2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.7.1簡單幾何體的側面積學案含解析北師大版必修2

PAGE7簡潔幾何體的面積與體積7．1簡潔幾何體的側面積考綱定位重難突破1.進一步相識柱體、錐體、臺體及其簡潔組合體的結構特征，了解它們的有關概念．2.記住柱體、錐體、臺體的側面積的計算公式．3.會利用柱體、錐體、臺體的側面積、表面積公式解決一些簡潔幾何體.重點：求簡潔幾何體的側面積和表面積．難點：常與三視圖、線面位置關系的證明結合命題．方法：函數(shù)與方程思想的應用.授課提示：對應學生用書第23頁[自主梳理]一、圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開圖及側面積公式幾何體側面綻開圖的形態(tài)側面積公式圓柱矩形S圓柱側＝2πrl圓錐扇形S圓錐側＝πrl圓臺扇環(huán)S圓臺側＝π(r1＋r2)l其中r為底面半徑，l為側面母線長，r1，r2分別為圓臺的上、下底面半徑．二、直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積幾何體側面積公式直棱柱S直棱柱側＝ch正棱錐S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′正棱臺S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′其中c′，c分別為上、下底面周長，h為高，h′為斜高．[雙基自測]1．將一個邊長為a的正方體切成的27個全等的小正方體，則表面積增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24解析：邊長為a的正方體的表面積為S1＝6a2，由邊長為a的正方體切成的27個全等的小正方體的表面積和為S2＝27×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2))＝18a2，因此表面積增加了12a2，故選B項．答案：B2．已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為()A．6π B．8πC．9π D．10π解析：因為圓柱的表面積為2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圓柱的表面積為6π.答案：A3．正六棱柱(底面是正六邊形，各側面是全等的矩形)的高為5cm，最長的對角線為13cm，則它的側面積為________．解析：設正六棱柱的底面邊長為a，則底面正六邊形的最長對角線長為2a，∴52＋(2a)2＝132，a＝6，∴S正棱柱側＝6ah＝180(cm2)．答案：180cm24．圓柱的軸截面面積為S，則圓柱的側面積為________．解析：設圓柱底面半徑為r，高為h，則2rh＝S，S側＝2πrh＝πS.答案：πS5．正四棱柱的高為3cm，對角線長為eq\r(17)cm，則正四棱柱的側面積為________cm2.解析：設底面邊長為acm，則eq\r(\r(2)a2＋32)＝eq\r(17)，∴a＝2，∴S側＝ch＝4×3×2＝24(cm2)．答案：24授課提示：對應學生用書第24頁探究一旋轉體的側面積、表面積[典例1]圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等．求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．[解析]如圖，設圓柱和圓錐的底面半徑分別為r、R，圓錐母線長為l，則有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).∴R＝2r，l＝eq\r(2)R.∴eq\f(S圓柱表,S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)πr2＋4πr2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)＋1πr2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.在解與旋轉體有關的問題時，常常須要畫出其軸截面，將空間問題轉化為平面問題．1．若一個圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為______cm2，表面積為______cm2.解析：如圖所示，∵軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圓錐的側面積S側＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．答案：8π12π探究二直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積[典例2]一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80[解析]由三視圖可知本題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以該直四棱柱的表面積為：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).[答案]C1．正棱錐和正棱臺的側面分別是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清相對應的元素求解很簡潔．2．多面體的表面積等于各側面與底面的面積之和，對正棱錐中的計算問題往往要構造直角三角形求解，對正棱臺則須要構造直角梯形或等腰梯形求解．2．設正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的全面積．解析：設正三棱錐底面邊長為a，斜高為h′，如圖所示，過O點作OE⊥AB，連接SE，則SE⊥AB，即SE＝h′.∵S側＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴OS2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)·\r(3)h′))2＝h′2，h′＝2eq\r(3).∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3).∴S側＝2S底＝18eq\r(3).∴S全＝S側＋S底＝9eq\r(3)＋18eq\r(3)＝27eq\r(3).探究三與表面積有關的綜合問題[典例3]正四棱臺兩底面邊長分別為3和9.(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側面積；(2)若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高．[解析](1)如圖，設O1，O分別為上，下底面的中心，過C1作C1E⊥AC于E，過E作EF⊥BC于F，連接C1F，則C1由題意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)×(9－3)＝3eq\r(2).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝3eq\r(2)，又EF＝CE·sin45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3，∴斜高C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r(3\r(2)2＋32)＝3eq\r(3).∴S側＝eq\f(1,2)(4×3＋4×9)×3eq\r(3)＝72eq\r(3).(2)由題意知，S上底＋S下底＝32＋92＝90，∴eq\f(1,2)(4×3＋4×9)·h斜＝32＋92＝90.∴h斜＝eq\f(90×2,12＋36)＝eq\f(15,4).又EF＝eq\f(9－3,2)＝3，h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(9,4).解決該類問題，關鍵是正確找出幾何體中相對應元素，把它們放在一個平面圖形中，利用平面幾何的學問解決．體現(xiàn)了空間問題平面化的思想．3．如圖是一建筑物的三視圖，現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，問須要油漆多少千克？(尺寸如圖，單位：米，π取3.14，結果精確到0.01千克)解析：建筑物為一組合體，上面是底面半徑為3米，母線長為5米的圓錐，下面是底面邊長為3米，高為4米的正四棱柱．圓錐的表面積S表＝πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.四棱柱的一個底面積S底＝32＝9，四棱柱的側面積＝S側＝4×4×3＝48.所以外壁面積S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．答：共需約22.88千克油漆．函數(shù)思想在求幾何風光 積最值中的應用[典例]在底面半徑為R，高為h的圓錐內有一內接圓柱，求內接圓柱的側面積最大時圓柱的高，并求此時側面積的最大值．[解析]如圖，設圓柱的高為x，其底面半徑為r，則eq\f(r,R)＝eq\f(h－x,h)，所以r＝eq\f(Rh－x,h).圓柱的側面積S側＝2πrx＝eq\f(2πR,h)·x(h－x)＝－eq\f(2πR,h)(x2－h(huán)x)＝－eq\f(2πR,h)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(h,2)))2－\f(h2,4)))＝－eq\f(2πR,h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(h,2)))2＋eq\f(πhR,2).當x＝eq\f(h,2)時，S側最大值＝eq\f(πhR,2)，即內接圓柱的側面積最大時圓柱的高為eq\f(h,2)，此時側面積的最大值為eq\f(πhR,2).[感悟提高](1)在遇到旋轉體的問題時，常常通過軸截面、側面綻開圖來解決問題，體現(xiàn)了“以面代體”．(2)幾何體的面積最值問題常常利用函數(shù)思想求解，而幾何體表面及截面長度最小值問題常轉化為平面問題利用幾何性質加以解決．[隨堂訓練]對應學生用書第25頁1．已知正四棱錐的底面邊長為6，側棱長為5，則此棱錐的側面積為()A．6B．12C．24D．48解析：∵正四棱錐的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，∴S側＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.答案：D2．一個幾何體的三視圖如圖所示，主視圖與左視圖都是腰長為5、底邊長為8的等腰三角形，俯視圖是邊長為8的正方形，則此幾何體的側面積為()A．48 B．64C．80 D．120解析：依據(jù)幾何體的三視圖，可知該幾何體是正四棱錐，其底面邊長為8，斜高為5，則該幾何體的側面積為4×eq\f(1,2)×8×5＝80，故選C.答案：C3．若一個圓柱的軸截面是一個面積為16的正方形，則該圓柱的表面積是()A．16πB．24πC．20π D．28π解析：由已知得圓柱的底面半徑為2，高為4，于是側面積為2π×2×4＝16π，一個底面面積為π×22＝4π，于是表面積S＝16π＋4π×2＝24π.答案：B4．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為________．解析：設圓臺的母線長為l，上、下底面半徑分別為r，R，則l＝eq\f(1,