第九章計(jì)數(shù)原理統(tǒng)計(jì)與概率（原卷版A3）

保密★啟用前第九章：計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．中國(guó)算力大會(huì)“算力中國(guó)”創(chuàng)新成果展區(qū)分為A區(qū)和B區(qū)兩大板塊.A區(qū)由最新數(shù)據(jù)中心產(chǎn)業(yè)圖譜和國(guó)家新型工業(yè)化示范基地組成，B區(qū)由算力筑基優(yōu)秀案例、算力賦能案例、算力網(wǎng)絡(luò)案例組成.若從該創(chuàng)新成果展區(qū)5個(gè)成果中，隨機(jī)抽取3個(gè)成果，則其中恰有2個(gè)成果均是來(lái)自于B區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．2．我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來(lái)近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯對(duì)一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為（

）（附：若，則，，）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.00143．作為惠民政策之一，新農(nóng)合是國(guó)家推出的一項(xiàng)新型農(nóng)村合作醫(yī)療保險(xiǎn)政策，極大地解決了農(nóng)村人看病難的問(wèn)題．為了檢測(cè)此項(xiàng)政策的落實(shí)情況，現(xiàn)對(duì)某地鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院隨機(jī)抽取100份住院記錄，作出頻率分布直方圖如下：

已知該醫(yī)院報(bào)銷(xiāo)政策為：花費(fèi)400元及以下的不予報(bào)銷(xiāo)；花費(fèi)超過(guò)400元不超過(guò)6000元的，超過(guò)400元的部分報(bào)銷(xiāo)65%；花費(fèi)在6000元以上的報(bào)銷(xiāo)所花費(fèi)費(fèi)用的80%．則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．B．若某病人住院花費(fèi)了4300元，則報(bào)銷(xiāo)后實(shí)際花費(fèi)為2235元C．根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)一個(gè)病人在該醫(yī)院報(bào)銷(xiāo)所花費(fèi)費(fèi)用為80%的概率為D．這100份花費(fèi)費(fèi)用的中位數(shù)是4205元4．甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．5．“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛(ài)好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛(ài)的中華文化傳承系列的第二課堂活動(dòng)課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個(gè)項(xiàng)目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種6．5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G的銷(xiāo)量也逐漸上升，某商城統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月的實(shí)際銷(xiāo)量，如下表所示：時(shí)間x12345銷(xiāo)售量y（千只）0.50.81.01.21.5若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)B．線性回歸方程中C．可以預(yù)測(cè)時(shí)該商場(chǎng)5G銷(xiāo)量約為1.72（千只）D．時(shí)，殘差為7．某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為，標(biāo)準(zhǔn)差為6，男員工的平均體重為，標(biāo)準(zhǔn)差為4.若樣本中有21名男員工，則女員工的人數(shù)為（

）A．28 B．35 C．39 D．488．某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，則取最大值時(shí)B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)分析，2022年10月份，我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)銷(xiāo)售了118.7萬(wàn)輛，市場(chǎng)占有率延續(xù)良好勢(shì)頭，份額超過(guò)50%.下圖是2021年1月份至2022年10月份這22個(gè)月我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)月度銷(xiāo)量及增速變化情況的統(tǒng)計(jì)圖，則（同比：和去年同期相比）（

）

A．2021年國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)月度平均銷(xiāo)量超過(guò)60萬(wàn)輛B．2022年前10個(gè)月國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)月度銷(xiāo)量的同比增長(zhǎng)率均為正數(shù)C．2022年前9個(gè)月國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)月度銷(xiāo)量的中位數(shù)為5月份的銷(xiāo)量數(shù)據(jù)D．2022年前10個(gè)月我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌乘用車(chē)月度銷(xiāo)量的極差超過(guò)58.7萬(wàn)輛10．已知多項(xiàng)式，則（

）A． B．C． D．11．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．12．麥克斯韋妖（Maxwell＇sdemon），是在物理學(xué)中假想的妖，能探測(cè)并控制單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，于1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時(shí)麥克斯韋意識(shí)到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量控制機(jī)制．但他無(wú)法清晰地說(shuō)明這種機(jī)制．他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)的微粒分配到一定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個(gè)雛形．可以簡(jiǎn)單的這樣描述，一個(gè)絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門(mén)”，容器中的空氣分子作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)向門(mén)上撞擊，“門(mén)”可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會(huì)比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動(dòng)熱機(jī)做功．這是第二類(lèi)永動(dòng)機(jī)的一個(gè)范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1，2，…n，且（，2，…n），定義X的信息熵，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．n=1時(shí)B．n=2時(shí)，若，則與正相關(guān)C．若，，D．若n=2m，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．身體質(zhì)量指數(shù)，也就是BMI指數(shù)，簡(jiǎn)稱體質(zhì)指數(shù)，是國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)．某校為了解該校學(xué)生的身體健康情況，從某班隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到這20名學(xué)生的BMI指數(shù)分別是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是．14．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.15．某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，記該同學(xué)的成績(jī)?yōu)槭录?，記該同學(xué)的成績(jī)?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；；．16．現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為．（用數(shù)字作答）解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．某商場(chǎng)在五一假期間開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為，第二關(guān)通過(guò)的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量，則；；.18．“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動(dòng)中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競(jìng)賽？19．為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)售情況，某機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量單位：萬(wàn)臺(tái)關(guān)于年份的線性回歸方程為，且銷(xiāo)量的方差，年份的方差為．(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)位購(gòu)車(chē)車(chē)主性別與購(gòu)車(chē)種類(lèi)情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)總計(jì)男性女性總計(jì)能否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與性別有關(guān)(3)在購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的車(chē)主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，記這人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：線性回歸方程：，其中，；相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng)；，其中．附表：20．在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國(guó)男足U23代表隊(duì)打出了中國(guó)男足在世界舞臺(tái)上的最好表現(xiàn)．球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)核心，來(lái)自沈陽(yáng)的陳濤入選了賽事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個(gè)階段．小組賽中，每個(gè)小組4支球隊(duì)，按照單循環(huán)賽制選出兩支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊(duì)逐隊(duì)廝殺，通過(guò)4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場(chǎng)記3分，打平一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)記0分，小組賽階段中國(guó)隊(duì)與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊(duì)分在同一組．首戰(zhàn)中中國(guó)隊(duì)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝了歐洲亞軍土耳其隊(duì)，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢(shì)．面對(duì)后兩場(chǎng)比賽的對(duì)手烏克蘭隊(duì)和巴拿馬隊(duì)，根據(jù)賽前球探報(bào)告分析，可以近似認(rèn)為后兩場(chǎng)比賽中國(guó)的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．中國(guó)隊(duì)三場(chǎng)小組賽之后的總積分為隨機(jī)變量X，求出其分布列和期望．(2)10號(hào)隊(duì)員陳濤作為中國(guó)隊(duì)的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對(duì)中國(guó)隊(duì)而言舉足輕重．過(guò)往數(shù)據(jù)表示，在所有陳濤出場(chǎng)并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中80%的場(chǎng)次，在所有陳濤沒(méi)有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中20%的場(chǎng)次，陳濤在其代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)的40場(chǎng)比賽中，有30場(chǎng)比賽完成了進(jìn)球或者助攻．在本屆比賽中，中國(guó)隊(duì)在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對(duì)陣世界足壇的傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)德國(guó)隊(duì)．已知在淘汰賽對(duì)陣德國(guó)隊(duì)的比賽中，陳濤代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)比賽，雖然經(jīng)過(guò)全隊(duì)不懈努力，仍然不敵強(qiáng)大的德國(guó)隊(duì)，若以過(guò)往的數(shù)據(jù)估計(jì)概率，請(qǐng)估計(jì)陳濤在本場(chǎng)比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率．21．第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?2．某疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血