高等數(shù)學教程　上冊　第4版 習題及答案匯 范周田 第1-5章 函數(shù) - 不定積分

PAGEPAGE2綜合習題11．求下列函數(shù)的定義域：（1）解：函數(shù)的定義域為。（2）解：函數(shù)的定義域為。（3）解：由，解得函數(shù)的定義域為:。（4）解：由，解得函數(shù)的定義域為：（5）解：由，即，解得函數(shù)的定義域為：（6）解：由及，解得函數(shù)的定義域為：2.（1）設，求和。解：=2x-（2）已知，求。解：令，所以，（3）已知，求。解：令，，所以，（4）已知，求。解：由所以，，3.求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）解：由，有，將上述和交換，得的反函數(shù)為（2）解：由，有將上述和交換得的反函數(shù)為（3）解：由，有，將上述和交換得的反函數(shù)為（4）解：由，有，，，將上述和交換得的反函數(shù)為（5）解：由,有，解得，將上述和交換得的反函數(shù)為（6）解：由，當，，有，當，，有，將上述和交換得的反函數(shù)為4.回答下列問題，并對你的回答說明理由：(1)兩個偶函數(shù)之積一定是偶函數(shù)嗎？(2)兩個奇函數(shù)之積會有幾種結果?(3)有沒有一個既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？解：(1)是(2)積為偶函數(shù)（3）考查。5.將下列初等函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復合或者四則運算（1）解：（2）解：，(3)解：，，(4),解:,u=12lnv,6．若，求下列復合函數(shù)的解析表達式：(1)（2）（3）解：(1)，(2)，(3)，7.設是奇函數(shù)，是否還是奇函數(shù)？答：都不是。8.判斷下列函數(shù)的奇偶性，哪個是奇函數(shù)？偶函數(shù)、或是非奇非偶函數(shù)？答：(1)奇(2)偶(3)奇(4)奇.9.對于任一定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)，證明：（1）是偶函數(shù)；（2）是奇函數(shù)；（3）總可以表示為一個偶函數(shù)與和一個奇函數(shù)之和。證明：（1）因為，所以是偶函數(shù)。（2）因為，所以是奇函數(shù)。（3）因為。10.設函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，證明是以為周期的周期函數(shù)。證明：11.設存在二個實數(shù)使得對任意x,滿足及，試證明：是以為周期的周期函數(shù)。證明：因為12.將下列極坐標方程化為直角坐標方程：解：（1）x+y=1（2）13.將下列直角坐標方程化為極坐標方程：解：(1)(2);(3)(4)r=第二章極限與連續(xù)習題2.1證明以下數(shù)列是無窮?。?）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（2）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（3）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（4）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（5）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（6）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。證明以下數(shù)列極限（1）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以（2）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以（3）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以（4）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以習題2.21．證明以下函數(shù)是無窮?。?）證明：因為而時是無窮小，所以是無窮小。（2）證明：因為，不妨設，又而時，是無窮小，由無窮小比較定理，有是無窮小。（3）證明：因為而時是無窮小，由無窮小比較定理，有是無窮小。2．證明以下函數(shù)是無窮?。?）證明：因為而時，是無窮小，由無窮小比較定理，有是無窮小。（2）證明：因為而時，是無窮小，由無窮小比較定理，有是無窮小。（3）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，有是無窮小。3.證明下列極限：(1)證明：因為(4x+1)-9=而時是無窮小，由無窮小比較定理，有當時，是無窮小，所以(2)證明：因為而時是無窮小，由無窮小比較定理，有當時，是無窮小，所以，(3)證明：因為而時是無窮小，由無窮小比較定理，有當時，是無窮小，所以(4)證明：因為而時是無窮小，由無窮小比較定理，有當時，是無窮小，即4.設，證明。證明：因為所以即5.設，證明不存在。證明：因為所以即不存在6．證明:（1）證明：只要證明。因為，而，所以，，即（2）證明：只要證明。由，無妨設，于是所以，，即習題2.31．指出下列運算是否正確：（1）（2）（3）答：(1)—(3)都是錯誤的。因為：分式極限只有當分母極限不為零時可以應用極限運算法則。而該分式分母極限為零。兩個函數(shù)乘積的極限當兩個函數(shù)極限都存在時等于它們極限的乘積。而極限不存在。有限個函數(shù)和的極限等于它們各自極限的和。2.求下列極限：(1)解：(2)解：=(3)解：因為，，所以(4)解：（型）（5）解：（型）（6）解：（型）(7)解：（型）（8）（為正整數(shù)）解：（型）（9）解：（型）（10）解：（型）（型）（11）解：（型）(12)解：3.證明當時，函數(shù)是無窮小.證明：當時，和都是無窮小，且，所以，是無窮小，再由無窮小的運算性質(zhì)，有當時，函數(shù)也是無窮小。4.確定a,b的值,使下列極限等式成立：(1)(2)解：（1）由，（存在），且分式的分母為無窮小，所以其分子必是無窮小，即所以。（2）由且分式的分子分母都是多項式，分母是一次式，所以分子的二次和一次項系數(shù)都為零，即有，從而得5.證明不存在。證明：取，，則，但，習題2.41.求下列極限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：lim(6)(為常數(shù))解：當時，，(7)解：(8)解：2.求下列極限：(1)解：（型）(2)解：（型）(3)解：（型）(4)解：（型）（5）解：（6）解：3.根據(jù)所給的各種變化情況,討論下列函數(shù)的極限：(1)(2)解：（1）當，，，所以有（2）當當，因為，所以不存在。4.設，當滿足什么條件時。解：當，當所以，當，，即當時，5.用夾逼定理證明下列極限(1)(2)證明：(1)因為所以由夾逼定理有因為所以由夾逼定理有6.利用單調(diào)有界極限存在原理證明(1)數(shù)列的極限存在,并求出極限值。證明：因為數(shù)列單調(diào)上升，且有上界2。所以數(shù)列的極限存在，設其極限值為,因為，所以有，得習題2.51.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點，指出間斷點的類型:(1)解：是間斷點。又因為所以是第一類型間斷點(可去間斷點)，是第二類型間斷點（無窮間斷點）。(2)解：，是間斷點。又因為，所以是第一類型間斷點(可去間斷點)，所以是第二類型間斷點（無窮間斷點）(3)解：是間斷點。因為所以是第一類型間斷點(可去間斷點)。(4)解：因為當，當所以是第一類型間斷點(跳躍間斷點)。2.確定常數(shù),使下列函數(shù)為連續(xù)函數(shù):(1)解：只需考慮函數(shù)在分段點處的連續(xù)即可。因為若函數(shù)在分段點處的連續(xù)，則有從而有，即(2)解：只需考慮函數(shù)在分段點處的連續(xù)即可。因為若函數(shù)在分段點處的連續(xù)，則有從而有。（3）解：因為函數(shù)在處連續(xù)，所以即，3.求下列函數(shù)的極限(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：4.證明方程至少有一個根介于1和2之間。證明:令，則在閉區(qū)間連續(xù)，又，在區(qū)間上應用零點定理，有至少存在一點，使得，即方程至少有一個根介于1和2之間。5.證明方程的有三個根，它們分別在區(qū)間內(nèi)。證明:令，則在閉區(qū)間連續(xù)，又，，，所以有，在區(qū)間，及上分別應用零點定理，可得方程在區(qū)間內(nèi)各至少存在一個根。6.證明方程至少有一個根。證明:令，則在連續(xù)，又，在閉區(qū)間上應用零點定理，有至少存在一點，使得，即方程至少有一個根。7.設都在上連續(xù)，且試證明在內(nèi)至少存在一點，使得證明：令，則在連續(xù)，又，在閉區(qū)間上應用零點定理，有至少存在一點，使得，即習題2.61．設，為常數(shù)，當時，求的值，使（1），（2）解：（1）因為，故則有（2）因為，故則有2．求常數(shù)，使得當時，。解：，則3．當時，試確定下列無窮小的階數(shù)。(1)(2)(3)(4)解：(1)1階(2)1階(3)2階（4）3階4．求下列極限：（1）解：（2）解：limx→0lncos（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：5．求常數(shù)，使成立。解：，則，所以，6．求常數(shù),使下列函數(shù)在點連續(xù):解：，，所以，當時該函數(shù)在點連續(xù)。習題2.71設年利率為，求在下列情況下，10000元的投資額產(chǎn)生的未來收益。（1）以半年為期進行復利計算，1年末的收益。（2）以半年為期進行復利計算，5年末的收益。（3）按月進行復利計算，1年末的收益。（4）按月進行復利計算，5年末的收益。（5）連續(xù)復利計算，1年末的收益。（6）連續(xù)復利計算，5年末的收益。解：當本金為，年利率為，為每年的計息次數(shù)，則年后投資的總收益為本題中（1）因為以半年為期進行復利計算，一年中有兩個半年期，故，則1年末（）的收益為（元）（2）以半年為期進行復利計算，5年末（）的收益為（元）（3）以按月進行復利計算，一年中有12個月，則，則1年末（）的收益為（元）（4）按月進行復利計算，5年末（）的收益為，（元）（5）連續(xù)復利即為，1年末的收益為（元）（6）連續(xù)復利計算，5年末的收益為（元）2．設年利率為，未來收益為25000元，求在下列情況下的現(xiàn)值。（1）按年進行復利計算，未來收益在1年末取得。（2）按年進行復利計算，未來收益在20年末取得。（3）按季度進行復利計算，未來收益在1年末取得。（4）按季度進行復利計算，未來收益在20年末取得。（5）連續(xù)復利計算，未來收益在1年末取得。（6）連續(xù)復利計算，未來收益在20年末取得。解：記號同上題，未來收益，，現(xiàn)值（1），（元）（2），，（元）（3）按季度進行復利計算，未來收益在1年末取得。，，（元）（4），（元）（5）連續(xù)復利公式，計算現(xiàn)值的公告為，未來收益在一年末取得，（元）（6）（元）3．政府支出200億元，經(jīng)濟個體將增加收入的70%用于購買國內(nèi)產(chǎn)品，根據(jù)凱恩斯倍數(shù)效應模型求政府支出增加的總效應。解：，政府支出增加的總效應億元。4假設每年支付相等的10000元，終身支付，年利率為6%，按年計算復利，求（1）全部收益的現(xiàn)值。(2)在第50年之后收取款項的現(xiàn)值。(3)前50年收取款項的現(xiàn)值。解：設年利率為，按年計算復利，則第年支付的10000元的現(xiàn)值為，本題（1）令，則（2）在第50年之后收取款項的現(xiàn)值為（3）5.假設政府對年收入的稅收政策如下：（1）25000元及以下免稅。（2）超過25000部分征收40%。（3）對達到或超過100000征收一次性附加稅2000元。把稅后收入寫成稅前收入的函數(shù)，畫出函數(shù)圖形，討論函數(shù)的連續(xù)性，并討論該稅收政策對工作的影響。解：設為稅前收入，則稅后收入的函數(shù)為函數(shù)在時，圖形為斜率為1的直線，在時，仍是直線，但斜率為0.6，這意味著稅后收入增加的速度放緩，在處函數(shù)產(chǎn)生間斷，出現(xiàn)一個向下的跳躍，由70000到68000，這意味著如果你想獲得更多的稅后收入，且稅前收入在100000元和103333元之間，你應該主動捐獻一部分，使得稅前剩余不足100000元.6.假設某產(chǎn)品的銷售員的月工資構成為：（1）基本工資500元，（2）當月銷售額不超過20000時提成，（3）當月銷售額超過20000時提成。試畫出月工資與銷售業(yè)績的函數(shù)圖形并簡單分析。解：設為月工資，為月銷售額（單位元），則函數(shù)在點的左、右極限分別為2500和4500，圖形有幅度2000的向上跳躍。這意味著如果某人的銷售額接近但未達到元，他將更努力地工作以期獲得額外的獎金。如果銷售額遠遠未達到元或者已經(jīng)超過了元，這種額外的刺激就不復存在了。綜合習題2選擇或填空題：1.設數(shù)列滿足，，且極限與均存在,則（D）。必收斂必單調(diào)必有界以上結論都不對2.函數(shù)在處有定義是當時函數(shù)有極限的（D）。必要條件充分條件充分必要條件無關的條件3.函數(shù)在處有定義是函數(shù)在處連續(xù)的（A）。必要條件充分條件充分必要條件無關的條件4.若，，則必有（D）。，（為非零常數(shù)）5.若，，（為有限值），則下列哪個關系式非恒成立（D）。6.函數(shù)在時,若(D)不是無窮大,則必為有界極限不存在,則必為無界是無界的,則必為無窮大存在極限，則必有界7.下列極限存在的有（A）8.當，無窮小量是的(C)無窮小.高階B低階同階但非等價等價9.設函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，則等于（2）。10.設函數(shù)在點連續(xù),則等于（1）。11.若，則等于（-2）。12.（2）。13.若，則等于（-3）。14.若，則等于（-1）。15.（）。16.（2）。二．計算或證明題：1.證明以下數(shù)列是無窮?。?）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（2）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。2.證明以下數(shù)列極限（1），是常數(shù)。證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以（2）證明：因為而是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小，所以3．證明以下函數(shù)是無窮?。?）證明：因為而當是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。（2）證明：因為，不妨設，又而時是無窮小，由無窮小比較定理，得是無窮小。4.設，證明當時極限存在的充分必要條件是。證明：因為，又當時極限存在的充分必要條件是所以，即。5.設，證明時是無窮小。證明：因為，，所以，，即6．求下列極限：(1)解：(2)解：(3)解：因為，所以(4)解：（型）(5)解：（型）（6）解：（型）（7）解：（型）（8）解：（型）(9)解：（型）（10）解：（型）(11)解：時，。令，（型）(12)解：令，（型）（型）(13)(m,n為正整數(shù))解：（型）(14)解：（型）（15）解：（型）（16）解：（型）7．推斷下列極限值：(1)若求。(2)若求。（3）若求。解：（1）（2）（3）8．設，證明。證明：因為，所以，函數(shù)在點處即右連續(xù)又左連續(xù)，故連續(xù)，且。9．證明當時，與是同階的無窮小。證明：因為所以,當時，與是同階的無窮小。10.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,若有間斷點，指出間斷點的類型:(1)解：因為所以，是第一類型間斷點(可去)。(2)解：是間斷點。因為當，當，所以，是第二類型間斷點（無窮）。11.確定常數(shù),使下列函數(shù)為連續(xù)函數(shù):(1)解：只需考慮函數(shù)在分段點處的連續(xù)即可。因為若函數(shù)在分段點處的連續(xù)，則有從而有，所以有（2）解：只需考慮函數(shù)在分段點處的連續(xù)即可。因為若函數(shù)在分段點處的連續(xù)，則有從而有，所以有12研究下列函數(shù)的連續(xù)性。（1）（2）解：（1）因為所以，該函數(shù)在連續(xù)。（2）當時，，當時，；當時，，；所以該函數(shù)在區(qū)間中除去這點外都連續(xù)。13.求常數(shù)使得當時，。解：因為，當時，，所以分式的分子分母都是多項式，分母是二次式，若當時,分式的極限等于1，則分母的二次項系數(shù)為零，一次項系數(shù)為1，即有，所以，為任意常數(shù)，當時，。14.求常數(shù)使得當時，。解：因為當時，，則有只要分母次數(shù)高于分子的次數(shù)即可，所以只要為任意常數(shù)15.設,求的值使得(1)當時,是無窮小;(2)當時,是無窮大.解：（1）分式的分子分母都是多項式，分母是二次式，若當時,是無窮小，只要分子的三次和二次項系數(shù)都為零，即有，所以（2）分式的分子分母都是多項式，分母是二次式，當時,是無窮大，只要分子的三次項系數(shù)不為零，即有為任意常數(shù)。16.設，證明：至少存在一點使。證明：令，則在閉區(qū)間上連續(xù)，且，所以在區(qū)間上應用零點定理，可得方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個根。即至少存在一點使。17.設若在上恒不為零,則在上恒正(或恒負)。證明：用反證法。設在上非恒正(或非恒負)，即至少存在，使得在閉區(qū)間上應用零點定理，至少存在一點使得，這與已知條件在上恒不為零矛盾。18.設，證明：至少存在一點使證明：若，則或。若，令，則因為由介值定理至少存在一點使第三章導數(shù)與微分習題3.1用導數(shù)定義求下列函數(shù)的導數(shù)。(1)(2)解:（1）（2）2.設下列各題中的均存在,求下列各式的極限值。(1)(2)(3)（4）解：(1)(2)(3)（4）3.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導性：（1）（2）解：（1）因為所以在是連續(xù)的。又所以在是可導的，且。（2）因為故，即在即右連續(xù)也左連續(xù)，所以在是連續(xù)的。又因為，所以，在不可導。4.討論函數(shù)在點，及處的連續(xù)性和可導性。解：當時，故在不是右連續(xù)，所以在不連續(xù)的，因而不可導。當時，故，即在右連續(xù)且左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又所以有，即在是可導的。當時，故，即在右連續(xù)且也左連續(xù)，所以，在是連續(xù)的。又因為，故在不可導。5.一物體的運動方程為，求該物體在時的瞬時速度。解：物體在時的瞬時速度為。6．求曲線在點處的切線方程和法線方程。解：曲線在點處的切線的斜率為曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法線方程為7．試確定常數(shù)的值，使得函數(shù)在處可導。解：因為該函數(shù)在處可導，所以該函數(shù)在處連續(xù)。因此有即由得8．證明：在曲線上任意一點處的切線與兩個坐標軸所構成的面積都等于2。證明：設點是曲線的點，則，且在該點的切線方程為而，所以切線方程為，該切線方程在軸和為軸的截距長分別為，切線與兩個坐標軸所構成的面積為9．證明函數(shù)在處連續(xù)，但不可導。證明：因為所以，故該函數(shù)在處連續(xù)。又不存在故該函數(shù)在處不可導。10.設某商品的需求函數(shù)，求邊際需求函數(shù)。解這一結果表示該商品的價格每增加一個單位，需求量就會減小5個單位。習題3.21.利用導數(shù)的四則運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：（13）解：（14）解：（15）解：（16）解：求下列函數(shù)的導數(shù):（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：(7)解：（8)解：(9)解：(10)解：==(=（11）解：（12）解：3.設是可導的函數(shù),求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：4.求下列分段函數(shù)的導數(shù):(1)解：當時，當時，(2)解：當時，當時，因為，，，，，，所以當時，函數(shù)不連續(xù)，故不可導。5.求下列函數(shù)的二階導數(shù):(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：6.驗證函數(shù)滿足關系式。解：，將帶入方程左端有即滿足關系式。8．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù):(1)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(2)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(3)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得(4)解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得（5）解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得（6）解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得8.若是由方程所確定的隱函數(shù)，求解：方程兩邊對求導，有（1）由原方程當時，，將，代入（1）得（1）式兩邊再求導有將，及代入上式得9.求曲線在點處的切線方程和法線方程。解：對方程兩邊求導得解得，曲線在點處的切線斜率是所以，所求切線方程是即所求法線方程是即10．利用對數(shù)求導法，求下列函數(shù)的導數(shù):(1)解,(2)解,（3）解：上式兩邊求導得所以（4）解：上式兩邊求導得所以11.求下列函數(shù)的階導數(shù)。(1)(2)解（1），則，反復求導有。（2），則一般地，，。即，。習題3.3已知計算當時的及。解：求下列函數(shù)的微分(1)解：因為所以(2)解：因為所以(3)解：因為所以(4)解：因為所以(5)解：因為所以(6)解：因為所以(7)解：因為所以(8)解：因為所以(9)解：因為所以(10)解：因為所以3.求由方程所確定的函數(shù)的微分。解：方程兩邊對求導，有從上式中解出，得所以4.一個直徑為20厘米的球，球殼厚度為0.2厘米，求該球殼體積的近似值。解：半徑為的求體積為，當，球殼體積為5.計算下列各題的近似值(1)(2)解：（1）令，則解：（2）令，則習題3.4彈性分析1．給定需求函數(shù)，求(1)當下降到時的平均彈性;（2）當時的點彈性。解：(1)當，時，有，，的平均值為的平均值為平均彈性為（2），，當時的點彈性為2.給定需求函數(shù)，求價格時的需求彈性？并說明在此價格上需求是缺乏彈性、單位彈性還是富有彈性？解：由，得，所以。當時，需求為，此時需求彈性為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對值，說明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是缺乏彈性的。3．設某產(chǎn)品總成本C萬元是產(chǎn)量kg的函數(shù)為產(chǎn)品銷售價格為萬元，需求函數(shù)為試求：（1）產(chǎn)量為100kg水平上的邊際成本值；（2）銷售價格為4萬元水平上的需求彈性值，并說明其經(jīng)濟意義；（3）當時，如果價格上漲1%，總收益增加還是減少？變化多少？解：（1）邊際成本函數(shù)為，所以在產(chǎn)量為水平上邊際成本值（萬元）（2）計算邊際需求函數(shù)需求彈性函數(shù)為所以在銷售價格為4萬元水平上的需求彈性值為該產(chǎn)品的需求彈性的絕對值，說明該產(chǎn)品的需求函數(shù)是富于彈性的，需求量隨價格變化會呈現(xiàn)較大波動，同時，彈性說明需求量隨價格變化會呈現(xiàn)反向波動，即漲價則需求量減小，降價則需求量增加。（3）總收益函數(shù)，所以即總收益量將減少0.177%。綜合習題3一、填空選擇題：1.設函數(shù)在處可導，則下列極限值等于的是（C）ABCD2.已知，若極限，則等于（A）ABCD3.函數(shù)在點處連續(xù)是其在該點可導的（D）A充分而必要條件B必要而非充分條件C充分條件D必要條件二、計算或證明題1.設函數(shù)滿足，且其中均為常數(shù)，證明在處可導，且。證明：由，得，即2.討論下列函數(shù)在的連續(xù)性與可導性：（1）（2）解：（1）因為所以該函數(shù)在處右連續(xù)且左連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導數(shù)不等于右導數(shù)，故在函數(shù)不可導。（2）因為所以該函數(shù)在處左連續(xù)且右連續(xù)，故連續(xù)。該函數(shù)在左導數(shù)等于右導數(shù)，故在函數(shù)可導，且。3.函數(shù)在是否連續(xù)，是否可導？解：因為所以該函數(shù)在函數(shù)可導，故在函數(shù)連續(xù)。4.設為可導的偶函數(shù)，證明。證明：因為為偶函數(shù)，所以。又所以有。5．當為何值時，拋物線與相切（在某點處有相同的切線）？并求切點和切線方程。解：設拋物線與在點處相切，則兩條曲線在該點的導數(shù)相等，有，又，，解得，，切點，切線方程為6．設函數(shù)在處連續(xù)，，證明函數(shù)在處可導。若，函數(shù)在處可導嗎？解：由函數(shù)在處連續(xù)有。所以，函數(shù)在處可導。當時，有，則函數(shù)在處可導。當時，有，則函數(shù)在處不可導。7．設在處連續(xù)，且，證明：。證明：由函數(shù)在處連續(xù)有，又，所以8．設函數(shù)在內(nèi)可導，且，證明證明:因為所以9．若是可導的函數(shù),求下列函數(shù)的導數(shù):（1）（2）解：（1）(2)10．設且，證明：解：，而，故11.設是內(nèi)可導且周期為4的周期函數(shù)，又，求曲線在點處的切線斜率？解：是周期為4的周期函數(shù)，故，故曲線在點處的切線斜率12.設函數(shù)在點可導,試求極限。解：（1）又設函數(shù)在點可導，所以由（1）式第四章導數(shù)的應用習題4.11.用洛必達法則計算下列極限：(1)解:(2)解:(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：當時，，所以(13)解：(14)解：

=limx→（15）解：（16）解：

=elimx→+∞xln2.確定常數(shù)，使得．解：因為又所以，從而。3．求下列解法是否正確?若有錯,請給予修改.(1)(2)因不存在,故原極限不存在.解：（1）錯。因為該極限不是未定式。直接用極限運算法則得（2）錯。應用羅比達法則后得到的極限不存在不能推斷原極限不存在。事實上，習題4.2對函數(shù)在區(qū)間驗證羅爾定理的正確性。證明：函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在內(nèi)可導，，而由，有對函數(shù)在區(qū)間驗證拉格朗日中值定理的正確性。證明:函數(shù)在區(qū)間[0,1]連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，令有設，試證，存在，使得（1）（2）證明：（1）令，則，作輔助函數(shù)，滿足羅爾定理的條件，利用羅爾定理，存在，使得，即，故得（2）令，則，作輔助函數(shù)，滿足羅爾定理的條件，利用羅爾定理，存在，使得，即，即，故4.證明：當時，有.證令當時，有故（為常數(shù)）.令，得，即.5.證明下列不等式:(1)，證明：函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，存在使得即(2)證明：函數(shù)在連續(xù)，在可導，由拉格朗日中值定理，存在，使得即習題4.3單調(diào)性與凹凸性1.下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得到，列表如下：0+0單調(diào)增加極大值單調(diào)減少所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為。(2)解：函數(shù)的定義域，一階導數(shù)所以函數(shù)在上單調(diào)增加。（3）解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得到，列表如下10+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為。（4）解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得到和，列表如下1+00+單調(diào)增加極大值單調(diào)減少極小值單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為和。2.證明不等式：（1）證明：令，則因此，函數(shù)當時單調(diào)增加，故即有：（2）證明：令，則因此，函數(shù)當時單調(diào)增加，故即有：（3）證明：當時，.【證】令，則在上可導，且所以，在上單調(diào)遞增，有于是，在上單調(diào)遞增，故有即3.求下列函數(shù)的極值:(1)解：函數(shù)的定義域，令，得駐點為。列表如下：00+單調(diào)減少極小值0單調(diào)增加函數(shù)極小值是。(2)解：函數(shù)的定義域，令得駐點為和。列表如下：01+00+單調(diào)增加極大值-2單調(diào)減少單調(diào)減少極小值2單調(diào)增加函數(shù)的極大值是，極小值是。(3)解：函數(shù)的定義域，令，得駐點為和。列表如下：010+0單調(diào)減少極小值6單調(diào)增加極大值7單調(diào)減少函數(shù)的極大值是，極小值是。(4)解：函數(shù)的定義域，令一階導數(shù)，得駐點為，（舍去）。列表如下：20+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。(5)解：函數(shù)的定義域[0,+∞),一階導數(shù)，得到駐點。列表如下：10+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。（6）解：函數(shù)的定義域，令得駐點為。列表如下：20+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。4.當若為何值時，函數(shù)在處取得極小值。解：因為函數(shù)在處取得極小值，所以是函數(shù)的駐點。而由可得，再由，即得，將代入得。5.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值。(1)解：計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得駐點計算函數(shù)在駐點及兩個端點處的函數(shù)值,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(2)解:計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得駐點，計算函數(shù)在駐點及兩個端點處的函數(shù)值,,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(3)解：計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得駐點且函數(shù)在處不可導。計算函數(shù)在駐點，不可導的點及兩個端點處的函數(shù)值,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(4)解：計算函數(shù)的一階導數(shù)令一階導數(shù)，得駐點，計算函數(shù)在駐點及兩個端點處的函數(shù)值,,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。6．有一個邊長為48厘米的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的正方形，然后將四邊折起做成一個方形的無蓋容器，問截去的小正方形的邊長為多大時，所得容器的容積最大？解：設截下的小正方形的邊長為厘米，則方形容器的底邊為，高為，于是容積等于,令，得駐點，由于不在定義域內(nèi)，故舍去。只需考察駐點。當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極大值（立方厘米）。是函數(shù)在內(nèi)的惟一極大值點，所以是在上的最大值。因此，當被截去的小正方形的邊長等于8（厘米）時，容器容積最大，最大容積為（立方厘米）。7.某產(chǎn)品總成本（單位：萬元）為年產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)其中味待定常數(shù)。已知固定成本為400萬元，且當年產(chǎn)量時，總成本，問年產(chǎn)量為多少時，才能使得平均單位成本最低？最低單位成本值為多少？解：由于總成本，從而當產(chǎn)量時的總成本，說明常數(shù)項為固定成本，因此將已知條件：時，代入到總成本函數(shù)中，得到從而可確定常數(shù)所以，總成本函數(shù)表達式為于是，平均單位成本函數(shù)為計算一階導數(shù)令一階導數(shù)，得到惟一駐點，再計算二階導數(shù)于是，惟一駐點為極小值點，也是最小值點。此時所以，當年產(chǎn)量為200時，才能使得平均單位成本最低，為每噸4萬元。8.某產(chǎn)品總成本（單位：元）為日產(chǎn)量（單位：千克）的函數(shù)產(chǎn)品銷售價格為每千克元。它與日產(chǎn)量的關系為問日產(chǎn)量為多少時，才能使得每日產(chǎn)量全部銷售后獲得的總利潤最大，最大利潤值為多少?解：生產(chǎn)產(chǎn)品，以每千克元價格銷售，總收益為又已知生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本為于是，每日產(chǎn)量全部銷售后得到的總利潤為由于產(chǎn)量；又由于銷售價格，即，得到，因此，總利潤函數(shù)的定義域為。

計算一階導數(shù)令一階導數(shù)，得到惟一駐點為惟一極大值點，也是最大值點，此時所以，當日產(chǎn)量為45時，才能使得每日產(chǎn)量全部銷售后獲得的總利潤最大，最大利潤為800元。習題4.41.求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點：(1)解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)，令二階導數(shù)，得到根，列表如下00+拐點所以，函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為，拐點為。(2)解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)，令二階導數(shù)，得到根和。列表如下：10+0拐點拐點所以，函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為和，下凸區(qū)間為，拐點為和。(3)解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)，令二階導數(shù)，得到根，列表如下：00+拐點所以函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為，拐點為。（4）解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)，令二階導數(shù)，得到根，列表如下：1+0拐點:所以函數(shù)曲線的下凸區(qū)間為，上凸區(qū)間為，拐點為。2．求下列曲線的漸近線：(1)解：由，可知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。又可知曲線的一條斜漸近線。(2)解：由，可知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。又，可知是曲線的一條水平漸近線。(3)解：由，且，可知及是曲線的兩條鉛垂?jié)u近線。3.描繪下列函數(shù)的圖形：(1)解：函數(shù)的定義域：；函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和拐點：令，得和。列表如下:000+曲線曲線間斷曲線0曲線漸近線：由本節(jié)習題5.(1)知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。曲線的一條斜漸近線。描幾個點：最后作出函數(shù)的圖形如下：(2)解：定義域：函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和拐點：令，有，即。當時，，曲線上凸；當時，，曲線下凸；當時，，點為曲線的拐點。漸近線：因為所以和為兩條水平漸近線。曲線稱為邏輯斯蒂曲線，它是實際應用中的一條重要的曲線。習題4.5柯西中值定理與泰勒公式求函數(shù)在處的泰勒公式。解：，，，，，函數(shù)在處的泰勒公式是寫出下列函數(shù)的麥克勞林公式：(1)解：(2)解：(3)解：3.設函數(shù)，求的帶皮亞諾型余項的二階泰勒公式。解：，求函數(shù)處的帶皮亞諾型余項的二階泰勒公式，并求。解：，因為所以利用泰勒公式求下列極限：（1）解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：令，則當時，。6.試問下列函數(shù)當時是的幾階無窮小。(1);(2)(3)(4)解：（1），（一階）（2），（三階）（3），（三階）（4），（四階）綜合習題4:一、填空選擇題：1.設函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)二階可導，且，，則函數(shù)曲線在開區(qū)間內(nèi)（C）。（A）上升且是下凸的（B）下降且是下凸的（C）上升且是上凸的（D）下降且是上凸的2.若點為函數(shù)曲線的拐點，則常數(shù)的值為（A）。（A）（B）（C）（D）3.函數(shù)滿足拉格朗日中值定理條件的區(qū)間是（D）。（A）（B）（C）（D）4.如果函數(shù)與對于區(qū)間內(nèi)每一點都有，則在內(nèi)必有（D）（A）（B）（為常數(shù)）（C）（D）（為常數(shù)）5.，則方程有（B）。（A）一個實根（B）二個實根（C）三個實根（D）無實根6.當時，，當時，，則必定為函數(shù)的（D）。（A）駐點（B）極大值點（C）極小值點（D）以上都不正確二．計算或證明題1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值:（1）解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)所以，函數(shù)在定義域上單調(diào)增加，無極值。（2）解：函數(shù)的定義域，計算函數(shù)的一階導數(shù)令得駐點為且函數(shù)在點導數(shù)不存在。列表如下：0+不存在0+單調(diào)增加極值：單調(diào)減少單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為和，極大值是。2.計算下列函數(shù)的極限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：3.證明下列不等式：（1）。證明：令，則所以函數(shù)當時單調(diào)增加，故既有：（2）證明：令，則所以函數(shù)當時單調(diào)減少，由，故既有：3.證明：設，則當時，，則單調(diào)增加，，即又由于，所以是偶函數(shù)，當時，也有故4.設在上可導，證明：至少存在一點，使得證明：利用常數(shù)法構造輔助函數(shù)。設，則，令則，在上滿足羅爾定理條件，故存在，使得，由，即得5.某工廠生產(chǎn)某型號的車床，年產(chǎn)量為臺，分若干批進行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準備費為元。設產(chǎn)品均勻投入市場，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批，即平均庫存量為批量的一半。設每年每臺庫存費為元。求（1）一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和與批量的函數(shù)關系。（2）在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)多少臺時，最小。解：（1）庫存量=每件產(chǎn)品的庫存量批量的一半=生產(chǎn)準備費=每批生產(chǎn)準備費批數(shù)=所以，一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和為，（2）計算一階導數(shù)，令一階導數(shù)為零，即，得到唯一的駐點，（因為，所以舍去）再計算二階導數(shù)，所以唯一駐點為唯一的極小值點，也是最小值點，所以，在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)臺時，一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和最小。6.某化工廠日產(chǎn)能力最高位1000噸，每日產(chǎn)量的總成本為（單位：元）是日產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)求當日量為100噸時的邊際成本。求當日量為100噸時的平均單位成本。解：（1）邊際成本函數(shù)為日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本為（2）平均單位成本為日產(chǎn)量為100噸時的平均單位成本為7.欲做一個容積為500立方米的無蓋圓柱形蓄水池，已知池底單位造價為周圍單位造價的兩倍。問蓄水池的尺寸應如何設計才能使總造價最低？解：設圓柱形的蓄水池的底半徑為r米，高為h米，則有設圓柱形蓄水池周圍單位造價為每平米a元，圓柱形的蓄水池的底單位造價為每平米2a元，總造價為計算一階導數(shù)，令一階導數(shù)為零，即，得到唯一的駐點r=5,再計算二階導數(shù),,所以唯一駐點r=5為唯一的極小值點，也是最小值點，為最優(yōu)解。此時圓柱形蓄水池的高h=10米，所以，圓柱形蓄水池的底半徑r=5,高h=10米才能使得總造價最低。第五章不定積分習題5.11.求下列不定積分：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：

(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：（12）解：（13）解：(14)解：(15)解：(16)解：2.設曲線通過點，且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數(shù)，求該曲線的方程．解：設曲線方程為，因為曲線任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數(shù)，所以滿足：因而存在常數(shù)，使得又曲線通過點，所以有故，所以所求曲線方程為3.證明函數(shù),和都是的原函數(shù)．證明：因為，，所以，函數(shù),和都是的原函數(shù)．習題5.２1.求下列不定積分：（第一類換元法）（1）解:（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：（13）解：（14）解：(15)解：(16)解：(17)解：(18)解：(19)解：(20)解：(21)解：(22)解：(23)解：(24)解：=(25)解：(26)解：=(27)解：(28)解：(29)解：（30）解：(31)解:(32)解：2.求下列不定積分：（第二類換元法）(1)解：令，則=(2)解：令，則=2(3)解：令，則(4)解：令，則（5）解：令，則（6）解：令，，則(7)解：令，則(8)解：令，則=2習題5.31.求下列不定積分：(1)解：