解三角形解答題中范圍問題歸納總結(jié)

解三角形解答題中范圍問題歸納總結(jié)一、與三角形的邊相關(guān)的范圍問題1．設(shè)函數(shù).(1)求的對(duì)稱軸方程；(2)已知中，角的對(duì)邊分別是，若，，求的最小值.2.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.(1)求角的大?。?2)若，求邊的中線長度的最大值.3．在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的最小值.4.設(shè)函數(shù).（1）求的最大值，并寫出使取最大值時(shí)的集合；（2）已知中，角的對(duì)邊分別為，若，，求的最小值.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，且在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，求的最大值.6.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，求的取值范圍．7.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足：①的外心在三角形內(nèi)部（不包括邊）；②.（1）求的大?。唬?）求代數(shù)式的取值范圍.8.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍.9.已知的內(nèi)角的對(duì)邊長分別為，且.(1)求角的大小；(2)設(shè)為邊上的高，，求的范圍.【總結(jié)】三角形中最值或范圍問題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值或范圍問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.二、與三角形的角相關(guān)的范圍問題1.已知，，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由，，成等比數(shù)列，可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可得角的范圍，進(jìn)而可得的取值范圍.2.已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在中,為角的對(duì)邊，且滿足求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由，根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)三角形的性質(zhì)以及二倍角的余弦公式可得，求出.從而可得，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍.3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是,且(1)求角A的大小;(2)求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】先對(duì)三角式子進(jìn)行恒等變形化簡，然后利用角得到角B的取值范圍，通過三角函數(shù)的有界性，確定所給條件的取值范圍.4．已知在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）若，求角；（2）求的最小值.【思路引導(dǎo)】根據(jù)（1）可知，即，由余弦定理得，根據(jù)基本不等式可得結(jié)果.5.已知銳角的三個(gè)內(nèi)角、、滿足．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的外接圓的圓心是，半徑是1，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】根據(jù)向量減法的三角形法則及平面向量的數(shù)量積公式可得，根據(jù)是銳角三角形，可得，再由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.6.設(shè)三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為,的面積滿足.(1)求角的值;(2)求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由三角形的內(nèi)角和定理，可得，運(yùn)用兩角和差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．7.在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足.(1)求角的大小;(2)求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由(1)知，化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．8.的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，且求角C；求的最大值．【思路引導(dǎo)】由第一問得到原式等價(jià)于，化簡后為，再根據(jù)角的范圍得到三角函數(shù)的范圍即可。9．已知向量且與向量所成角為，其中的內(nèi)角。（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】由(1)的結(jié)論,我們可得,則，然后結(jié)合的取值范圍,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),我們即可求出的取值范圍.三、與三角形的面積相關(guān)的范圍問題1.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】根據(jù)余弦定理可得，再利用基本不等式求最值，代入三角形面積公式可得面積的最大值.2．已知向量，，函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，，，是角，，的對(duì)邊，若，，，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】由，可得，再由余弦定理得出的范圍，即可求出面積的最大值.3.已知函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對(duì)邊分別為.若，，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】結(jié)合平移變換公式可得，則，故，.結(jié)合余弦定理有，則，即面積的最大值為.4．函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解折式；（2）在中，角滿足，且其外接圓的半徑，求的面積的最大值．【思路引導(dǎo)】利用三角函數(shù)恒等變換與三角形內(nèi)角和定理，化簡求的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出，從而求出三角形面積的最大值.5.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.（1）求的值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的值.6．在中，角,,所對(duì)的邊分別為，，，且.（Ⅰ）求證：角,,成等差數(shù)列；（Ⅱ）若，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】根據(jù)余弦定理得，從而得到ab的最值，進(jìn)而得到面積的最值。7.在中，角所對(duì)邊分別是，滿足（1）求角；（2）若，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】根據(jù)余弦定理的式子及基本不等式推出，再利用三角形面積公式加以計(jì)算，即可求得面積的最大值.8．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）求角的大??；（2）求的面積的最大值．【思路引導(dǎo)】由余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，，再利用即可得出．9.中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.(1)求;(2)若成等比數(shù)列,求的值;(3)若邊上的中線長為,求面積的最大值.10.如圖，在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求的大小；（2）若，為外一點(diǎn)，，，求四邊形面積的最大值.【思路引導(dǎo)】由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC為等腰直角三角形，可求，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最大值．11．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面積的最大值.【思路引導(dǎo)】結(jié)合（I）的結(jié)論，由余弦定理可求得，利用基本不等式求得的最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式確定的面積的最大值.12.已知的面積為，且,．（Ⅰ）若的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為，且，求的面積；（Ⅱ）求的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）由條件利用余弦函數(shù)的圖象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根據(jù)f（）=1求得B，再利用條件求得A，從而△ABC是直角三角形，從而計(jì)算△ABC的面積S．（2）利用正弦定理求得△ABC的外接圓半徑R，再化減從而求得它的最大值．13.在中,角所對(duì)的邊分別為,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.14．中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知．⑴求的大?。虎迫?，且，求面積的最大值．【思路引導(dǎo)】由可知為中點(diǎn)，然后利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再利用三角形的面積公式即可計(jì)算求解.15.已知的內(nèi)角滿足.（1）求角；（2）若的外接圓半徑為1，求的面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意，根據(jù)正弦定理角化邊得，再借助余弦定理即得角A的值；（2）先根據(jù)正弦定理，而面積=，求出bc的最大值即可，可利用基本不等式來求最值【總結(jié)】1.三角函數(shù)問題在求解時(shí)要注意結(jié)合正弦定理的邊角互化關(guān)系快速轉(zhuǎn)換求解，涉及面積最值時(shí)明確面積公式結(jié)合基本不等式求解是借此題第二問的關(guān)鍵.2.解三角形問題不是孤立的，而是跟其他相關(guān)知識(shí)緊密聯(lián)系在一起，通過向量的工具作用，將條件集中到三角形中，然后利用三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及其相關(guān)知識(shí)解題，是常見的解題思路，為此，熟練掌握向量的基本概念和向量的運(yùn)算，熟練進(jìn)行三角變換和熟練運(yùn)用正弦定理以及余弦定理及均值不等式是解題的關(guān)鍵．四、與三角形的周長相關(guān)的范圍問題1.已知，若，且的圖象相鄰的對(duì)稱軸間的距離不小于.（1）求的取值范圍.（2）若當(dāng)取最大值時(shí)，，且在中，分別是角的對(duì)邊，其面積，求周長的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出的解析式，利用二倍角的正弦、余弦公式化簡，再利用兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由圖象中相鄰的對(duì)稱軸間的距離不小于，得到周期的一半大于等于，即可求出的范圍；（2）當(dāng)取最大值1時(shí)，由，可得，由，可得由余弦定理可得結(jié)合基本不等式可得周長的最小值.2.已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理把已知邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，結(jié)合兩角和與差的正弦公式可得，再討論角特別是的范圍后可證得結(jié)論．（2）由（1）可得，已知條件可化為，從而易得的取值范圍．4.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求角；（2）若，求的周長的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)正弦定理邊化角可得：，整理計(jì)算有，則.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理得，即，結(jié)合均值不等式可知(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則周長的最大值為.5.已知是的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足.（1）求角；（2）若，求周長的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合及正弦定理整理可得，所以，從而．（2）在三角形中先由余弦定理、再結(jié)合基本不等式可得，從而可得到，由此可得，可得周長的最大值．6.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）已知在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，的外接圓半徑為，求周長的最大值．【思路引導(dǎo)】先別函數(shù)化為．（1）令，解出后可得圖象的對(duì)稱中心．（2）由可得，結(jié)合正弦定理化簡得，故，由此可得，由三角形外接圓的半徑可得，再結(jié)合余弦定理及基本不等式可得，所以可得周長的最大值為9.7.在銳角中，，.（1）若的面積等于，求、；（2）求的周長的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用已知條件通過正弦定理集合三角形的面積，余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周長，利用三角函數(shù)的有界性求解即可．8.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）求；（2）求的周長的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，化簡得，利用余弦定理可得結(jié)果；（2）根據(jù)正弦定理可得，，故，求得，可得，從而可得得周長的取值范圍.9.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，中線，滿足.（1）求；（2）若，求的周長的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）在兩個(gè)三角形和中分別余弦定理得到，，根據(jù)，得到，，化簡得到，由余弦定理得到；（2）根據(jù)正弦定理得到，化為一次一角的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)角的范圍得到函數(shù)值的范圍.10.△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，．（1）求角的大?。唬?）求△周長的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）由根據(jù)正弦定理以及兩角好的正弦公式可得，從而可得角的大小；（2）由，利用余弦定理可得，配方后利用基本不等式可得，從而可得△周長的最大值．11.在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且，.（1）求邊的值；（2）求的周長的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)由