2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題25 圖形面積的計(jì)算含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題25圖形面積的計(jì)

算

閱讀與思考

計(jì)算圖形的面積是平面幾何中常見(jiàn)的基本問(wèn)題之一，它包括兩種主要類型：

?.常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算

由于一些常見(jiàn)圖形有計(jì)算面積的公式，所以，常見(jiàn)圖形面積一般用公式來(lái)解.

2.非常規(guī)圖形面積的計(jì)算

非常規(guī)圖形面積的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常規(guī)

圖形面積的和或差來(lái)表示.

計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識(shí)：

（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

（2）等底的兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)高的比.

（3）等高的兩個(gè)三角形面根的比等于對(duì)應(yīng)底的比.

（4）等腰三角形底邊上的高平分這個(gè)三角形的面積.

（5）三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積.

（6）平行四邊形的對(duì)角線平分它的面積.

熟悉如下基本圖形：

例題與求解

［例1］如圖，在直角△A8C的兩直角邊AC,8c上分別作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W,

連接GW,若AC=14,8c=28,則SZ\AG“U.

（2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：△AGW的面枳可以看做△AG"和的面積之差.

【例2】如圖，己知△/WC中的面積為24,點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)尸在線段的延長(zhǎng)線上，且BC=4b.

四邊形8DCE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽廣東試題）

解題思路：設(shè)4A5c底邊5c上的高為/?.本例關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)變形找出〃和DE之間的關(guān)系.

【例3】如圖，平行四邊形A8C。的面積為30cm2,E為AO邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，仍與。C交于F

點(diǎn)，已知三角形FBC的面積比三角形OE尸的面積大9cm2,AD=5cm,求。￡長(zhǎng).

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：由面積求相關(guān)線段，是一個(gè)逆向思維的過(guò)程，解題的關(guān)鍵是把條件中圖形面積用QE及

其它線段表示.

【例4】如圖，四邊形ABC。被AC與。B分成甲、乙、丙、丁4個(gè)三角形，已知8E=80cm,CE=60

cm,DE=4（）cm,AE=30cm,問(wèn)：內(nèi)、丁兩個(gè)三角形面積之和是甲、乙兩個(gè)三角形面積之和的多少倍？

（“華羅庚杯”競(jìng)賽決賽試題）

解題思路：甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形面積可通過(guò)線段的比而建立聯(lián)系，找出這種聯(lián)系是解本例的

突破口.

OE----------T\'O

丙

BC

【例5】如圖，△ABC的面積為1,D,E為BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn),G為。的三等分點(diǎn)，求四邊形

PECF的面積.

解題思路：連CP,設(shè)S"「c=x,SAPEC二y，建立x,y的二元一次方程組.

【例6】如圖，E,尸分別是四邊形ABCO的邊4B,BC論中點(diǎn)，OE與4尸交于點(diǎn)P,點(diǎn)Q在線段

DE上，旦AQ//PC.求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值.

（2013年"希望杯“數(shù)學(xué)邀清賽試題）

解題思路：連接ERDF,AC,P8,設(shè)SE88=〃，求得△APQ和△CPQ的面積.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。.過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD,BC于E,F,

則陰影部分面積是.

AD

6.如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為〃，寬為〃的長(zhǎng)方形，兩個(gè)陰影圖形都是一對(duì)長(zhǎng)為c?的底邊在長(zhǎng)方形對(duì)邊上的

平行四邊形，則長(zhǎng)方形中未涂陰影部分的面積為().

A.ab-(a+b)cB.ab-{a-b)cC.(a-c)(b-c)D.(a-c)(b+c)

7.如圖，線段A3=CQ=l(km,8C和。A是弧長(zhǎng)與半徑都相等的圓弧，曲邊三角形BCD的面積是

以D為圓心、0c為半徑的圓面積的！，則陰影部分的面積是().

4

A.257rB.100C.50rtD.200

(“五羊杯”競(jìng)賽試題)

8.如圖，一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條線段A8、CQ中分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，如果其中圖形I,H,HI的面

積分別為8,6,5,那么陰影部分的面積為().

9.如圖，長(zhǎng)方形A8CD中，E,/分別為A。，8C邊上的任一點(diǎn)，X'BG,△DC”的面積分別為

15和20,求陰影部分的面積.

（五城市聯(lián)賽試題）

10.如圖，正方形ABCD,正方形BEFG和正方形HKPr的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，已

知正方形8E?G的邊長(zhǎng)為4,求△OEK的面積.

（廣西壯族自治區(qū)省南寧市中考試題）

B級(jí)

1.如果圖中4個(gè)圓的半徑都為。，那么陰影部分的面積為—

（江蘇省競(jìng)賽試題）

2.如圖，在長(zhǎng)方形A8a）中，E是8c上的一點(diǎn)，尸是CD上的一點(diǎn)，若三角形A8E的面積是長(zhǎng)方

1O

形4BCD面積的白，三角形AQF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的三角形CE/的面積為4cm那么

35

長(zhǎng)方形A6C。的面積是cm2.

（北京市“迎春杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.如圖，邊長(zhǎng)為3厘米與5厘米的兩個(gè)正方形并排放在一起，在大正方形中畫一段以它的一個(gè)頂點(diǎn)

為圓心，邊長(zhǎng)為半徑的圓弧，則陰影部分的面積為.

（“希望杯”邀清賽試題）

4.如圖，若正方形APMW,BNHP,CQHN的面積分別為7,4,6,則陰影部分的面積是.

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

5.如圖，把等邊三角形每邊三等分，使其向外長(zhǎng)出一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)的，的小等邊三角形，稱為一次

3

“生長(zhǎng)”，在得到的多邊上類似“生長(zhǎng)”，一共“生長(zhǎng)”三次后，得到的多邊形的邊數(shù)=,面積

是原三角形面積的倍.

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

6.如圖，在長(zhǎng)方形A8C。中，AE=BG=BF=-AD=-AB=2.E,H,G在同一條直線上，則陰影部分

23

的面積等于（）.

A.8B.12C.16D.20

7.如圖，邊長(zhǎng)分別為8cm和6cm的兩個(gè)正方形，A3C。與鹿尸G并排放在一起，連接EG并延長(zhǎng)交

AC于K,則△AKE的面積是（）.

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D.51cm2

（2013年“希望杯”邀清賽試題）

8.在?個(gè)由8X8個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若把圓經(jīng)過(guò)的所有

小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S，把圓周經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2,則處的

整數(shù)部分是（）.

A.0B.1C.2D.3

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9.如圖，△A8C中，點(diǎn)。，E,F分別在三邊上,七是AC的中點(diǎn)，A。，BE,CF交于一點(diǎn)G,BD=2DC,

SMEC=3,S，.GDC=4,則△48C的面積是（）.

A.25B.30C.35D.40

10.已知。(0,0),A(2,2),B(1,a),求。為何值時(shí)，S^ABO=5?

11.如圖，已知正方形48CD的面積為1,M為AB的中點(diǎn)求,圖中陰影部分的面積.

（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）

生二型二殳二L求”坦迪的值

12.如圖，Z\ABC中,

DBECFA2△ABC的面積

人

E

//.

D

(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)專題25圖形面積的計(jì)算

SAM==SJGF.S，CUF="--

例1196提示：--、28x(28+14)?女28又28=i28、14=28x7=196.

14S481212

例2D提示：設(shè)△ABC底邊上的高為人則2xBCx〃=24故/設(shè)底邊DE上的高

,hi-/i2(Tij.

為萬(wàn)底邊上的高為瓦，則介-卜+電.--*DE-*DE-*DE?

1M6OEOE1?、UDE[+“--+八”

G?DE?/I

=-叭6.

(5h-ih(5+x)=9

2c〃?.提示：設(shè)A48E的4E邊上的高為力cm,DE長(zhǎng)為xcm,則I5h=30，解得OE=2.

例3

;提示:/_CEBE-Sy^DE_\Sy^_AE_\

例4

2件EDS甲HE2'S乙EC2

=(S-ABC=；?設(shè)S-x，s"C=y則S,,=3X,sg=3y

例5S5=gsmHC

ABC~3RGF

C1

A+3y=-

32

于是①+②,得4(x+y)=-,

3x+y=g

：.X+y=L,即5收6=。.

oo

例6設(shè)Sw=a,因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，所以S,e_a

M)E-3

a

???SjD=S四邊s尸如圖，連接EF,DF,則S,但gs,3g所以＞=

O乙IL/0?,

2

=4x=

設(shè)S2=X,則S"w=4x.由S^APD=s四邊形BEPF得弓-X=4X.：?X=-^-.\APD^7T-

I/rU4UJ

連接AC,又???AQ〃PC,Sw=SACQ，5***S?=---=—aPB,則

aa3aa

SEBP=S.AEP=~^,由SABP+S.copUaa，得S(PQ=Q-SABP~~S.CDQ=

2101010

PQ_S-CPQ

黑二從而曳=_L,S+=

APQAPI)=云,于是S梯形八/gWAPQ+SCPQ=~~

瓦二豆3PD4

S梯形八PCQ_3

SABCD20

A級(jí)

提示：S.=S、AQE，S陰影=WS正方形ABCD?

4poc

2.48.

(4-2)a

3.

2

4.15.625.

5B.

6C.

7.B.

8C.

935提不:連接EF?SEGF-SAM；,S詆=Sf)HC.

10.解法一：WADEK的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差.如圖，延長(zhǎng)AE交PK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.設(shè)正

方形ABCD正方形PKPF的邊長(zhǎng)分別ab.則

SDEK=S正方形ABCD+S正方形班灑+S矩形即性-SADE-SCDG~SpKQ-SFHK

=a~+4~+4b——+4)——a(a-4)——b(b4-4)——b^4-b)

=a~4-16+4b—a~—2a—a~+2a--b2-2b-2b+-b2

2222

D

P

H

解法二：運(yùn)用等積變形轉(zhuǎn)化問(wèn)題，連接DB,GE,FK.則NDBA=/GEB=45。，???DB〃GE,得SS)=SG.

同理GE〃FK,得SGFK=SC"

,?S,DEK~S.GED+S.GEK~SCEB+,GEF~S正方形呵?(；=16.

B級(jí)

1.12a2-3^a22.58a2).

2.120提示：設(shè)AB=a,AD=b,CE=c,CF=d.則BE=b-c-,DF=a-d,c=—b,d=-a,cd=8.

25

3.18.75(萬(wàn)之3).

4.8.5提示：連HD.

5.48—提示：“生長(zhǎng)”n次后得到3x4。邊形，面積為原面積的四—3倍.

8193n+,

6B.

7.B提示：過(guò)點(diǎn)K作KH1AB.VAB=8,BE=6,AAE=8+6=14.XVZKAE=ZKEA=45°,，

KH=1AE=7.SA"=LAE?K”=’X14X7=49.

2/lAi-22

8B提示；根據(jù)正方形的對(duì)稱性，只需考慮它的,部分即可.

4

9B.

10.⑴當(dāng)a>l時(shí)，即B在OA上方時(shí)，如圖.山。8=%8。+5梯形〃曲-5",???

5=—xlxa+—(a+2)x(2-1)--X2X2，解得a=6.

222

⑵當(dāng)OWaVl時(shí)，即B在OA于x軸之間時(shí)，依題意，有工x2x2-'x1xa-L(a+2)x1=5,解得a=-4

222''

【不合題意，舍去).

⑶當(dāng)a<0時(shí)，即B在x軸下方時(shí)，W(l+2)x(2-a)x---x2x2--xlx(-a)=5?解得a=4

222

綜上所述，當(dāng)a=-4或a=6時(shí)，SABO=5.

s-s-^.

AMDAMCVS麗為公共部分，???s.GO-SCMG?又因?yàn)閍AMG與AAMD的高的高相等

(以A為頂點(diǎn)作高)，AMCG與AMCD的高相等(以C為頂點(diǎn)作高)，，?巫二2跡=如，即

JsAMI)SMSMD

l_c

AJ.CMGS1II

_C^G,解得：5cwc=-*>?%影=2XK=a

42

1°

3-P=；S,x=-S

2

解得《

連BG，設(shè)SABLS'Sy.則，

DOGX'S

2x+3y=：S,y=—S

21

2、

同理可得：S.=S砸—s.乂s..s,明=§s,得s四形核,=s四形〃./s=—s

.八瓜<321

?<2_101S=-S故黑^=1

??2⑼】J2121,

7S.HO4C/7

專題26奇偶分析

閱讀與思考

整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù).一個(gè)整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個(gè)整數(shù)的固有屬

性，即奇數(shù)w偶數(shù).

由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說(shuō)奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過(guò)分析整數(shù)的奇偶性

來(lái)解決問(wèn)題的方法叫奇偶分析.

運(yùn)用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：

1.奇數(shù)聲偶數(shù).

2.奇數(shù)土奇數(shù):偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)二奇數(shù)，偶數(shù)土偶數(shù)二偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)

的和為偶數(shù)，若干個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù).

3.若干個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù).

4.若。是整數(shù)，則。與同，—。，（〃為自然數(shù)）有相同的奇偶性.

5.設(shè)4,〃是整數(shù)，則4+〃，4一〃，|。+同，一力|都有相同的奇偶數(shù).

6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.

例題與求解

【例1】數(shù)列1,I,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)是1,從第三個(gè)數(shù)

開(kāi)始，每?個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)的和，這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2004個(gè)數(shù)中

共有一個(gè)偶數(shù).

解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)奇偶性的規(guī)律.

【例2】如果。，b,c都是正整數(shù)，且〃，人是奇數(shù)，貝］3"+8-1凡是（）.

A.只當(dāng)c為奇數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

B.只當(dāng)c為偶數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

C.只當(dāng)c為3的倍數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

D.無(wú)論c為任意正整數(shù)時(shí)，其值均為奇數(shù)

解題思路：直接運(yùn)用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇.

【例3】能否找到自然數(shù)。和b,使/=2002+//.

解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)a和〃，使等式成立，則（〃十與（。-勿=2002,從〃+〃，〃-〃的奇偶性展

開(kāi)推理.

【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6,打亂次序后，將紙片翻過(guò)來(lái)，在它

們的反面也隨意寫上1~6這6個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出6個(gè)

數(shù)，請(qǐng)你證明：所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的.

解題思路：從反面入手，即設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，利用|q-4與4-a6=1,2,3,4,5,6

的奇偶性相同，引入字母進(jìn)行推理證明.

【例5】表甲是一個(gè)英文字母電子顯示盤，每一次操作可以使某一行4個(gè)字母同時(shí)改變，或者使某一列

4個(gè)字母同時(shí)改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個(gè)英文字母變成它下一個(gè)字母（即A變

成B,B變成C…最后字母Z變成A）.問(wèn):能否經(jīng)過(guò)若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請(qǐng)寫出變

化過(guò)程，如不能，說(shuō)明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

解題思路：表甲與表乙看上去沒(méi)有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否?/p>

成功？如果是不能，就應(yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問(wèn)題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過(guò)程中

的不變量或不變性.

xxxx

【例6】設(shè)X],.叼，…X”為+1或-1,并且XiX2X3X4+X2X3X4X5+X3X4X5X6+…+n-3n-2n-ln

+XXXX+XXXX4

n-2n-\n\n-\n\2+月田々巧=°?證明〃能被整除?

解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問(wèn)題，從而化難為易.

能力訓(xùn)練

1.若按奇偶分類，則『+22+33+…+201/?！笔菙?shù).

2.已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且/”=2001,則以+3=.

3.若質(zhì)數(shù)機(jī)，n滿足5〃z+7〃=129,則加+n的值為.

4.在億22,32,952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有個(gè).

5.將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和

都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么，滿足要求的排法有()種.

A.2B.3C.4D.5

6.設(shè)。，〃為整數(shù)，給出入列四個(gè)結(jié)論

(1)若。+56是偶數(shù)，則是偶數(shù)

(2)若a+5〃是偶數(shù)，則是奇數(shù)

(3)若。+5。是奇數(shù)，則。-3匕是偶數(shù)

(4)若。+5〃是奇數(shù)，則〃-3"是奇數(shù)

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是().

A.OB.2C.4D.1或3

7.如果a,b,c是三個(gè)任意整數(shù)，那么巴丑，—,—().

222

A.都不是整數(shù)B.至少有兩個(gè)是整數(shù)

C.至少有一個(gè)是整數(shù)D.都是正數(shù)

8.將1000到1997這998個(gè)自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個(gè)相鄰數(shù)的和，在這些和中，

奇數(shù)的個(gè)數(shù)至多有().

A.499個(gè)B496個(gè)C.996個(gè)D.995個(gè)

9.設(shè)為,.，…4999是1，2,3,…，1999的一個(gè)排列，求證：(a17)+02-2)十…+(09—1999)

為偶數(shù).

10.在黑板上記上數(shù)1,2,3,I974,允許擦去任意兩個(gè)數(shù)，且寫上它們的和或差.重復(fù)這樣

的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個(gè)數(shù)為止.求證：這個(gè)數(shù)不可能為零.

11.你能找至U三個(gè)整數(shù)a，b,c,使彳導(dǎo)關(guān)系式（[+Z?+c）?（a-〃+c）?（a十〃一。）?（〃十仁一。）一3388成

立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例；如果找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.設(shè)標(biāo)有A,B,C,D,E,F,G記號(hào)的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開(kāi)關(guān).現(xiàn)在A,C,

E,G四盞燈開(kāi)著，其余三盞燈是關(guān)的，小剛從燈A開(kāi)始，順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，即從A到G,再?gòu)腁開(kāi)始順

次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，即乂從A到G，…，他這樣拉動(dòng)了1999次開(kāi)關(guān)后，問(wèn)哪兒盞是開(kāi)的？

專題26奇偶分析

例I668提示：裴波拉數(shù)列各項(xiàng)的奇偶性規(guī)律是：從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始，每組連續(xù)的3個(gè)數(shù)中，前兩個(gè)

數(shù)是奇數(shù)，第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，又因?yàn)?004:3=668.所以前2004個(gè)數(shù)中共有668個(gè)偶數(shù).

例2D

例3假設(shè)存在自然數(shù)〃和從使=2002+〃.則（。+力）（。一力=2002=2x1001,若〃，》同為奇

數(shù)或同為偶數(shù)，則（a+〃）x（a—b）必定是“偶數(shù)x偶數(shù)。若a,為一奇一偶，則（a+/?）（a—〃）必

定是“奇數(shù)x奇數(shù)”上述兩種情況均與等式右邊的“偶數(shù)x奇數(shù)”相矛盾.故找不到自然數(shù)〃和從使

a2=2002+b2.

例4提示：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是%%，%為，%4,反面寫的數(shù)對(duì)應(yīng)為斗&也也也：亳，則這

6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的絕對(duì)值分別為忖一"同一勾，…，N-.

設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等,則它們只能取0,1,2,...,5這6個(gè)值，于是打一⑷1％一勾，…，麻-4|

=0+1+2+…+5=15是個(gè)奇數(shù).

又"-4|與%（,=],2,3...,6）的奇偶性相同,所以忖一4卜歸一為+…+區(qū)-4|

與（4一4）+（%-%）+???+（緣-4）=（4+…+線）一（4+b2+...+幻=（）的奇偶性

相同，是個(gè)偶數(shù)，導(dǎo)致矛盾.

例5提示：不能，理由如下：

將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替（即A用1,6用2,…，Z用26代替），這樣

表甲和表乙就分別變成了表丙和表丁:

1915218112419

202661685247

8153141820219

表丙表丁

這樣，每一次操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換

1-2,2-3,…，25—26,26-1.

顯然，每次操作不改變這16個(gè)數(shù)字和的奇偶性，但表丙、表丁16個(gè)數(shù)字的和分別為213,174,它

們的奇偶性不同，故表內(nèi)不能變成表丁，即表甲不能變成表乙.

例6由于乘積占&/乙，/鼻//，?一，x“X\X2X3都是+1或—1,且總和為0.所以一定有偶數(shù)項(xiàng)，即〃

一定是偶數(shù)2〃?.

將上面的〃個(gè)數(shù)相乘，一方面，其中的+1和一1各有加個(gè)，所以它們的乘積為（T）,另一方面，

在乘積中，為’"2一一，*〃作為因數(shù)都出現(xiàn)四次，所以乘積為+1,于是（T），〃為偶數(shù)，故〃

是4的倍數(shù).

【能力訓(xùn)練】

I.偶

21999提示：由/+6=2001知/，匕必為一奇一偶.又丁。是質(zhì)數(shù)且a為偶數(shù).."=2,〃=997,

故?+?=1999.

3.19或25

4.19提示：在已22,...IO:中，十位數(shù)字是奇數(shù)的只有4?=16,62=36,兩位數(shù)的平方可以表示為

0°"+"）=100^2+20如+/，它的十位數(shù)的奇偶性與從十位數(shù)字的奇偶性相同，因此，b

只能取4與6,即相鄰的每10個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)的H立數(shù)字是奇數(shù).

5.D提示：設(shè)%%，%，/，%是1,2,3,4,5中一個(gè)滿足要求的數(shù)列，首先，對(duì)于知4，丐，丐，不能

連續(xù)兩個(gè)都是偶數(shù)，否則這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾，其次，如果吃（1W/W3）是偶數(shù),

普+1是奇數(shù)，則4+1是奇數(shù)，這說(shuō)明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)

奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù).所以，-------------只能是偶奇奇偶奇，故有如下5種情形滿足條件：①2,

1,3,4,5;②2,3,5,4,1;③2,5,\,4,3;④4,3,1,2,5；⑤4,5,3,2,1.

6.B7.C8.D

9提示：佃T)+(4-2)+...(a1999-1999)=自+外+…+多加)一(1+2+...+1999)=0

10.考慮黑板上保留奇數(shù)的個(gè)數(shù).

經(jīng)過(guò)一次操作，如果是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，則和或差仍為奇數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)保持不變.

如果是兩個(gè)奇數(shù)，則和或差為偶數(shù).奇數(shù)的個(gè)數(shù)減少2個(gè)；如果是兩個(gè)偶數(shù)，則和或差為偶數(shù).奇數(shù)

的個(gè)數(shù)保持不變.

由以上分析知，經(jīng)過(guò)操作，黑板上奇數(shù)的個(gè)數(shù)的奇偶性不變.

也=987

由于一開(kāi)始黑板上共有2奇數(shù)，即有奇數(shù)個(gè)奇數(shù).經(jīng)過(guò)若干次操作后，黑板上一定仍保留

著奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，故留下的一個(gè)數(shù)不可能為0.

II.找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)，理由如下：假設(shè)存在整數(shù)小4c滿足等式，則左邊四個(gè)式子中至少

有一個(gè)是偶數(shù)，不妨〃+〃一c為偶數(shù)，則。一方+c=(a+6+c)—2〃，c=(a+8+c)—2c,

(b+c—a)—(a+b+c)—2a都為偶數(shù),從而左邊能被16整除,而3388不

能被16整除，得出矛盾.

12.一盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，而一盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變?cè)瓉?lái)的

狀態(tài)，因1999=7X285+4,又A,B,C,。四盞燈的開(kāi)關(guān)各被拉動(dòng)了286次，而E,F,G三盞

燈的開(kāi)關(guān)各被拉動(dòng)了2X5次,所以,小剛拉動(dòng)了1999次開(kāi)關(guān)后.A,以C.Q四燈不改變狀態(tài).E.

F,G三燈將改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，故A,C,尸最后是開(kāi)著的，

專題27以形借數(shù)一一借助圖形思考

閱讀與思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主

題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常常有助于問(wèn)題的解決，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定

的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思考問(wèn)題的解法”.將

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問(wèn)題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來(lái)，是一個(gè)十分重要的解題方法，

現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個(gè)方面：

1.從給定的圖形獲取解題信息

數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述方法很多，既有用文字?jǐn)⑹龅?，也有通過(guò)圖形(如數(shù)軸、圖表、平面圖形等)來(lái)呈

現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個(gè)重要技能.

2.有意地畫圖輔助解題

圖形能直觀、形象地表示數(shù)最及關(guān)系，解題中有意地畫圖(如畫直線圖、列表、構(gòu)造圖

形等)能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解.

閱讀與思考

【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住廠、

其中的3枚，可套得一個(gè)三角形，所有可以套出來(lái)的三角形中，不同()

形狀的共有種。

解題思路：圓周長(zhǎng)保持不變，設(shè)圓周長(zhǎng)為9,套成的三角形三邊所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為x,y,z,則

x+y+z=9。不妨設(shè)借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可。

[例2]一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間

為x(h).兩車之間的距離為y(km).圖中的折線表示)，與文之間的函數(shù)關(guān)系-根據(jù)圖像進(jìn)行一下探

究：

信息讀取

(1)甲、乙兩地之間的距離為km。

(2)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義。

圖像理解

(3)求慢車和快車的速度。

(4)求線段BC所表示的)，與上之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍。

問(wèn)題解決

(5)若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘

后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時(shí)？

解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km用了12h等可宜接感知的淺層結(jié)構(gòu)

信息，也有在0~4小時(shí)之間以及稍后的一段時(shí)間內(nèi)，快車和慢車的速度之和為定值和C點(diǎn)表示快車在

某一時(shí)刻已到達(dá)終點(diǎn)等需要經(jīng)過(guò)分析或運(yùn)算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息。

【例3】某電視臺(tái)為了解A8,C三個(gè)特色欄目的收視情況，向28位觀眾進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查后得知:

每位觀眾至少收看了其中的一個(gè)欄目；沒(méi)有收看欄目4的觀眾中，收看欄目8人數(shù)為收看欄目C的兩

倍；在收看欄目A的觀眾中，只收看欄目A的觀眾人數(shù)比除了收看欄目A之外同時(shí)還收看其他欄目的

人數(shù)多1；只收看一個(gè)欄目的觀眾中，有一半沒(méi)有收看B或欄目C,求欄目A的收視率。

解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系。

【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前

每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè)。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第

四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說(shuō)每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問(wèn)：

出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)？

解題思路：文字羅列出來(lái)的條件，其相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀

也表示研究對(duì)象及其關(guān)系。

【例5】某班有50名同學(xué)，期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表:

一科二科三科

科目數(shù)外語(yǔ)數(shù)、語(yǔ)數(shù)、外語(yǔ)外數(shù)、語(yǔ)、外

人數(shù)32312916171810

這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說(shuō)明上述統(tǒng)計(jì)表有錯(cuò)誤。

解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、語(yǔ)文優(yōu)秀學(xué)生的集合，有利于分析與推斷。

能力訓(xùn)練

1.甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽

了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了________盤。

2.某市儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進(jìn)物資共用4小時(shí)，調(diào)進(jìn)物資2小時(shí)后開(kāi)始調(diào)出物資（調(diào)進(jìn)

物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲(chǔ)運(yùn)部庫(kù)存物資s（噸）與時(shí)間，（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如犯，這批物

資從開(kāi)始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時(shí)間是

3.甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車到5地后原地休息，甲、乙兩人的距離），（千米）

與乙騎車的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則A3兩地的距離為千

4.一臺(tái)計(jì)算機(jī)的硬盤分為3個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)的使用情況如圖所示，則這個(gè)硬盤的使用率為

口已用空間口可用空間

總計(jì)：12.5GB總計(jì)：15.8GB總計(jì)：10.2GB

5.AB,C三支足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽（每支隊(duì)與另一支隊(duì)只比賽一場(chǎng)，共三場(chǎng)），下表給出的是

比賽的部分結(jié)果：

球隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)勝負(fù)平總進(jìn)球數(shù)總失球數(shù)

4221

B2124

C237

請(qǐng)根據(jù)上表，填上4隊(duì)與C隊(duì)比賽時(shí)的比分為

6.如圖是某班全體學(xué)生外III時(shí)乘車、步行、騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（兩圖都不完整）,

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

索車步行騎車

A.該班總?cè)藬?shù)為50人B.騎車人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20%

C.步行人數(shù)30人D.乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍

7.某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了。千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回〃千米（〃＞。），再前

進(jìn)。千米，則此人離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間/的關(guān)系不意圖為（）。

S'S,

751to\t

A.B.C.D.

8.一圓形地塊，打算分A、B、。、。四個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰

［有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個(gè)數(shù)為

）。

A.66EL68

C.60E）.84

9.某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生；參加英語(yǔ)競(jìng)賽有12（）名女生，80名男生。己知該

?？偣灿?60名學(xué)生參加了競(jìng)賽，其中有75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，問(wèn)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加英

語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)有多少人？

10.某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間（單

位：h）如圖所示。若汽車行駛的平均速度為80km/h。而汽車每行駛1km需要的平均費(fèi)用為1.2元。試

指出此人從A城出發(fā)到8城的最短線路，并求出所需費(fèi)用最少多少元?

II.剛回到營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊(duì)因疲勞可在

營(yíng)地休息。小時(shí)再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營(yíng)地

10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊(duì)用1小時(shí)打通.已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/

時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度是(4十4)千米/時(shí).

(1)若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問(wèn)二分隊(duì)幾個(gè)小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？

(2)若需要二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾個(gè)小時(shí)？

13)下列圖中，分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時(shí)間X(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系,

請(qǐng)寫出你認(rèn)為所有可能合理圖像的代號(hào)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義.

12.已知函數(shù))，=|x+l|-2|x-l|+|x+2].

(I)在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象.