35利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（精練）-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考地區(qū)）（原卷版）

3.5利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【題型解讀】【題型一構(gòu)造單函數(shù)證明不等式】1.（2022·山東濟(jì)南歷城二中高三月考）已知函數(shù)g(x)＝x3＋ax2.(1)若函數(shù)g(x)在[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)已知a>－1，x>0，求證：g(x)>x2lnx.2．（2022·天津·崇化中學(xué)期末）已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1)，且在點(diǎn)A處的切線互相垂直．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).【題型二構(gòu)造雙函數(shù)比較最值證明不等式】1.（2022·山東青島高三期末）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求、的值；（2）證明：當(dāng)，且時(shí)，．2．（2022·天津市南開(kāi)中學(xué)月考）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋mx＋1,ex)(m∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)m＝0時(shí)，證明：?x＞0，ex2(1＋lnx)＋eq\f(1,ex)＞f(x)－xf(1)．【題型三放縮法證明不等式】1.（2022·河南高三期末）已知函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax．(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若a＝1，求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<e2x－x2－2．2．（2022·廣東·高三期末）已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1．(1)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，求a的值并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)a＝eq\f(1,e)時(shí)，f(x)≥0．【題型四雙變量不等式證明】1.（2022·黑龍江工農(nóng)·鶴崗一中高三期末）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x－1)＋lnx．(1)若函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，＋∞))內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，對(duì)任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求證：f(t)－f(s)>e＋2－eq\f(1,e)．2.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋alnx(a>0)．(1)若a＝1，求f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：f(x1)＋f(x2)>eq\f(－3－2ln2,4)．3.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，,為兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：．【題型五數(shù)列不等式證明】1.（2022·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校高三期末）已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)．(1)求證：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，eq\f(x,1＋x)<f(x)<x；(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：?n∈N*，eq\r(e)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n2)))<e．2.（2022·江