2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直一同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三十直線與平面垂直(一)(15分鐘30分)1.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中,肯定能推出m⊥β的是 ()A.α∥β,且m?α B.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n?β D.m⊥n,且n∥β【解析】選B.A中,由α∥β,且m?α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β內(nèi)的隨意直線,再由m∥n,知m也垂直于β內(nèi)的隨意直線,所以m⊥β,B符合題意;C,D中,m?β或m∥β或m與β相交,不符合題意.2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)射影長(zhǎng)的2倍,則AB與平面α所成角的大小為 ()A.60° B.45° C.30° D.90°【解析】選A.斜線段、垂線段以及射影構(gòu)成直角三角形.如圖所示,∠ABO即是斜線段與平面所成的角.又AB=2BO,所以cos∠ABO=QUOTE=QUOTE,所以∠ABO=60°.3.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 ()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC【解析】選C.因?yàn)镺A⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC?平面OBC,所以O(shè)A⊥平面OBC.4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分別是棱DD1,D1C1的中點(diǎn),則平面AB1C,平面ACC1A1,平面OCN,平面A1【解析】因?yàn)锳C⊥平面BDD1,所以AC⊥OM,同理可證B1C⊥OM,AC∩B1C=C,所以O(shè)M⊥平面AB1C;同理,OM⊥平面A答案:平面AB1C,平面A1C5.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1,AB1∩A1B=M.求證:A1【證明】因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1,A1B∩AB1所以A1B⊥AM,AC⊥AA1,因?yàn)锳B∩AA1=A,所以AC⊥平面ABB1A1所以AC⊥AB1,因?yàn)锳M∩AC=A,所以A1B⊥平面MAC.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知直線m,n是異面直線,則過(guò)直線n且與直線m垂直的平面 ()A.有且只有一個(gè) B.至多一個(gè)C.有一個(gè)或多數(shù)個(gè) D.不存在【解析】選B.若異面直線m,n垂直,則符合要求的平面有一個(gè),否則不存在.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線B1C1與平面AB1DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,連接A1C交平面AB1D1于O,O為體對(duì)角線A1C的三等分點(diǎn),直線B1C1與平面AB1D1所成角就是直線A1D1與平面AB1D1所成角,A1O⊥平面AB1D1,因?yàn)锽1C1∥A1D1,所以∠A1D1O即為直線B1C1與平面AB1D1所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則A1C=QUOTEa,A1O=QUOTEa,sin∠A1D1O=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.若一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等,則該正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選B.正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等,作SO⊥底面ABCD,垂足為O,所以∠SBO是該正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角,設(shè)AB=a,則SB=a,OB=QUOTEBD=QUOTE,所以cos∠SBO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠SBO=45°,所以該正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角為45°.4.(2024·南昌高一檢測(cè))如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,那么,在這個(gè)空間圖形中必有 ()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面【解析】選B.依據(jù)折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變,所以AH⊥平面EFH,B正確;因?yàn)檫^(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直,所以A不正確;因?yàn)锳G⊥EF,EF⊥AH,所以EF⊥平面HAG,所以平面HAG⊥平面AEF,過(guò)H作直線垂直于平面AEF,肯定在平面HAG內(nèi),所以C不正確;因?yàn)镠G不垂直于AG,所以HG⊥平面AEF不正確,D不正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四面體P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分別為AB,BC,CA的中點(diǎn),下列結(jié)論中不成立的是 ()A.BC∥平面PDF B.BC⊥平面PAEC.DF⊥平面PAE D.AE⊥平面APC【解析】選D.因?yàn)镈,F分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DF∥BC,故BC∥平面PDF,故A項(xiàng)正確.又AB=AC,PB=PC,E為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC,PE⊥BC,所以BC⊥平面PAE,又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE,故B、C項(xiàng)正確.由于AE與AP不垂直(否則,等腰三角形PAE將有兩個(gè)直角),故AE與平面APC不垂直.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在正方體ABCD-A1B1C1D1A.A1C⊥平面AB1DB.A1C⊥平面AB1CC.A1B⊥平面AB1D1D.A1B⊥平面AB1C1【解析】選AD.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,又CC1⊥B1D1,且A1C1∩CC1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C,則A1C⊥B1D1,同理A1C⊥AB1,則A1C⊥平面AB1D1,故A正確,B不正確;因?yàn)锳1B⊥AB6.如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ垂直的是 ()【解析】選ABC.對(duì)于A,AB為體對(duì)角線,MN,MQ,NQ分別為棱的中點(diǎn),由中位線定理可得它們平行于面對(duì)角線,連接另一條面對(duì)角線,可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;對(duì)于B,AB為上底面的對(duì)角線,明顯AB垂直于MN,與AB相對(duì)的下底面的面對(duì)角線平行,且與直線NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;對(duì)于C,AB為前面的面對(duì)角線,明顯AB垂直于MN,QN在下底面且與棱平行,此棱垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;對(duì)于D,AB為上底面的對(duì)角線,MN平行于前面的一條對(duì)角線,此對(duì)角線與AB所成角為60°,則AB不垂直于平面MNQ.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與直線AC所成角的大小為;直線A1B和平面A1B1CD所成角的大小為【解析】連接A1C1,BC1,△BA1C1為等邊三角形,所以直線A1B與直線AC所成角的大小為QUOTE,因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C,又DC⊥平面BCC1B1,所以BC1⊥CD,又因?yàn)镃D∩B1C=C,所以BC1⊥平面A1B設(shè)BC1交B1C于O,則∠OA1B為直線A1B和平面A1B1在Rt△OA1B中,sin∠OA1B=QUOTE=QUOTE,所以直線A1B和平面A1B1CD所成角的大小為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),若AC與α所成的角為30°,則斜邊上的中線CM與α所成的角為.

【解析】如圖,設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O,連接AO,MO,則∠CAO=30°,∠CMO就是CM與α所成的角.設(shè)AC=BC=1,則AB=QUOTE,所以CM=QUOTE,CO=QUOTE,所以sin∠CMO=QUOTE=QUOTE,所以∠CMO=45°.答案:45°四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面,點(diǎn)E是上底面圓周上的一點(diǎn),已知AB=BC=5,AE=3.(1)求證:DE⊥平面ABE.(2)求直線BE與平面ADE所成角的正切值.【解析】(1)ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面,AB⊥平面ADE,因?yàn)镋D?平面ADE,所以AB⊥ED,又E在底面圓上,AD為直徑,所以AE⊥DE,又AE∩AB=A,所以DE⊥平面ABE.(2)因?yàn)锳B⊥平面ADE,所以∠AEB為直線BE與平面ADE所成角,在Rt△ABE中,AB=5,AE=3,所以tan∠AEB=QUOTE=QUOTE.10.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D,E分別是BC,AB1的中點(diǎn)(1)求證:DE∥平面ACC1A1(2)若BB1=1,求證:C1D⊥平面ADE.【證明】(1)連接A1B,A1C因?yàn)閭?cè)面ABB1A1點(diǎn)E是AB1的中點(diǎn),所以點(diǎn)E是A1B的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以DE∥A1C因?yàn)镈E?平面ACC1A1,A1C?平面ACC1所以DE∥平面ACC1A1(2)連接B1D,在正三棱柱ABC-A1B1C1因?yàn)锽B1⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以BB1⊥AD,又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形,D為BC的中點(diǎn),所以BC⊥AD,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1,又C1D?平面B1BCC1,所以AD⊥C1D,由BC=2,得BD=1,又BB1=CC1=1,所以DB1=C1D=QUOTE,所以DQUOTE+C1D2=B1QUOTE,所以C1D⊥DB1,DB1∩AD=D,所以C1D⊥平面ADB1,即C1D⊥平面ADE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,且底面ABCD為菱形,F為BB1的中點(diǎn),M為線段AC1的中點(diǎn).求證:MF⊥平面A1ACC1【證明】取AC的中點(diǎn)O,連接MO,因?yàn)镸,O分別為AC1,AC的中點(diǎn),所以MOQUOTECC1.又F為BB1的中點(diǎn),所以BFQUOTECC1,所以MOBF,所以四邊形MOBF為平行四邊形,所以MF∥BO,因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn),易得AF=C1F又M為AC1的中點(diǎn),所以MF⊥AC1.又四邊形ABCD為菱形,所以BO⊥AC.又MF∥BO,所以MF⊥AC.又AC1∩AC=A,所以MF⊥平面A1ACC1.1.如圖所示,PA⊥平面ABC,△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.則下列關(guān)系肯定成立的是 ()A.cosθ1cosθ2=cosθ3B.cosθ1cosθ3=cosθ2C.sinθ1sinθ2=sinθ3D.sinθ1sinθ3=sinθ2【解析】選B.QUOTE?QUOTE?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,所以cosθ1=QUOTE,cosθ2=QUOTE,cosθ3=QUOTE.則有cosθ1cosθ3=cosθ2.2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱C1D1(1)求證:直線AE⊥直線A