A．【思路引導】要求這兩張紙條各長幾厘米，如果粘貼的是兩張紙條的寬邊，粘貼部分是10厘米，粘貼后是30厘米，則原來的長度是（30+10）÷2=20（厘米）.4．（3分）六個正方形重疊（如圖）連接點正好是正方形的中心．正方形邊長是a，這個圖形的周長是（）A．24a B．14a C．12a D．18a【答案】B【規(guī)范解答】解：3a+3a+2a×4=14a，答：這個圖形的周長是14a；故選：B．【思路引導】這六個正方形重疊在一起，第一個和最后一個正方形的長度為3a+3a，中間4個正方形的長度是2a×4=8a，把這些長度加起來就是這個圖形的周長．5．（3分）（2019三上·滿洲里期末）三（1）班喜歡讀書的有28人，喜歡運動的有31人，既喜歡讀書又喜歡運動的有12人，三（1）班共有（）人．（每人至少選一項喜歡的）A．59 B．35 C．47【答案】C【規(guī)范解答】解：28+31﹣12＝59﹣12＝47（人）所以三（1）班一共有47人。故答案為：C。

【思路引導】根據(jù)“喜歡讀書的有28人，喜歡運動的有31人”可得兩者的總人數(shù)：28+31＝59人，這其中把兩種都喜歡的人數(shù)多計算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得三（1）班一共有：59﹣12＝47（人），據(jù)此解答即可。6．（3分）一晝夜鐘面上的時針和分針重疊（）次．A．23 B．12 C．20 D．13【答案】A【規(guī)范解答】解：一晝夜時針轉2圈；時針每轉1圈都會被分針追上12次；去掉開始時的重疊就是23次；故答案為：A．【思路引導】因為時針和分針一小時重疊一次，在最后一次還是回到原來的位置．二、填空題(共9題；共18分)7．（2分）（2019三上·松桃期末）三（1）班期中檢測，數(shù)學成績優(yōu)秀的有34人，語文成績優(yōu)秀的有37人，語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有28人，至少一科成績優(yōu)秀的一共有人?！敬鸢浮?5【規(guī)范解答】34+37－28×2

=71－56

=15（人）

故答案為：15。

【思路引導】數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)+語文成績優(yōu)秀的人數(shù)－語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的人數(shù)×2=至少一科成績優(yōu)秀的人數(shù)。8．（2分）（2020三上·勃利期末）三年級有學生100人，喜歡數(shù)學的有72人，喜歡語文的有53人．這兩科都喜歡的有人．【答案】25【規(guī)范解答】解：72+53﹣100＝125﹣100＝25（人）

故答案為：25。

【思路引導】兩科都喜歡人數(shù)=喜歡數(shù)學人數(shù)+喜歡語文人數(shù)三年級總人數(shù)。9．（2分）（2019三上·西湖期中）兩塊木板各長70厘米，如圖所示，釘成一塊長木板，中間重合部分是20厘米，這塊釘在一起的長木板長厘米?！敬鸢浮?20【規(guī)范解答】解：70+7020

=14020

=120（厘米）

所以這塊釘在一起的長木板長120厘米。

故答案為：120?！舅悸芬龑А窟@塊釘在一起的長木板的長度=一塊木板的長度+另一塊木板的長度中間重合部分的長度，代入數(shù)值計算即可。10．（2分）（2019三上·營山期末）同學們到動物園玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有28人，兩個館都參觀的有16人。去動物園的一共有人。【答案】37【規(guī)范解答】25+2816=37（人）

故答案為：37。

【思路引導】去動物園一共有的人數(shù)=參加熊貓館的人數(shù)+參加大象館的人數(shù)兩個館都參觀的人數(shù)。11．（2分）（2019三上·宜昌期末）三（3）班參加書法組的有25人，參加美術組的有22人，兩個組都參加的有6人。三（3）班參加書法組和美術組的一共有人?！敬鸢浮?1【規(guī)范解答】25+226=41（人）。

故答案為：41.

【思路引導】參加書法組的人數(shù)+參加美術組的人數(shù)兩個組都參加的人數(shù)=參加書法組和美術組的總人數(shù)。12．（2分）有10張長3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上：那么，這10張紙片所蓋住桌面上的面積是平方厘米．【答案】24【規(guī)范解答】解：3×2+2×（10﹣1）=6+2×9=6+18=24（平方厘米）答：這10張紙片所蓋住桌面上的面積是24平方厘米．故答案為：24．【思路引導】第一張紙蓋住桌子的面積是3×2=6平方厘米，第二張紙蓋住的就是2×（3﹣2）=2平方厘米，第三張紙蓋住的也是2×（3﹣2）=2平方厘米，以后每張紙蓋住的面積都是2平方厘米，由此即可得出這10張紙所覆蓋的面積為：第一張紙覆蓋的面積+9個2平方厘米的面積．13．（2分）用10張同樣長的紙條接成一條長31厘米的紙帶，如果每個接頭都重疊1厘米，那么每張紙條長厘米．【答案】4【規(guī)范解答】解：（31+9）÷10=4（厘米）．故答案為：4．【思路引導】由題意得，共有9個接頭，即重疊了9次，據(jù)此可列式解答．14．（2分）六個正方形（如圖）重疊，連接點正好是正方形的中點，正方形邊長是a，則圖的周長是．【答案】14a【規(guī)范解答】解：中間的四個正方形，只剩下兩條邊，它們的周長為：（6﹣2）×2a，=4×2a，=8a；兩端的兩個正方形的周長是：3a×2=6a．圖的周長是：8a+6a=14a．故答案為：14a．【思路引導】因為重疊在中間的正方形，只剩下兩條邊的長度是2a，兩端的剩下三條邊就是3a．據(jù)此求得周長即可．15．（2分）某門診部統(tǒng)計某一天掛號的病人，內(nèi)科150人，外科92人，其中內(nèi)、外兩科都求診的18人，這一天共來了個病人．【答案】224【規(guī)范解答】解：這一天共來的病人：150+92﹣18，=242﹣18，=224（人）；故答案為：224．【思路引導】先畫出示意圖，再找出重復部分（內(nèi)、外兩科都求診的人數(shù)），重復了兩次，來診病人總數(shù)等于來診內(nèi)科的人數(shù)和來診外科的人數(shù)和減去一個內(nèi)、外兩科都求診的人數(shù)．三、解答題(共9題；共64分)16．（6分）學校組織文藝演出，東東的座位從左數(shù)是第6個，從右數(shù)是第4個，從前數(shù)是第5個，從后數(shù)是第5人，這個會場有多少人？【答案】解：（6+41）×（5+51）=81（人）答：會場有81人?！舅悸芬龑А繒龅娜藬?shù)=每排的座位數(shù)×會場座位的排數(shù)。

在計算每排的座位數(shù)和會場的排數(shù)時減去1，因為數(shù)的時候數(shù)了兩次。17．（6分）把2張長度都是10厘米的彩帶紙重疊粘貼在一起，重疊部分長多少厘米？如果3張紙同樣重疊，重疊后的彩紙一共有多長？【答案】解：10+1018=2（厘米）18+102=26（厘米）答：重疊后的彩帶一共有26厘米?！舅悸芬龑А績蓷l彩帶重疊部分的長度=兩張彩紙的總長度兩張彩帶粘貼在一起的長度；

三張彩帶重疊后彩紙的總長度=兩張彩帶粘貼在一起的長度+彩帶對長度兩條彩帶重疊部分的長度。18．（10分）（2019三上·南潯期末）如下圖所示，把一些長8厘米的長方形紙條連接起來，每兩張紙條的粘合處都是2厘米。（1）（5分）照這樣連接，6張紙條連起來的長是多少厘米？（2）（5分）連接后紙條長度為62厘米時，需要多少張紙條？【答案】（1）解：82=6（厘米）8+6+6+6+6+6=38（厘米）答：6張紙條連起來的長是38厘米。（2）解：628=54（厘米）54÷6=9（張）9+1=10（張）答：需要10張紙條?！舅悸芬龑А浚?）觀察圖可知，從第2張紙條開始，每次增加6厘米，用原來的長度+增加的長度=紙條連接起來的總長度，據(jù)此列式解答；

（2）根據(jù)題意可知，用連接后的紙條長度8=剩下的總長度，然后用剩下的總長度÷每個小長方形增加的長度=紙的張數(shù)，然后加1即可得到總張數(shù)，據(jù)此解答。19．（7分）小玲有一根長4厘米5毫米長的彩帶，小蘭也有一條同樣長的彩帶。把兩根彩帶用膠水粘成一條彩帶后有多長？（接頭處長1厘米）小玲的彩帶：小蘭的彩帶：【答案】解：4厘米5毫米+4厘米5毫米1厘米=8厘米答：把兩根彩帶用膠水粘成一條彩帶后有8厘米?！舅悸芬龑А啃×岵蕩чL度+小蘭彩帶長度接頭處長度=粘成一條彩帶后的長度。毫米÷10=厘米。20．（7分）有一根繩子，連續(xù)對折3次，量得每折長4米，這根繩子長幾米？【答案】解：因為將繩子連續(xù)對折3次，所以總共是8折，繩子長是：4×8=32（米）；答：這根繩子長32米．【思路引導】因為將繩子折1次是2折，折2次是4折，折3次是8折，而在此題是連續(xù)對折3次，即總共是8折，每折是4米，根據(jù)整數(shù)乘法的意義，列式解答即可．21．（7分）桌面上放有四張大小不同的正方形紙片邊長分別為2，3，4，5，若分別取走邊長為2，3，4，5的正方形紙片中的一個，則剩下的三張紙片覆蓋的面積分別減少2，3，4，5，那么四張紙片覆蓋的面積是多少？【答案】解：如圖：四張紙的面積分別為4、9、16、25，每張紙片與其他紙片重疊部分的面積分別為2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3張紙片與第四張分別重疊，沒有三張重疊在一起的部分，重疊部分的面積是20，最大的正方形紙片與其他三張紙片都重疊，而其他三張紙片彼此都不重疊．也就是只存在兩兩重疊的情況，并且重疊的面積是20平方米．所以覆蓋面積用四張正方形紙片總面積減去20平方米，所以總的覆蓋面積為：4+9+16+25﹣20=34答：四張紙片覆蓋的面積是34．【思路引導】通過分析可知：四張紙的面積分別為4、9、16、25，每張紙片與其他紙片重疊部分的面積分別為2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3張紙片與第四張分別重疊，沒有三張重疊在一起的部分，重疊部分的面積是20，最大的正方形紙片與其他三張紙片都重疊，而其他三張紙片彼此都不重疊．也就是只存在兩兩重疊的情況，并且重疊的面積是20平方米．所以覆蓋面積用四張正方形紙片總面積減去20平方米，所以總的覆蓋面積為4+9+16+25﹣