六年級數(shù)學(xué)上冊 第14講：公式與通項歸納（教師版）（人教版）

第十四講公式與通項歸納通項簡單的說就是一個數(shù)列的規(guī)律，通過題目中的數(shù)據(jù)與等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式之間的聯(lián)系，推導(dǎo)出新數(shù)列的規(guī)律。通項歸納法需要借助于代數(shù)，將算式化簡，將“形似”的復(fù)雜算式及數(shù)列，用字母表示后化簡為常見的一般形式。1.能用數(shù)列的通項公式解題。2.用代數(shù)的形式表示數(shù)，并通過化簡代數(shù)式來化簡算式。例1：________。分析：方法一：令，則，兩式相減，得。方法二：找規(guī)律計算得到答案：例2：在一列數(shù)：中，從哪一個數(shù)開始，1與每個數(shù)之差都小于？分析：這列數(shù)的特點(diǎn)是每個數(shù)的分母比分子大2，分子為奇數(shù)列，要1－＜，解出n＞999.5，從n＝1000開始，即從開始，滿足條件答案：例3：計算：分析：先找通項公式原式答案：例4：分析：（法1）：可先找通項原式（法2）：原式答案：例5：計算：．分析：本題的通項公式為，沒辦法進(jìn)行裂項之類的處理．注意到分母，可以看出如果把換成的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來，最后單獨(dú)剩下一個．將項數(shù)和為100的兩項相加，得，所以原式．（或者，可得原式中99項的平均數(shù)為1，所以原式）答案：例6：計算：分析：通項歸納，原式答案：A1.計算：分析：先找通項：原式答案：2.計算：分析：先通項歸納：，原式答案：3.分析：原式＝＝答案：4.分析：原式答案：5.計算：分析：通項公式：，原式答案：B6.分析：找通項原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項，所以有原式答案：7.計算：分析：由于，則，原式答案：8.計算：分析：（法1）：可先來分析一下它的通項情況，原式=（法2）：答案：9.分析：通項為：，原式答案：10.分析：原式==答案：C11.分析：雖然很容易看出＝，＝……可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因為這不象分?jǐn)?shù)裂項那樣能消去很多項．我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式，于是我們又有．．減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢？ ＝＝ ＝ ＝＝＝＝．答案：12.計算：分析：通項歸納：原式=答案：13.計算：分析：原式通項歸納，原式答案：14.計算：（共條分?jǐn)?shù)線）分析：………………，所以條分?jǐn)?shù)線的話，答案應(yīng)該為答案：1.下面的算式是按一定規(guī)律排列的,那么第100個算式的得數(shù)是多少?4+3,5+6,6+9,7+12,…解答：仔細(xì)觀察可知:每個算式的第一個加數(shù)組成一個公差為1的等差數(shù)列:4,5,6,7,…;每個算式的第二個加數(shù)組成一個公差為3的等差數(shù)列:3,6,9,12,…;若要求第100個算式的得數(shù),只要分別算出每個等差數(shù)列的第100項即可.根據(jù)通項:.第一個加數(shù)為:4+(100-1)×1=4+99=103;第二個加數(shù)為:3+(100-1)×3=3+99×3=3×100=300.所以第100個算式的得數(shù)為:103+300=403.2.若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人.如果共有304人,最外圈有幾人?解答：最外圈人數(shù)有:+(8-1)×4=(+28)人.所以共有人數(shù)可表示為:(+28)×8÷2=304+28=76=48=24最外圈有:24+28=52(人).3.在1~100這一百個自然數(shù)中所有不能被11整除的奇數(shù)的和是多少?解答：(1+3+5+7+…+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)=(1+99)×50÷2-[(11+99)×4+55]=2500-495=2005.4.在2949,2950,2951,…2997,2998這五十個自然數(shù)中,所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多多少?解答：根據(jù)題意可列出算式:(2950+2952+…+2998)-(2949+2951+…+2997)注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等,公差相同,且對應(yīng)項差為1,所以25項就差25個1,即原式=(2950-2949)+(2952-2951)+…+(2998-2997)=1+1+1+…+125個25個=25.5.求一切除以4后余1的兩位數(shù)的和?解答：除以4后余1的最小兩位數(shù)是多少?12+1=13.除以4后余1的最大兩位數(shù)是多少?96+1=97.除以4后余1的兩位數(shù)一共有多少個?96÷4-2=22(個).它們的和是:13+17+21+…+97=(13+97)×22÷2=1210.1.在1000到2000之間，所有個位數(shù)字是7的自然數(shù)之和是多少？解答： 首先寫出符合條件數(shù)列，在求值。 數(shù)列為：1007,1017,1027….1997 和為(1007+1997)×100÷2=1502002.在1～100這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？解答： 我們先計算1～100得自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的自然數(shù)和了 1+2+……+100＝(1+100)×100÷2=5050 9+18+27+……+99＝(9+99)×11÷2=594 所有不能被9整除的自然數(shù)和：5050-594=44563.在1～100這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少？解答： 先計算1～100的奇數(shù)和，再減去能被9整除的奇數(shù)和。 1+3+……+99-(9+27+45+……+99)＝(1+99)×50÷2－(9+99)×6÷2=21764.在1～200這二百個自然數(shù)中，所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的和是多少？解答：先求出能被4整除的自然數(shù)和，再求出能被11整除的自然數(shù)和，將二者相加，但是此時得到的不是題目需要的和，因為44、88等數(shù)在兩個數(shù)列中都存在，也就是說能被44整除的數(shù)列被計算了兩次，所以我們還應(yīng)改減去能被44整除的數(shù)列和。 (4+8+12+……+200)+(11+22+33+……+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2＝65415.有一列數(shù)：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。求從第一個數(shù)起到第1993個數(shù)這1993個數(shù)之和。解答： 經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這是由兩個數(shù)列組成的數(shù)列，一個是全1，另一個是公差為1，首項為1993的等差數(shù)列，把1,1993,1992這樣三個數(shù)算為一組，整個數(shù)列到第1993個的時候應(yīng)該有1993÷3＝664組，最后一個數(shù)是1，所以總共有665個1，等差數(shù)列有664×2項，最后四個數(shù)是1,667,666,1 分為兩個數(shù)列求和： (1993+666)×1328÷2+1×665＝17662416.求所有加6以后能被11整除的三位數(shù)的和。解答： 我們可以先求能被11整除的三位數(shù)和，然后再減去項數(shù)×6，同時還要求這些三位數(shù)減去6后仍然是三位數(shù)。 110-6+121-6+……+990-6+1001-6=(110+1001)×92÷2-6×92＝505547.利用公式，計算： 解答