數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件 第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋

數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋章節(jié)內(nèi)容3-1 靈敏度分析的作用3-2 圖解法靈敏度分析3-3 優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋3-4 傳統(tǒng)靈敏度分析的不足3-5 電子通信公司問題

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1of2)完成本章后，你將能夠：LO3.1 使用圖解法對(duì)線性規(guī)劃問題的解進(jìn)行靈敏度分析。LO3.2 使用計(jì)算機(jī)程序包如ExcelSolver對(duì)線性規(guī)劃問題的解進(jìn)行靈敏度分析，并解釋輸出結(jié)果。LO3.3 解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的對(duì)偶值(影子價(jià)格)。LO3.4 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍。學(xué)習(xí)目標(biāo)(2of2)LO3.5 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的可行范圍。LO3.6 解釋傳統(tǒng)靈敏度分析做出的假設(shè)，并能在假設(shè)不滿足時(shí)更新和求解新問題。LO3.7 解釋線性規(guī)劃問題中變量的遞減成本值。LO3.8 解釋沉沒成本和相關(guān)成本之間的差異，并能夠?qū)⑦m當(dāng)?shù)某杀炯{入線性規(guī)劃模型。引言靈敏度分析是研究當(dāng)一個(gè)線性規(guī)劃問題中的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，它對(duì)函數(shù)最優(yōu)解的影響程度。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)約束條件的右端值因?yàn)殪`敏度分析研究的是系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。所以在進(jìn)行靈敏度分析之前，首先要計(jì)算出原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。因此靈敏度分析有時(shí)也被稱為后優(yōu)化分析。首先，我們將介紹如何使用圖解法進(jìn)行雙變量線性規(guī)劃問題的靈敏度分析。其次，我們將介紹如何使用優(yōu)化軟件得到靈敏度分析報(bào)告。最后，我們將通過建模和求解三個(gè)更大的線性規(guī)劃問題來擴(kuò)展對(duì)第二章中建模相關(guān)內(nèi)容的討論。3-1靈敏度分析的作用靈敏度分析對(duì)于決策者的重要性不言而喻。在真實(shí)世界里，周圍的環(huán)境、條件是在不斷變化的。運(yùn)用靈敏度分析，我們只需要改變相應(yīng)的系數(shù)就可以得到答案，而不需建立新的模型。靈敏度分析還可以用來分析模型的系數(shù)。哪個(gè)更能左右最優(yōu)解。例如，如果一個(gè)系數(shù)的最優(yōu)性范圍很窄，或者其估計(jì)值接近最優(yōu)性限制之一，管理層可能希望審查系數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，如有必要，用新的目標(biāo)函數(shù)解決修改后的線性規(guī)劃問題。靈敏度分析的另一個(gè)用途是分析約束條件的右端值變化對(duì)最優(yōu)解的影響。3-2目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化圖解法求解Par公司問題，如果目標(biāo)函數(shù)的斜率在直線A與直線B之間，極點(diǎn)③是最優(yōu)解

3-2極點(diǎn)③的CS最優(yōu)范圍

3-2極點(diǎn)③的CD最優(yōu)范圍

3-2極點(diǎn)②的CS最優(yōu)范圍

3-2同時(shí)變化

3-2約束條件的右端值

3-2對(duì)偶值

3-3優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋在上一章中，我們說明了如何解釋線性規(guī)劃求解程序的結(jié)果。

在取近似值后，我們得到最優(yōu)解是S=540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和

D=252個(gè)高級(jí)球袋，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是7668美元。我們將解釋對(duì)最優(yōu)解的靈敏度分析的輸出結(jié)果，特別是每個(gè)決策變量的遞減成本和約束條件的對(duì)偶值

。需要注意的是，ExcelSolver使用影子價(jià)格這個(gè)術(shù)語，而不是對(duì)偶值。3-3Par公司問題的遞減成本和對(duì)偶值遞減成本解釋對(duì)偶值解釋一個(gè)變量的遞減成本等于這個(gè)變量非負(fù)約束的對(duì)偶值.非負(fù)約束為S,D≥0。因?yàn)閷⒎秦?fù)約束更改為S,D≥1對(duì)最優(yōu)解S=540和

D=252的值沒有影響，因此這個(gè)非負(fù)約束的對(duì)偶值（即遞減成本）均為零。對(duì)偶值列包含關(guān)于最優(yōu)解時(shí)四種資源的邊際價(jià)值的信息。切割和印染（約束1）的對(duì)偶值為4.375，精加工（約束3）的對(duì)偶值為6.9375，這告訴我們，增加一個(gè)小時(shí)的切割和印染時(shí)間將使最優(yōu)解的價(jià)值增加大約4.38美元，而增加一個(gè)小時(shí)的精加工時(shí)間將使最優(yōu)解的價(jià)值增加約6.94美元3-3Par公司問題的允許增加和減少值目標(biāo)系數(shù)右端值變量S目前的利潤(rùn)系數(shù)為10，允許增加的幅度為3.5，允許減少的幅度為3.7。因此，只要標(biāo)準(zhǔn)球袋的利潤(rùn)貢獻(xiàn)在10?3.7=6.30美元和10+3.5=13.50美元之間，生產(chǎn)

S=540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和D=252個(gè)高級(jí)球袋就是最優(yōu)解對(duì)變量D的允許增加和減少也可以做類似的觀察。只要約束條件的右端值處于所給出的下限和上限之間，相應(yīng)的對(duì)偶值將會(huì)是右端值增加1個(gè)單位帶來的最優(yōu)解的變化。我們把這個(gè)對(duì)偶值適用的范圍稱作可行域。例如，最終約束條件的右端值（約束條件3）顯示出對(duì)偶值6.94美元對(duì)增加到900和減少到580都是可行的。3-3對(duì)偶值的深入理解相關(guān)成本取決于決策的制定，這種成本依賴于決策變量值的變化而變化。相關(guān)成本反映在目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中。當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒成本時(shí)，對(duì)偶值就可以被解釋為公司愿意為得到額外一個(gè)單位這種資源而付出的金額.沉沒成本是不會(huì)受決策影響的，無論決策變量為何值，這種成本都會(huì)發(fā)生。

沉沒資源成本不反映在目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)中。當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒成本時(shí)，對(duì)偶值則可以被解釋為這種資源的價(jià)值超過其成本的數(shù)額，也就是增加一個(gè)單位這種資源時(shí)，公司能付出的最大成本量。3-3Par公司問題修改后的模型假設(shè)管理者希望生產(chǎn)一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋（輕便球袋）。設(shè)計(jì)部門估計(jì)每個(gè)新型球袋將需要0.8小時(shí)的切割和印染時(shí)間、1小時(shí)的縫制時(shí)間、1小時(shí)的成型時(shí)間和0.25小時(shí)的檢查和包裝時(shí)間。由于這種設(shè)計(jì)是獨(dú)一無二的，管理者認(rèn)為在當(dāng)前銷售期內(nèi)每個(gè)輕便球袋可以獲利12.85美元。令L為輕便球袋的產(chǎn)量，將其加入目標(biāo)函數(shù)以及4個(gè)約束條件，可以得到如下修改后的模型：3-3修改后的Par公司問題的計(jì)算機(jī)求解最優(yōu)方案里包含280個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋、0個(gè)高級(jí)球袋和428個(gè)輕便球袋，最優(yōu)方案的值是8299.80美元。計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果表明，S和L的遞減成本都為0，這是因?yàn)橄鄳?yīng)的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。然而，變量D的遞減成本為-1.15美元，表明如果高級(jí)球袋的產(chǎn)量從0增加到1，那么最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值將減少1.15美元。另外一種解釋是，如果我們將高級(jí)球袋的成本降低1.15美元約束1和2分別有91.6和32小時(shí)的未用容量，而約束3和4在最優(yōu)解中是有效的，每增加一小時(shí)將使最優(yōu)解的價(jià)值增加8.10美元和19美元。3-4傳統(tǒng)靈敏度分析的不足從計(jì)算機(jī)輸出中獲得的傳統(tǒng)的靈敏度分析可以為求解方案對(duì)輸入數(shù)據(jù)變化的靈敏性提供有用的信息。計(jì)算機(jī)軟件提供的傳統(tǒng)的靈敏度分析還存在一些不足。本節(jié)討論三個(gè)不足：多系數(shù)同時(shí)變化系統(tǒng)輸出的靈敏度的結(jié)果是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設(shè)所有其他的系數(shù)都保持不變。因此，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件的右端值的變化范圍只能適用于單個(gè)系數(shù)發(fā)生變化的情況。約束系數(shù)的變化傳統(tǒng)的靈敏度分析沒有對(duì)約束條件中變量系數(shù)的變化帶來的變化提供信息。相反，我們必須簡(jiǎn)單地更改系數(shù)并重新運(yùn)行模型。特殊約束條件的對(duì)偶值兩邊都有變量的特殊約束條件往往會(huì)使對(duì)偶值產(chǎn)生非直覺的解釋。3-4Par公司問題的非直覺對(duì)偶值

3-4高級(jí)球袋需求對(duì)總利潤(rùn)的影響為了更直觀地感受這個(gè)比例變化對(duì)總利潤(rùn)的影響，我們以5%為間隔，分別試驗(yàn)這個(gè)比例從5%增長(zhǎng)到100%的情況下利潤(rùn)的變化。這要求我們重解20個(gè)不同的模型。右圖給出了改變這個(gè)比例對(duì)利潤(rùn)的影響..可以看到，當(dāng)比例值大于55%時(shí)曲線變得更陡了，這說明從55%開始利潤(rùn)下降的速度發(fā)生了改變。因此，管理層從利潤(rùn)的角度考慮，30%是一個(gè)合理的要求，如果將這個(gè)比例增加到超過55%，那么將會(huì)帶來重大的利潤(rùn)損失。3-5電子通信公司問題下表簡(jiǎn)要地列出了電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤(rùn)、廣告費(fèi)用、人力成本。公司的廣告費(fèi)用預(yù)算是5000美元，3個(gè)店面銷售渠道的最大的銷售時(shí)間是1800小時(shí)。公司現(xiàn)階段決定制造的產(chǎn)品數(shù)為600件，此外，全美連鎖零售店要求最少銷售150件產(chǎn)品。電子通信公司面臨的問題是如何制定一個(gè)分銷策略使其總的銷售利潤(rùn)最大。公司必須決定如何分配各堂道的銷售量、銷售力度以及廣告預(yù)算。3-5建立數(shù)學(xué)模型我們首先寫出電子通信公司的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)：利潤(rùn)最大化這個(gè)模型有4個(gè)約束條件，分別是：廣告支出<=廣告預(yù)算銷售時(shí)間<=最大可用時(shí)間產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量=公司要求的產(chǎn)量零售分銷量≥合同要求的最低分銷量對(duì)于這個(gè)模型，我們定義如下4個(gè)決策變量：M=航海器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量B=商用器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量

3-5計(jì)算機(jī)求解及其含義解釋,第1部分圖中的目標(biāo)函數(shù)值告訴我們模型的最大利潤(rùn)為48450美元。最優(yōu)解為M=25，B=425，R=150，D=0。決策變量D的遞減成本是-45，這告訴我們每生產(chǎn)一個(gè)通過直接郵購(gòu)渠道銷售的產(chǎn)品，利潤(rùn)就會(huì)減少45美元。換種說法，也就是說通過直接郵購(gòu)渠道銷售的產(chǎn)品利潤(rùn)必須由現(xiàn)在的60美元增加45美元，達(dá)到105美元，這樣才可以使用這種渠道來銷售產(chǎn)品。廣告預(yù)算約束條件的對(duì)偶值為3，表明每增加1美元廣告預(yù)算，目標(biāo)函數(shù)的值（利潤(rùn)）可以增加3美元。約束2上的25小時(shí)松弛告訴我們，分配的銷售團(tuán)隊(duì)1800小時(shí)的最大銷售時(shí)間足夠賣出產(chǎn)品。約束3的對(duì)偶值表明，如果公司的產(chǎn)量增加1個(gè)單位，利潤(rùn)就可以增加60美元。約束4顯示，這個(gè)約束條件允許減少的量是150，表明這種承諾可以減少到0，每減少1單位損失值是17美元。3-5計(jì)算機(jī)求解及其含義解釋,第2部分目標(biāo)函數(shù)系數(shù)表顯示了在當(dāng)前解或策略保持最優(yōu)的范圍內(nèi)，允許增加和減少的幅度。直郵渠道的45美元允許增加與其對(duì)偶值的前述觀察一致。右側(cè)約束值表可以與關(guān)于對(duì)偶值的前述觀察結(jié)合使用。例如，約束1的允許增加顯示，如果廣告預(yù)算增加最多850美元，利潤(rùn)將增加三倍(約束1的對(duì)偶值為3)。此外，約束4的150單位允許增加意味著，這種承諾可以減少到零，同時(shí)以每單位17美元的速率增加利潤(rùn)。3-5電子通信公司的最大利潤(rùn)策略重要的是再次指出，計(jì)算機(jī)軟件包為線性規(guī)劃問題提供的靈敏度分析僅考慮一次一個(gè)變化，所有其他系數(shù)保持原始規(guī)定。如前所述，同時(shí)變化最好通過重新求解問題來處理?？傊?，電子通信的利潤(rùn)最大化分銷策略涉及以下三個(gè)方面：（1）分配多少產(chǎn)量（2）分配多少?gòu)V告預(yù)算（3）分配多少銷售時(shí)間。本章小結(jié)本章的開頭對(duì)靈敏度分析問題進(jìn)行了討論：詳細(xì)研究了線性規(guī)劃問題系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解所產(chǎn)生的影響.首先，我們介紹了如何使用圖解法分析目標(biāo)函數(shù)。系數(shù)和約束條件的右端值的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。由于圖解法只限于分析雙決策