最優(yōu)控制理論課件

11/15/20241現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院井元偉教授二○○九年十一月11/15/20242第2章求解最優(yōu)控制的變分方法第3章最大值原理第4章動態(tài)規(guī)劃第5章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制第6章快速控制系統(tǒng)第1章最優(yōu)控制問題11/15/20243最優(yōu)控制理論現(xiàn)代控制理論的重要組成部分20世紀50年代發(fā)展形成系統(tǒng)的理論研究的對象

控制系統(tǒng)中心問題

給定一個控制系統(tǒng)，選擇控制規(guī)律，使系統(tǒng)在某種意義上是最優(yōu)的統(tǒng)一的、嚴格的數(shù)學(xué)方法最優(yōu)控制問題研究者的課題，工程師們設(shè)計控制系統(tǒng)時的目標最優(yōu)控制能在各個領(lǐng)域中得到應(yīng)用，效益顯著11/15/20244現(xiàn)代控制理論1.1兩個例子1.2問題描述第1章最優(yōu)控制問題11/15/20245現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

11/15/20246現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

11/15/20247現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

11/15/20248現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

11/15/20249現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

11/15/202410現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標11/15/202411現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1

飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標推力方案11/15/202412現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題11/15/202413現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題11/15/202414現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題11/15/202415現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題初始條件

11/15/202416現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

11/15/202417現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

11/15/202418現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題例1.2

導(dǎo)彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

控制11/15/202419現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為11/15/202420現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為11/15/202421現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量11/15/202422現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量11/15/202423現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)11/15/202424現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律11/15/202425現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律滿足一定條件時，方程有唯一解11/15/202426現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(2)容許控制11/15/202427現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：11/15/202428現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：11/15/202429現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

11/15/202430現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

11/15/202431現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集11/15/202432現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集11/15/202433現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(3)目標集n維向量函數(shù)11/15/202434現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

n維向量函數(shù)11/15/202435現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

自由端問題

n維向量函數(shù)11/15/202436現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(4)

性能指標11/15/202437現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)

性能指標11/15/202438現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)

性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標11/15/202439現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(4)

性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標11/15/202440現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)

性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

11/15/202441現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(4)

性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

11/15/202442現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)

性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

終點型指標，表示僅對終點狀態(tài)的要求11/15/202443現(xiàn)代控制理論

2.1泛函與變分法基礎(chǔ)2.2歐拉方程2.3橫截條件2.4含有多個未知函數(shù)泛函的極值2.5條件極值2.6最優(yōu)控制問題的變分解法第2章求解最優(yōu)控制的變分方法11/15/202444現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎(chǔ)平面上兩點連線的長度問題

11/15/202445現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎(chǔ)平面上兩點連線的長度問題

11/15/202446現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎(chǔ)平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為11/15/202447現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎(chǔ)平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為稱為泛函

稱為泛函的宗量

11/15/202448現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋11/15/202449現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋11/15/202450現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分11/15/202451現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量11/15/202452現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量泛函的變分11/15/202453現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋連續(xù)泛函

宗量的變分趨于無窮小時，泛函的變分也趨于無窮小線性泛函

泛函對宗量是線性的宗量的變分泛函的增量泛函的變分11/15/202454現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法定理2.2

若泛函有極值，則必有上述方法與結(jié)論對多個未知函數(shù)的泛數(shù)同樣適用

11/15/202455現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6最優(yōu)控制問題的變分解法2.6.4終值時間自由的問題2.6.3末端受限問題2.6.2固定端問題2.6.1自由端問題11/15/202456現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.1自由端問題約束方程新的泛函令有哈米頓函數(shù)

11/15/202457現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法進行變分令有伴隨方程

必要條件11/15/202458現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法例2.5

哈米頓函數(shù)伴隨方程邊界條件必要條件11/15/202459現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法最優(yōu)控制代入狀態(tài)方程并求解令11/15/202460現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.2固定端問題性能指標分部積分進行變分令變分為零11/15/202461現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法邊界條件指標泛函例2.6考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函J取得極小值。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程：11/15/202462現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法哈米頓函數(shù)伴隨方程由狀態(tài)方程代入初始和終端條件，可求得11/15/202463現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法4.考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函J取得極小值。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其邊界條件為：其指標泛函為：11/15/202464現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法哈米頓函數(shù)伴隨方程11/15/202465現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法11/15/202466現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.3末端受限問題新的泛函變分11/15/202467現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法必要條件11/15/202468現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.4終值時間自由的問題T有時是可變的，是指標泛函，選控制使有T極小值變分11/15/202469現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法必要條件11/15/202470現(xiàn)代控制理論

求解最優(yōu)控制的變分方法例2.7

指標泛函哈米頓函數(shù)伴隨方程必要條件11/15/202471現(xiàn)代控制理論

3.1古典變分法的局限性3.2最大值原理3.3變分法與極大值原理第3章最大值原理11/15/202472現(xiàn)代控制理論

最大值原理3.1古典變分法的局限性u(t)受限的例子例3.1伴隨方程極值必要條件矛盾!!11/15/202473現(xiàn)代控制理論

最大值原理3.2最大值原理定理3.1(最小值原理)設(shè)為容許控制，為對應(yīng)的積分軌線，為使為最優(yōu)控制，為最優(yōu)軌線，必存在一向量函數(shù)，使得和滿足正則方程且11/15/202474現(xiàn)代控制理論

最大值原理最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。但對于線性系統(tǒng)最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件。11/15/202475現(xiàn)代控制理論

最大值原理例3.2

重解例3.1哈密頓函數(shù)伴隨方程由極值必要條件，知又于是有11/15/202476現(xiàn)代控制理論

最大值原理協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖

11/15/202477現(xiàn)代控制理論

最大值原理例3.3

性能指標泛函哈密頓函數(shù)伴隨方程11/15/202478現(xiàn)代控制理論

最大值原理上有11/15/202479現(xiàn)代控制理論

最大值原理協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖

整個最優(yōu)軌線11/15/202480現(xiàn)代控制理論最大值原理例3.4

把系統(tǒng)狀態(tài)在終點時刻轉(zhuǎn)移到性能指標泛函終點時刻是不固定的哈米頓函數(shù)伴隨方程11/15/202481現(xiàn)代控制理論

最大值原理H是u的二次拋物線函數(shù)，u在上一定使H有最小值，可能在內(nèi)部，也可能在邊界上。最優(yōu)控制可能且只能取三個值

此二者都不能使狀態(tài)變量同時滿足初始條件和終點條件11/15/202482現(xiàn)代控制理論最大值原理最優(yōu)控制最優(yōu)軌線最優(yōu)性能指標11/15/202483現(xiàn)代控制理論

最大值原理例3.5

使系統(tǒng)以最短時間從給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)哈米頓函數(shù)伴隨方程11/15/202484現(xiàn)代控制理論

最大值原理最優(yōu)控制切換及最優(yōu)軌線示意圖11/15/202485現(xiàn)代控制理論

最大值原理3.3古典變分法與最小值原理古典變分法適用的范圍是對u無約束，而最小值原理一般都適用。特別當u不受約束時，條件就等價于條件11/15/202486現(xiàn)代控制理論4.1多級決策過程與最優(yōu)性原理4.2離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.3連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.4動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關(guān)系第4章動態(tài)規(guī)劃11/15/202487現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)控制的又一種方法，特別對離散型控制系統(tǒng)更為有效，而且得出的是綜合控制函數(shù)。這種方法來源于多決策過程，并由貝爾曼首先提出，故稱貝爾曼動態(tài)規(guī)劃。11/15/202488現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃4.1多級決策過程與最優(yōu)性原理作為例子，首先分析最優(yōu)路徑問題(a)(b)(c)試分析(a),(b)和(c)三種情況的最優(yōu)路徑，即從走到所需時間最少。規(guī)定沿水平方向只能前進不能后退。11/15/202489現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃(a)中只有兩條路徑，從起點開始，一旦選定路線，就直達終點，選最優(yōu)路徑就是從兩條中選一條，使路程所用時間最少。這很容易辦到，只稍加計算，便可知道，上面一條所需時間最少。(b)共有6條路徑可到達終點，若仍用上面方法，需計算6次，將每條路線所需時間求出，然后比較，找出一條時間最短的路程。(c)需計算20次，因為這時有20條路徑，由此可見，計算量顯著增大了。11/15/202490現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃逆向分級計算法

逆向是指計算從后面開始，分級是指逐級計算。逆向分級就是從后向前逐級計算。以(c)為例從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為和在處，只有一條路到達終點，其時間是；在處，也只有一條，時間為1。后一條時間最短，將此時間相應(yīng)地標在點上。并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。11/15/202491現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第二級只有一種選擇，到終點所需時間是有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即4+1=5。用箭頭標出也標出最優(yōu)路徑和時間依此類推，最后計算初始位置求得最優(yōu)路徑最短時間為1311/15/202492現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)路徑示意圖

11/15/202493現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃5.利用逆向分級計算法求解如下的最優(yōu)路徑問題從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為和在處，只有一條路到達終點，其時間是；在處，也只有一條，時間為3。后一條時間最短，將此時間相應(yīng)地標在點上。并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。11/15/202494現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第二級，亦即倒數(shù)第二級只有一種選擇，到終點所需時間是有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即2+4=6。用箭頭標出也標出最優(yōu)路徑和時間3+3=6

11/15/202495現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第三級有兩種選擇，到終點所需時間是分別是，保留前者有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即2+(2+4)=8和2+(3+3)=8。用箭頭標出。

11/15/202496現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃最后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第四級有兩種選擇，到終點所需時間是分別是或2+(2+3+3)=10。于是，最短路經(jīng)有3條，時間為10。求得最優(yōu)路徑11/15/202497現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃多級過程

多級決策過程

目標函數(shù)

控制目的

選擇決策序列使目標函數(shù)取最小值或最大值實際上就是離散狀態(tài)的最優(yōu)控制問題

11/15/202498現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理在一個多級決策問題中的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，不管初始級、初始狀態(tài)和初始決策是什么，當把其中任何一級和狀態(tài)做為初始級和初始狀態(tài)時，余下的決策對此仍是最優(yōu)決策。11/15/202499現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃指標函數(shù)多是各級指標之和，即具有可加性最優(yōu)性原理的數(shù)學(xué)表達式11/15/2024100現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃4.2離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃階離散系統(tǒng)性能指標求決策向量使有最小值（或最大值），其終點可自由，也可固定或受約束。11/15/2024101現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃引進記號應(yīng)用最優(yōu)性原理可建立如下遞推公式貝爾曼動態(tài)規(guī)劃方程

11/15/2024102現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃例4.2

設(shè)一階離散系統(tǒng)，狀態(tài)方程和初始條件為性能指標求使有最小值的最優(yōu)決策序列和最優(yōu)軌線序列指標可寫為11/15/2024103現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃代入上一級11/15/2024104現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃代入狀態(tài)方程最優(yōu)決策序列最優(yōu)軌線11/15/2024105現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃4.3連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃性能指標目標集引進記號根據(jù)最優(yōu)性原理及11/15/2024106現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃11/15/2024107現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃由泰勒公式，得由中值定理，得11/15/2024108現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程

實際上它不是一個偏微分方程，而是一個函數(shù)方程和偏微分方程的混合方程11/15/2024109現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃滿足連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程，有設(shè)邊界條件動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃方程是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的充分條件；解一個偏微分方程；可直接得出綜合函數(shù)；動態(tài)規(guī)劃要求有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)最大值原理最大值原理是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的必要條件；解一個常微分方程組；最大值原理則只求得。11/15/2024110現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃例4.3

一階系統(tǒng)性能指標動態(tài)規(guī)劃方程右端對u求導(dǎo)數(shù)，令其導(dǎo)數(shù)為零，則得11/15/2024111現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃4.4動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關(guān)系

變分法、最大值原理和動態(tài)規(guī)劃都是研究最優(yōu)控制問題的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一個問題，應(yīng)該得到相同的結(jié)論。因此三者應(yīng)該存在著內(nèi)在聯(lián)系。變分法和最大值原理之間的關(guān)系前面已說明，下面將分析動態(tài)規(guī)劃和最大值原理的關(guān)系?？梢宰C明，在一定條件下，從動態(tài)規(guī)劃方程能求最大值原理的方程。

11/15/2024112現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃方程令哈米頓函數(shù)最大值原理的必要條件11/15/2024113現(xiàn)代控制理論

5.1問題提出

5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器

5.3輸出調(diào)節(jié)器

5.4跟蹤問題

5.5利用Matlab求解最優(yōu)控制第5章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制11/15/2024114現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制

用最大值原理求最優(yōu)控制，求出的最優(yōu)控制通常是時間的函數(shù)，這樣的控制為開環(huán)控制。

當用開環(huán)控制時，在控制過程中不允許有任何干擾，這樣才能使系統(tǒng)以最優(yōu)狀態(tài)運行。在實際問題中，干擾不可能沒有，因此工程上總希望應(yīng)用閉環(huán)控制，即控制函數(shù)表示成時間和狀態(tài)的函數(shù)。

求解這樣的問題一般來說是很困難的。

但對一類線性的且指標是二次型的動態(tài)系統(tǒng)，卻得了完全的解決。不但理論比較完善，數(shù)學(xué)處理簡單，而且在工程實際中又容易實現(xiàn)，因而在工程中有著廣泛的應(yīng)用。11/15/2024115現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.1問題提法動態(tài)方程指標泛函求使之有最小值此問題稱線性二次型性能指標的最優(yōu)控制問題通常稱為綜合控制函數(shù)11/15/2024116現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制指標泛函的物理意義積分項，被積函數(shù)由兩項組成，都是二次型。第一項

過程

在控制過程中，實際上是要求每個分量越小越好，但每一個分量不一定同等重要，所以用加權(quán)來調(diào)整，當權(quán)為零時，對該項無要求。第二項

控制能力

能量消耗最小。對每個分量要求不一樣，因而進行加權(quán)。要求正定，一方面對每個分量都應(yīng)有要求，否則會出現(xiàn)很大幅值，在實際工程中實現(xiàn)不了；另一方面，在計算中需要有逆存在。指標中的第一項是對點狀態(tài)的要求，由于對每個分量要求不同，用加權(quán)陣來調(diào)整。11/15/2024117現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器5.2.1末端自由問題5.2.2固定端問題5.2.3

的情況狀態(tài)調(diào)節(jié)器選擇或使系統(tǒng)性能指標有最小值11/15/2024118現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.1末端自由問題構(gòu)造哈密頓函數(shù)伴隨方程及邊界條件最優(yōu)控制應(yīng)滿足代入正則方程11/15/2024119現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制求導(dǎo)11/15/2024120現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制（矩陣黎卡提微分方程）

邊界條件最優(yōu)控制令最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的線性函數(shù)借助狀態(tài)變量的線性反饋可實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制對稱半正定陣11/15/2024121現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.1

性能指標泛函最優(yōu)控制黎卡提微分方程11/15/2024122現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)軌線的微分方程解最優(yōu)軌線最優(yōu)控制

11/15/2024123現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制黎卡提方程的解隨終點時間變化的黎卡提方程的解11/15/2024124現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.2固定端問題指標泛函（設(shè)

）采用“補償函數(shù)”法補償函數(shù)懲罰函數(shù)邊界條件黎卡提方程逆黎卡提方程11/15/2024125現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制求導(dǎo)黎卡提方程乘以逆黎卡提方程解逆11/15/2024126現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.3的情況性能指標無限長時間調(diào)節(jié)器問題

黎卡提方程邊界條件最優(yōu)控制最優(yōu)指標11/15/2024127現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.4定常系統(tǒng)完全可控指標泛函矩陣代數(shù)方程最優(yōu)控制最優(yōu)指標11/15/2024128現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.2

黎卡提方程11/15/2024129現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.3輸出調(diào)節(jié)器指標泛函輸出調(diào)節(jié)器問題狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題

令11/15/2024130現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.4跟蹤問題問題的提法

已知的理想輸出

偏差量指標泛函尋求控制規(guī)律使性能指標有極小值。物理意義

在控制過程中，使系統(tǒng)輸出盡量趨近理想輸出，同時也使能量消耗最少。11/15/2024131現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制指標泛函哈密頓函數(shù)11/15/2024132現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制設(shè)并微分11/15/2024133現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制的任意性

最優(yōu)控制11/15/2024134現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)軌線方程

最優(yōu)性能指標

11/15/2024135現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.3

性能指標

11/15/2024136現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)控制11/15/2024137現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制，最優(yōu)控制極限解

11/15/2024138現(xiàn)代控制理論

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)11/15/2024139現(xiàn)代控制理論

快速控制系統(tǒng)6.1快速控制問題6.2綜合問題第6章快速控制系統(tǒng)11/15/2024140現(xiàn)代控制理論

快速控制系統(tǒng)

在實際問題中，經(jīng)常發(fā)生以時間為性能指標的控制問題。

如，當被控對象受干擾后，偏離了平衡狀態(tài)，希望施加控制能以最短時間恢復(fù)到平衡狀態(tài)。

凡是以運動時間為性能指標的最優(yōu)控制問題稱為