2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第4課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時分層作業(yè)(十四)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3)m.]2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/hA[如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.]3．我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)覺敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為()A．28海里/時 B．14海里/時C．14eq\r(2)海里/時 D．20海里/時B[如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小時．]4．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D．60mC[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，則BD＝40，OD＝20eq\r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]5．如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[設(shè)建筑物的高度為hm，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)， ①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h). ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m．]二、填空題6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．eq\r(2)[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．]7．如圖，在高速馬路建設(shè)中須要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為________km.eq\r(3)[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)(km)．]8．一次機器人足球競賽中，甲隊1號機器人由點A起先做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)覺足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽視機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機器人最快可在距A點________dm的C處截住足球．7[設(shè)機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴該機器人最快可在線段AD上距A點7dm的點C處截住足球．]三、解答題9．在某次軍事演習(xí)中，紅方為了精確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C處和D處測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊的距離．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理有eq\f(DB,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，∴BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a，在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(3＋\r(3),4)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴藍方這兩支精銳部隊的距離為eq\f(\r(6),4)a.10．島A視察站發(fā)覺在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時10海里的速度向東南方向航行(如圖所示)，視察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查．接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北偏東75°方向且相距10海里的C處，隨即以每小時10eq\r(3)海里的速度前往攔截．(1)問：海監(jiān)船接到通知時，距離島A多少海里？(2)假設(shè)海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時間．[解](1)依據(jù)題意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.在△ABC中，由eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)得AB＝eq\f(BCsin∠ACB,sin∠BAC)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).所以海監(jiān)船接到通知時，距離島A5eq\(2)設(shè)海監(jiān)船航行時間為t小時，則BD＝10eq\r(3)t，CD＝10t，又因為∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海監(jiān)船沿方位角105°航行，航行時間為1個小時．(或海監(jiān)船沿南偏東75°方向航行，航行時間為1個小時)11．如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)mC[由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．]12．甲船在島A的正南B處，以每小時4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時乙船自島A動身以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，當甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為()A．eq\f(150,7)分鐘 B．eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘 D．2.15小時A[如圖，設(shè)t小時后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))eq\s\up12(2)＋eq\f(675,7).當t＝eq\f(5,14)小時，DC2最小，即DC最小，此時它們所航行的時間為eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分鐘．]13．臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時間為________小時.1[設(shè)A地東北方向上存在點P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即圖中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小時)．]14．(一題兩空)甲船在A處視察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時甲船行駛了________nmile.北偏東30°eq\r(3)a[如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，則由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)．]15．某省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測量試點工作，用上了無人機．為了測量兩山頂M，N間的距離，無人機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖)，無人機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出須要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．[解]方案一：①須要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1，β1；B點到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d.②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,