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第十四講公式與通項歸納通項簡單的說就是一個數(shù)列的規(guī)律,通過題目中的數(shù)據(jù)與等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式之間的聯(lián)系,推導(dǎo)出新數(shù)列的規(guī)律。通項歸納法需要借助于代數(shù),將算式化簡,將“形似”的復(fù)雜算式及數(shù)列,用字母表示后化簡為常見的一般形式。1.能用數(shù)列的通項公式解題。2.用代數(shù)的形式表示數(shù),并通過化簡代數(shù)式來化簡算式。例1:________。分析:方法一:令,則,兩式相減,得。方法二:找規(guī)律計算得到答案:例2:在一列數(shù):中,從哪一個數(shù)開始,1與每個數(shù)之差都小于?分析:這列數(shù)的特點是每個數(shù)的分母比分子大2,分子為奇數(shù)列,要1-<,解出n>999.5,從n=1000開始,即從開始,滿足條件答案:例3:計算:分析:先找通項公式原式答案:例4:分析:(法1):可先找通項原式(法2):原式答案:例5:計算:.分析:本題的通項公式為,沒辦法進行裂項之類的處理.注意到分母,可以看出如果把換成的話分母的值不變,所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來,最后單獨剩下一個.將項數(shù)和為100的兩項相加,得,所以原式.(或者,可得原式中99項的平均數(shù)為1,所以原式)答案:例6:計算:分析:通項歸納,原式答案:A1.計算:分析:先找通項:原式答案:2.計算:分析:先通項歸納:,原式答案:3.分析:原式==答案:4.分析:原式答案:5.計算:分析:通項公式:,原式答案:B6.分析:找通項原式,通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律,這樣我們就可以輕松寫出全部的項,所以有原式答案:7.計算:分析:由于,則,原式答案:8.計算:分析:(法1):可先來分析一下它的通項情況,原式=(法2):答案:9.分析:通項為:,原式答案:10.分析:原式==答案:C11.分析:雖然很容易看出=,=……可是再仔細(xì)一看,并沒有什么效果,因為這不象分?jǐn)?shù)裂項那樣能消去很多項.我們再來看后面的式子,每一項的分母容易讓我們想到公式,于是我們又有..減號前面括號里的式子有10項,減號后面括號里的式子也恰好有10項,是不是“一個對一個”呢? == = ====.答案:12.計算:分析:通項歸納:原式=答案:13.計算:分析:原式通項歸納,原式答案:14.計算:(共條分?jǐn)?shù)線)分析:………………,所以條分?jǐn)?shù)線的話,答案應(yīng)該為答案:1.下面的算式是按一定規(guī)律排列的,那么第100個算式的得數(shù)是多少?4+3,5+6,6+9,7+12,…解答:仔細(xì)觀察可知:每個算式的第一個加數(shù)組成一個公差為1的等差數(shù)列:4,5,6,7,…;每個算式的第二個加數(shù)組成一個公差為3的等差數(shù)列:3,6,9,12,…;若要求第100個算式的得數(shù),只要分別算出每個等差數(shù)列的第100項即可.根據(jù)通項:.第一個加數(shù)為:4+(100-1)×1=4+99=103;第二個加數(shù)為:3+(100-1)×3=3+99×3=3×100=300.所以第100個算式的得數(shù)為:103+300=403.2.若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人.如果共有304人,最外圈有幾人?解答:最外圈人數(shù)有:+(8-1)×4=(+28)人.所以共有人數(shù)可表示為:(+28)×8÷2=304+28=76=48=24最外圈有:24+28=52(人).3.在1~100這一百個自然數(shù)中所有不能被11整除的奇數(shù)的和是多少?解答:(1+3+5+7+…+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)=(1+99)×50÷2-[(11+99)×4+55]=2500-495=2005.4.在2949,2950,2951,…2997,2998這五十個自然數(shù)中,所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多多少?解答:根據(jù)題意可列出算式:(2950+2952+…+2998)-(2949+2951+…+2997)注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等,公差相同,且對應(yīng)項差為1,所以25項就差25個1,即原式=(2950-2949)+(2952-2951)+…+(2998-2997)=1+1+1+…+125個25個=25.5.求一切除以4后余1的兩位數(shù)的和?解答:除以4后余1的最小兩位數(shù)是多少?12+1=13.除以4后余1的最大兩位數(shù)是多少?96+1=97.除以4后余1的兩位數(shù)一共有多少個?96÷4-2=22(個).它們的和是:13+17+21+…+97=(13+97)×22÷2=1210.1.在1000到2000之間,所有個位數(shù)字是7的自然數(shù)之和是多少?解答: 首先寫出符合條件數(shù)列,在求值。 數(shù)列為:1007,1017,1027….1997 和為(1007+1997)×100÷2=1502002.在1~100這一百個自然數(shù)中,所有不能被9整除的數(shù)的和是多少?解答: 我們先計算1~100得自然數(shù)和,再減去能被9整除的自然數(shù)和,就是所有不能被9整除的自然數(shù)和了 1+2+……+100=(1+100)×100÷2=5050 9+18+27+……+99=(9+99)×11÷2=594 所有不能被9整除的自然數(shù)和:5050-594=44563.在1~100這一百個自然數(shù)中,所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少?解答: 先計算1~100的奇數(shù)和,再減去能被9整除的奇數(shù)和。 1+3+……+99-(9+27+45+……+99)=(1+99)×50÷2-(9+99)×6÷2=21764.在1~200這二百個自然數(shù)中,所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的和是多少?解答:先求出能被4整除的自然數(shù)和,再求出能被11整除的自然數(shù)和,將二者相加,但是此時得到的不是題目需要的和,因為44、88等數(shù)在兩個數(shù)列中都存在,也就是說能被44整除的數(shù)列被計算了兩次,所以我們還應(yīng)改減去能被44整除的數(shù)列和。 (4+8+12+……+200)+(11+22+33+……+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2=65415.有一列數(shù):1,1993,1992,1,1991,1990,1,……,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。求從第一個數(shù)起到第1993個數(shù)這1993個數(shù)之和。解答: 經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn),這是由兩個數(shù)列組成的數(shù)列,一個是全1,另一個是公差為1,首項為1993的等差數(shù)列,把1,1993,1992這樣三個數(shù)算為一組,整個數(shù)列到第1993個的時候應(yīng)該有1993÷3=664組,最后一個數(shù)是1,所以總共有665個1,等差數(shù)列有664×2項,最后四個數(shù)是1,667,666,1 分為兩個數(shù)列求和: (1993+666)×1328÷2+1×665=17662416.求所有加6以后能被11整除的三位數(shù)的和。解答: 我們可以先求能被11整除的三位數(shù)和,然后再減去項數(shù)×6,同時還要求這些三位數(shù)減去6后仍然是三位數(shù)。 110-6+121-6+……+990-6+1001-6=(110+1001)×92÷2-6×92=505547.利用公式,計算: 解答
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