2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形2三角形中的幾何計算課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修5

PAGE三角形中的幾何計算(20分鐘35分)1.在平行四邊形ABCD中,已知AB=1,AD=2,·=1,則||= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】選B.由·=||·||cosA=1,得cosA=QUOTE,A=60°,故B=120°.由余弦定理知AC2=12+22-4cos120°=7,故||=QUOTE.2.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中點,AM=4,則BC等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)BC=a,則BM=CM=QUOTE.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB,即72=QUOTE+42-2×QUOTE×4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42+QUOTE+2×4×QUOTE·cos∠AMB.②①+②得72+62=42+42+QUOTE,所以a=QUOTE.3.(2024·南陽高一檢測)已知△ABC是等腰直角三角形,點D在線段BC的延長線上,若BC=AD=2QUOTE,則CD= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE-QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】選D.由圖可得∠ACD=135°,AC=2,所以cos135°=QUOTE=-QUOTE,CD2+2QUOTECD-4=0,解得CD=QUOTE-QUOTE或CD=-QUOTE-QUOTE(舍去).4.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的內(nèi)切圓面積為.

【解析】不妨設(shè)a=6,b=c=12,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,由QUOTE(a+b+c)r=QUOTEbcsinA,得r=QUOTE.所以S內(nèi)切圓=πr2=QUOTE.答案:QUOTE5.已知三角形的一邊長為7,這條邊所對的角為60°,另兩邊長之比為3∶2,則這個三角形的面積是.

【解析】設(shè)另兩邊長分別為3x,2x,則cos60°=QUOTE,解得x=QUOTE,故兩邊長分別為3QUOTE和2QUOTE,所以S=QUOTE×3QUOTE×2QUOTE×sin60°=QUOTE.答案:QUOTE6.如圖所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB=QUOTE,求BC邊上的高AD的長.【解析】在△ABC中,由已知設(shè)AB=7x,AC=8x,x>0,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.又因為0°<C<180°,所以C=60°或120°.若C=120°,由8x>7x,知B也為鈍角,不合題意,故C≠120°.所以C=60°.由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos60°,所以x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.所以AB=21或AB=35.在Rt△ADB中,AD=ABsinB=QUOTEAB,所以AD=12QUOTE或20QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.A是△ABC中最小的內(nèi)角,則sinA+cosA的取值范圍是 ()A.(-QUOTE,QUOTE) B.[-QUOTE,QUOTE]C.(1,QUOTE) D.(1,QUOTE]【解析】選D.sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE.因為A為△ABC中最小的內(nèi)角,所以A∈QUOTE,所以A+QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE,所以sinA+cosA∈(1,QUOTE].2.(2024·寧波高一檢測)在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若a=1且B=2A,則b的取值范圍是 ()A.(QUOTE,QUOTE) B.(1,QUOTE)C.(QUOTE,2) D.(0,2)【解析】選A.由a=1且B=2A及正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,所以b=2cosA.又因為△ABC為銳角三角形,所以QUOTE解得QUOTE<A<QUOTE,故cosA∈QUOTE,故b∈(QUOTE,QUOTE).3.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D是BC上的一點,且=QUOTE,則AD的長為 ()A.4(QUOTE-1) B.4(QUOTE+1)C.4(3-QUOTE) D.4(3+QUOTE)【解析】選C.因為=QUOTE,BC=8,所以BD=4(QUOTE-1).又因為QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以AB=QUOTE×BC=QUOTE×8=8(QUOTE-1).在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=[8(QUOTE-1)]2+[4(QUOTE-1)]2-2×8(QUOTE-1)×4(QUOTE-1)×cos60°=48(QUOTE-1)2,所以AD=4(3-QUOTE).4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=2,C=QUOTE,且a+b=3,則△ABC的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以22=a2+b2-2abcosQUOTE,即4=(a+b)2-3ab,又a+b=3,所以ab=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEabsinQUOTE=QUOTE.5.(2024·成都高一檢測)已知△ABC中,sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,則△ABC的形態(tài)為 ()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.無法確定【解析】選C.因為sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,由兩角和差的正弦公式可得2sinBcosA=sin2A,所以sinBcosA=sinAcosA,若cosA=0,即A=QUOTE時此時△ABC是直角三角形;若cosA≠0,即sinB=sinA,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形;綜上,△ABC是等腰三角形或直角三角形.【光速解題】由sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A可以快速看出B=A時明顯成立,故可能為等腰三角形,直角三角形的推斷由cosA可快速推斷.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·新余高一檢測)如圖所示,在△ABC中,已知∠A∶∠B=1∶2,角C的平分線CD把三角形面積分為3∶2兩部分,則cosA=.

【解題指南】由角C的平分線CD把三角形面積分為3∶2兩部分可得QUOTE=QUOTE=QUOTE,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,再依據(jù)∠A∶∠B=1∶2即可求出答案.【解析】因為角C的平分線CD把三角形面積分為3∶2兩部分,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又∠A∶∠B=1∶2,所以QUOTE=QUOTE=2cosA=QUOTE,所以cosA=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】若E,F是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點,則tan∠ECF=.

【解析】方法一:不妨設(shè)AB=6,則AC=BC=3QUOTE,由余弦定理得CE=CF=QUOTE,再由余弦定理得cos∠ECF=QUOTE,所以sin∠ECF=QUOTE,解得tan∠ECF=QUOTE.方法二:坐標(biāo)法設(shè)AB=6,AC=BC=3QUOTE,F(1,0),E(-1,0),C(0,3),利用向量的夾角公式得cos∠ECF=QUOTE,解得tan∠ECF=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·馬鞍山高一檢測)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4,則四邊形ABCD的面積的最大值為.

【解析】連接AC在△ABC中,因為AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC為等邊三角形,在△ACD中,CD=2,AD=4,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+4-2×4×2cosD=20-16cosD,則四邊形ABCD的面積為S=S△ABC+S△ACD=QUOTEAC2+QUOTEAD·CD·sinD=QUOTE(20-16cosD)+4sinD=5QUOTE+8QUOTE=5QUOTE+8sin(D-60°),當(dāng)D-60°=90°,即D=150°時sin(D-60°)取得最大值1,故四邊形ABCD的面積取得最大值為5QUOTE+8.答案:5QUOTE+88.在△ABC中,已知AB=QUOTE,cos∠ABC=QUOTE,AC邊上的中線BD=QUOTE,則sinA=.

【解析】如圖所示,取BC的中點E,連接DE,則DE∥AB,且DE=QUOTEAB=QUOTE.因為cos∠ABC=QUOTE,所以cos∠BED=-QUOTE.設(shè)BE=x,在△BDE中,利用余弦定理,可得BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED,即5=x2+QUOTE+2×QUOTE×QUOTEx.解得x=1或x=-QUOTE(舍去),故BC=2.在△ABC中,利用余弦定理,可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=QUOTE,即AC=QUOTE.又sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積.【解析】如圖,連接BD,則四邊形面積S=S△ABD+S△CBD=QUOTEAB·AD·sinA+QUOTEBC·CD·sinC.因為A+C=180°,所以sinA=sinC.所以S=QUOTE(AB·AD+BC·CD)·sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA,在△CDB中,BD2=42+62-2×4×6cosC=52-48cosC,所以20-16cosA=52-48cosC.又cosC=-cosA,0°<A<180°,所以cosA=-QUOTE,A=120°,所以四邊形ABCD的面積S=16sinA=8QUOTE.10.(2024·臨川高一檢測)如圖所示,在四邊形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=QUOTE.(1)求△ACD的面積;(2)若BC=2QUOTE,求AB的長.【解析】(1)因為∠D=2∠B,cosB=QUOTE,所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-QUOTE.因為D∈(0,π),所以sinD=QUOTE=QUOTE.因為AD=1,CD=3,所以△ACD的面積S=QUOTEAD·CD·sinD=QUOTE×1×3×QUOTE=QUOTE.(2)在△ACD中AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所以AC=2QUOTE.因為BC=2QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以AB=4.1.我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式:設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=