第二十七章相似（單元培優(yōu)卷）

【高效培優(yōu)】2021—2022學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊輕松沖刺學(xué)神考霸必刷卷【重難易錯典題】第二十七章相似（單元培優(yōu)卷）（考試時間：90分鐘試卷滿分：120分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時90分鐘，滿分120分，本卷題型精選核心常考重難易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！選擇題：本題共10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2021·全國·九年級單元測試）已知＝k，則k＝（）A．2 B．1或2 C．1 D．﹣1或者2【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：當(dāng)x+y+z≠0時，則根據(jù)比例的等比性質(zhì)，＝＝＝2＝k，當(dāng)x+y+z＝0時，即x+y＝﹣z，則k＝﹣1，綜上所述；k＝﹣1或2，故選D．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國·九年級單元測試）若，則下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)直接判斷即可.【詳解】解：由，根據(jù)比例性質(zhì)，兩邊同時除以6，可得到，故選C.【點睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3．（2021·全國·九年級單元測試）已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個角分別為、，則另一個三角形的最小內(nèi)角是（）.A．B．C．D．不能確定【答案】C【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,求出這個三角形的第三個角,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì),即可得出另一個三角形的最小內(nèi)角.【詳解】解:這個三角形的第三個角為:180°－75°－60°=45°∵兩個三角形相似∴另一個三角形的最小內(nèi)角是45°故選C.【點睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和和相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解決此題的關(guān)鍵.4．（2021·全國·九年級單元測試）下列四條線段能成比例的是()A．a(chǎn)=4，b=6，c=5，d=10 B．a(chǎn)=，b=3，c=2，d=C．a(chǎn)=2，b=，c=，d= D．a(chǎn)=1，b=2，c=3，d=4【答案】C【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c:d.只要代入驗證即可.【詳解】解：A.4：6≠5：10，則a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B.：3≠2：，則a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；C.2：＝：，則a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；D.1：2≠3：4，則a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；【點睛】本題主要考查了成比例的定義，關(guān)鍵在于理解線段成比例時，各個線段的順序.5．（2021·山東青島·九年級單元測試）在和中，，，，如果的周長是，面積是，那么的周長、面積依次為A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)已知可證△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比為2，再根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方即可求△DEF的周長、面積．【詳解】解：在和中，，，，又，，且和的相似比為，相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，且的周長是，面積是，的周長為，面積為．故選A.【點睛】本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．6．（2021·全國全國·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問題．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴．故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)兩格點，，點C、D是線段與網(wǎng)格線的交點，則為A． B． C． D．【答案】B【分析】作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG得到CE∥DF∥AG，列比求值.【詳解】解：如圖，作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG,∴CE∥DF∥AG，∴=BE:EF:FG=1：3：2，故選：B.【點睛】此題考查平行線分線段成比例，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)建平行線是解題的關(guān)鍵，由此列出比例線段.8．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在中，點、分別在邊、上，，，那么等于（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得:,然后根據(jù)等高的兩三角形的面積比等于底之比,可得:S△ADE:S△BDE=,S△ABE:S△BCE=,設(shè)S△ADE=a,可得S△BDE=2a,從而求出S△BCE=6a,即可求出.【詳解】解:∵,∴∵△ADE和△BDE等高∴S△ADE:S△BDE=,可設(shè)S△ADE=a,可得S△BDE=2a∴S△ABE=S△ADE＋S△BDE=3a∵△ABE和△BCE等高∴S△ABE:S△BCE=∴S△BCE=6a故選B.【點睛】此題考查的是求三角形的面積比,掌握平行線分線段成比例定理和等高的兩三角形的面積比等于底之比是解決此題的關(guān)鍵.9．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：：；；；，能滿足與相似的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，結(jié)合圖中已知條件進(jìn)行判斷.【詳解】解：當(dāng)，，所以∽,故條件①能判定相似，符合題意；當(dāng)，，所以∽，故條件②能判定相似，符合題意；當(dāng)，即AC：：AC，因為所以∽，故條件③能判定相似，符合題意；當(dāng)，即PC：：AB，而，所以條件④不能判斷和相似，不符合題意；①②③能判定相似，故選D．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.10．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，，，則下列比例式中不正確的是（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可一一判斷．【詳解】解：A.∵，∴，故選項正確；B.∵，∴，故選項正確；C.∵，∴，故選項正確；D.∵，∴，故本選項錯誤故選D.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。11．（2021·全國·九年級單元測試）已知點是線段上的一點，且，如果，那么______．【答案】##【分析】設(shè)則再利用，建立方程，解方程并檢驗即可得到答案.【詳解】解：設(shè)點是線段上的一點，，，整理得：故答案為：【點睛】本題考查的是成比例的線段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解題的關(guān)鍵.12．（2021·全國·九年級單元測試）已知三條線段cm，m，b為a，c的比例中項，則______cm．【答案】【分析】根據(jù)比例中項的概念求解即可，b為a，c的比例中項，則．【詳解】解：由題意可得，b為a，c的比例中項，則，∵cm，m∴則，解得，負(fù)值舍去，故答案為．【點睛】此題考查了比例中項的概念，掌握比例中項的概念是解題的關(guān)鍵，注意求解時單位的換算．13．（2021·全國·九年級單元測試）如果在比例尺1：50000的地圖上，A、B兩地的圖上距離為2cm，則A、B兩地的實際距離為___m．【答案】【分析】利用比例尺等于圖上距離:實際距離，再計算即可.【詳解】解：設(shè)A、B兩地的實際距離為cm，則1：50000而cmm，故答案為：【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握“比例尺等于圖上距離:實際距離”是解題的關(guān)鍵.14．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D為BC邊上的一點，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為____________【答案】3a【分析】通過證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)求出△BCA的面積為4a，計算即可．【詳解】解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，

∴△ACD∽△BCA，

∴,

∴，

解得，△BCA的面積為4a，

∴△ABD的面積為：4aa=3a，

故答案為：3a．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點、分別在邊、上.若的邊長為40厘米，高為30厘米，則正方形的邊長為______厘米.【答案】【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH＝ED，AP＝AH?PH，即，由BC＝40，AH＝30，DE＝DG＝x，得解得x＝．故正方形DEFG的邊長是．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列方程．16．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在中，是邊上的點，分別聯(lián)結(jié)、相交于點，若，，則______.【答案】2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BE0∽△DAO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BE＝3，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BE0∽△DAO，∴，∵AD＝5，∴BE＝3，∴CE＝5?3＝2，故答案為：2．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，在中，，在內(nèi)有三個正方形，且這三個正方形都有一邊在上，都有一個頂點在上，點在上，第一個正方形邊長，第二個正方形邊長，那么第三個正方形的邊長為______.【答案】4cm【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得：EM=DE=9cm，GN=GF=FM=6cm，PN=PQ，∠EFG=∠GPQ=90°，F(xiàn)G∥CB，PQ∥CB，設(shè)PN=PQ=x，從而求出EF=EM－FM=3cm，GP=GN－PN=（6－x）cm，F(xiàn)G∥PQ，利用相似三角形的判定可得：△EGF∽△GQP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可求出x.【詳解】解：設(shè)這三個正方形落在BC上的其它點分別為M、N、H∴EM=DE=9cm，GN=GF=FM=6cm，PN=PQ，∠EFG=∠GPQ=90°，F(xiàn)G∥CB，PQ∥CB設(shè)PN=PQ=x∴EF=EM－FM=3cm，GP=GN－PN=（6－x）cm，F(xiàn)G∥PQ∴∠EGF=∠GQP∴△EGF∽△GQP∴即：解得：x=4即第三個正方形的邊長為：4cm.故答案為：4cm.【點睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.18．（2021·全國·九年級單元測試）在同車道行駛的機(jī)動車，后車應(yīng)當(dāng)與前車保持一定的安全距離.如圖，在一個路口，一輛長為10m的大巴車遇紅燈后停在距交通信號燈20m處，小林駕駛一輛小轎車，距大車尾xm，若大巴車車頂高于小林的水平視線0.8m，紅燈下沿高于小林的水平視線3.2m，若小林能看到整個紅燈，則x的最小值為_____.【答案】10m.【分析】根據(jù)平行證出，列出比例式即可求出的最小值.【詳解】解：如下圖，當(dāng)紅燈，大巴車車車頂和小張的眼睛三點共線時，最小，由題意可知，∴∴即，解得.∴的最小值為10m.故答案為：10m.【點睛】此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握利用平行證相似及相似三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.三、解答題：本題共7個小題，1923每題8分，2425每題13分，共66分。19．（2021·山東省青島市第五十三中學(xué)九年級單元測試）如圖，、是矩形的邊和延長線上的兩點，與相交于點，且，求證：；．【答案】證明（1）（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）根據(jù)已知條件易證△ADQ?△ADE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DQ=DE，再證明△ABP∽△QDA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出DQ的長，然后根據(jù)列出算式，整理即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵，，，∴；在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，，，，，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等角的余角相等的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，第（2）問把△APQ的面積分成兩個三角形的面積的和求解是解題的關(guān)鍵．20．（2021·全國·九年級單元測試）如圖所示，在矩形中，已知，，點沿邊從點開始向點以每秒個單位長度的速度運動；點沿邊從點開始向點以每秒4個單位長度的速度運動．如果，同時出發(fā)，用秒表示運動的時間．請解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時，是等腰直角三角形？（2）當(dāng)為何值時，以點，，為頂點的三角形與相似？【答案】（1）；（2）當(dāng)為或時，以點，，為頂點的三角形與相似．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即，計算即可；（2）分兩種情況：①，②，分別列出比例式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，.因為是等腰直角三角形，是直角，所以，所以，解得，所以當(dāng)時，是等腰直角三角形．（2）根據(jù)題意，可分為兩種情況：①若，則，所以解得，即當(dāng)時，.②若，則，所以.解得，即當(dāng)時，.因此，當(dāng)為或時，以點，，為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．21．（2021·全國·九年級單元測試）為了估計河的寬度，勘測人員在河的對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸分別取點B、D、E、C，使點A、B、D在一條直線上，且，點A、C、E也在一條直線上，且經(jīng)測量米，米，米，求河的寬度AB為多少米？【答案】河的寬度為18米．【分析】根據(jù)題意得出∽，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：設(shè)寬度AB為x米，，∽，，又，，代入得，解得，答：河的寬度為18米．【點睛】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出∽．22．（2021·全國·九年級單元測試）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．【答案】（1）證明：∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE∽△COF；（2）證明：連接DE，∵DE平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴□ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．【分析】解：（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．【詳解】解：（1）∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；（2）連接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．考點：1．相似三角形的判定；2．菱形的判定．23．（2021·全國·九年級單元測試）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圖的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．【答案】5米【詳解】解：∵小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，∴由相似得，8米高旗桿DE的影子為：12米．∵測得EG的長為3米，HF的長為1米，∴GH=12－3－1=8（米）．∴GM=MH=4米．，∵M(jìn)N=2米，∴．設(shè)小橋所在圓的半徑為r米，∴，解得：r=5．答：小橋所在圓的半徑為5米．由已知根據(jù)根據(jù)得出旗桿高度，從而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半徑即可．24．（2021·全國·九年級單元測試）數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們在扇形紙片OAB上畫出一個正方形，使得正方形的四個頂點分別落在扇形半徑OA、OB和弧AB上．有一部分同學(xué)是這樣畫的：如圖1，先在扇形OAB內(nèi)畫出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F(xiàn)在OB上，連結(jié)OE并延長交弧AB與G點，過點G，作GJ⊥OA于點J，作GH⊥GJ交OB于點H，再作HI⊥OA于點I．（1）請問他們畫出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請給出你的證明；如果不是，請說明理由；（2）還有一部分同學(xué)用另外一種不同于圖1的方法畫出的，請你參照圖1的畫法，在圖2上畫出這個正方形（保留畫圖痕跡，不要求證明）．【答案】（1）四邊形GHIJ是正方形，證明見解析；（2）畫圖見解析【分析】（1）由作法可得四邊形CDEF與四邊形IJGH是位似圖形，位似中心為點O，由于四邊形CDEF為正方形，所以四邊形GHIJ是正方形；（2）先畫正方形CDEF，點C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以點O為位似中心的位似圖形，使它的位似圖形的四個頂點落在扇形半徑OA、OB和弧AB上即可．【詳解】（1）四邊形GHIJ是正方形．證明如下：如圖1．∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，∴∠GJO＝∠JIH＝∠JGH＝90°，∴四邊形GHIJ是矩形．∵四邊形CDEF是正方形，CD邊與矩形GHIJ的IJ邊在同一條直線上，∴FC∥HI，EF∥GH，∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO，∴．又∵FC＝EF，∴HI＝GH，∴四邊形GHIJ是正方形；（2）如圖2，正方形MNGH為所作．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．25．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在第一象限的拋物線上，且點P的橫坐標(biāo)為t，過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q，設(shè)線段PQ的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值；（3）在x軸上是否存在點E，使以點B，C，E為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出E點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2