2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第14章統(tǒng)計(jì)14.4用樣本估計(jì)總體14.4.2用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)四十用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(20分鐘35分)1.下列說法正確的是 ()A.在兩組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)較大的一組極差較大B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),方差反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小C.方差的求法是求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和D.在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中,方差大說明射擊水平穩(wěn)定【解析】選B.平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),平均數(shù)的大小并不能說明該組數(shù)據(jù)極差的大小,所以A錯(cuò)誤;方差公式s2=QUOTE(xi-QUOTE)2,所以C錯(cuò)誤;方差大說明射擊水平不穩(wěn)定,所以D錯(cuò)誤.2.現(xiàn)有10個(gè)數(shù),其平均數(shù)為3,且這10個(gè)數(shù)的平方和是100,那么這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選A.由s2=QUOTE=QUOTE-QUOTE,得s2=QUOTE×100-32=1,即標(biāo)準(zhǔn)差s=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列為1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的QUOTE倍,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________.

【解析】由題意,可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2,所以QUOTE=QUOTE×2=3,解得x=4,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為QUOTE=4.所以該組數(shù)據(jù)的方差為QUOTE×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,即標(biāo)準(zhǔn)差為3.答案:33.甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成果統(tǒng)計(jì)如圖所示,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為QUOTE,QUOTE,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲,s乙,則 ()A.QUOTE<QUOTE,s甲<s乙 B.QUOTE<QUOTE,s甲>s乙C.QUOTE>QUOTE,s甲<s乙 D.QUOTE>QUOTE,s甲>s乙【解析】選C.由題圖知,甲同學(xué)除其次次考試成果略低于乙同學(xué)外,其他考試成果都遠(yuǎn)高于乙同學(xué),可知QUOTE>QUOTE.題圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成果比乙同學(xué)穩(wěn)定,所以s甲<s乙.4.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù),則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是 ()A.眾數(shù) B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【解析】選D.對(duì)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不變更樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生變更.5.對(duì)一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測(cè)了8次,得到如表所示的數(shù)據(jù).觀測(cè)序號(hào)i12345678觀測(cè)數(shù)據(jù)ai4041434344464748上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______,方差是______.

【解析】上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)=QUOTE×(40+41+43+43+44+46+47+48)=44,方差=QUOTE×[(40-44)2+(41-44)2+(43-44)2+(43-44)2+(44-44)2+(46-44)2+(47-44)2+(48-44)2]=7.答案:4476.某學(xué)校有中學(xué)學(xué)生500人,其中男生320人,女生180人.有人為了獲得該校全體中學(xué)學(xué)生的身高信息,采納分層抽樣的方法抽取樣本,并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值(單位:cm),計(jì)算得男生樣本的平均數(shù)為173.5cm,方差為17cm2,女生樣本的平均數(shù)為163.83cm,方差為30.03cm2.(1)依據(jù)以上信息,能夠計(jì)算出總樣本的平均數(shù)和方差嗎?為什么?(2)假如已知男、女樣本量按比例安排,你能計(jì)算出總樣本的平均數(shù)和方差各為多少嗎?(3)假如已知男、女的樣本量都是25,你能計(jì)算出總樣本的平均數(shù)和方差各為多少嗎?它們分別作為總體平均數(shù)和方差的估計(jì)合適嗎?為什么?【解析】(1)不能,因?yàn)楸绢}沒有給出男、女生的樣本量,或者男、女生樣本量的比例,故無法計(jì)算出總樣本的平均數(shù)和方差.(2)總樣本的平均數(shù)為QUOTE×173.5+QUOTE×163.83≈170.02(cm).總樣本的方差為QUOTE×[17+(173.5-170.02)2]+QUOTE×[30.03+(163.83-170.02)2]≈43.24(cm2).(3)總樣本的平均數(shù)為QUOTE×173.5+QUOTE×163.83≈168.67(cm).總樣本的方差為QUOTE×[17+(173.5-168.67)2]+QUOTE×[30.03+(163.83-168.67)2]≈46.89(cm2).不能作為總體平均數(shù)和方差的估計(jì),因?yàn)榇朔謱映闃又?每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不完全相同,因而樣本的代表性差.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知母雞產(chǎn)蛋的最佳溫度在10℃左右,下面是在甲、乙兩地六個(gè)時(shí)刻測(cè)得的溫度,你認(rèn)為甲、乙兩地哪個(gè)地方更適合母雞產(chǎn)蛋?【解析】①Q(mào)UOTE=QUOTE×(-5+7+15+14-4-3)=4(℃),QUOTE=QUOTE×(1+4+10+7+2+0)=4(℃).②極差:甲地溫度極差=15-(-5)=20(℃);乙地溫度極差=10-0=10(℃).③標(biāo)準(zhǔn)差:s甲=≈8.4(℃);s乙=QUOTE≈3.5(℃).明顯兩地的平均溫度相等,乙地溫度的極差、標(biāo)準(zhǔn)差較小,說明白乙地溫度波動(dòng)較小.因此,乙地比甲地更適合母雞產(chǎn)蛋.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的兩根,則這個(gè)樣本的方差是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.x2-5x+4=0的兩根是1,4.當(dāng)a=1時(shí),a,3,5,7的平均數(shù)是4;當(dāng)a=4時(shí),a,3,5,7的平均數(shù)不是1.所以a=1,b=4.則方差s2=QUOTE[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.2.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是 ()A.57.2,3.6 B.57.2,56.4C.62.8,63.6 D.62.8,3.6【解析】選D.每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60,所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加60,而方差保持不變.3.若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次(3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的狀況)不超過3,則稱該同學(xué)為班級(jí)的尖子生.依據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù),推斷肯定是尖子生的是 ()A.甲同學(xué):平均數(shù)為2,眾數(shù)為1B.乙同學(xué):平均數(shù)為2,方差小于1C.丙同學(xué):中位數(shù)為2,眾數(shù)為2D.丁同學(xué):眾數(shù)為2,方差大于1【解析】選B.甲同學(xué):若平均數(shù)為2,眾數(shù)為1,則有一次名次應(yīng)為4,故解除A;乙同學(xué):平均數(shù)為2,設(shè)乙同學(xué)3次考試的名次分別為x1,x2,x3,則方差s2=QUOTE[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2]<1,則(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2<3,所以x1,x2,x3均不大于3,符合題意;丙同學(xué):中位數(shù)為2,眾數(shù)為2,有可能是2,2,4,不符合題意;丁同學(xué):有可能是2,2,6,不符合題意.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間,有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事務(wù)在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)記為“連續(xù)10天,每天新增疑似病例不超過7人”.依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù),肯定符合該標(biāo)記的是 ()A.甲地:總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4B.乙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0C.丙地:中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3【解析】選D.依據(jù)信息可知,連續(xù)10天內(nèi),每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù),選項(xiàng)A中,中位數(shù)為4,可能存在大于7的數(shù);同理,在選項(xiàng)C中也有可能存在大于7的數(shù);選項(xiàng)B中的總體方差大于0,敘述不明確,假如數(shù)目太大,也有可能存在大于7的數(shù);選項(xiàng)D中,依據(jù)方差公式,假如有大于7的數(shù)存在,那么方差不會(huì)為3.4.甲、乙、丙三人投擲飛鏢,他們成果(環(huán)數(shù))的頻數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則甲、乙、丙三人訓(xùn)練成果的標(biāo)準(zhǔn)差s甲,s乙,s丙的大小關(guān)系是 ()A.s丙>s乙>s甲 B.s甲>s丙>s乙C.s丙>s甲>s乙 D.s乙>s丙>s甲【解析】選C.由題干甲圖可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[6×(3-6)2+6×(4-6)2+6×(5-6)2+6×(6-6)2+6×(7-6)2+6×(8-6)2+6×(9-6)2]=4,標(biāo)準(zhǔn)差s甲=QUOTE=2;由題干乙圖可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[3×(3-6)2+5×(4-6)2+8×(5-6)2+10×(6-6)2+8×(7-6)2+5×(8-6)2+3×(9-6)2]≈2.6,標(biāo)準(zhǔn)差s乙≈QUOTE;由題干丙圖可知,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE×[8×(3-6)2+5×(4-6)2+3×(5-6)2+10×(6-6)2+3×(7-6)2+5×(8-6)2+8×(9-6)2]≈4.5,標(biāo)準(zhǔn)差s丙≈QUOTE.故s丙>s甲>s乙.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是QUOTE,標(biāo)準(zhǔn)差是s,將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2,所得到的一組新數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.s D.2s【解析】選BD.設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,都乘以2后的新數(shù)據(jù)為2x1,2x2,…,2xn.由題意知QUOTE=QUOTE,則QUOTE=2QUOTE.又s=QUOTE,所以QUOTE=2s.6.某班有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問了該班6名男生和4名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成果,6名男生的成果分別為86分,94分,88分,92分,90分,90分,4名女生的成果分別為90分,93分,93分,88分,則下列說法正確的有 ()A.這種抽樣方法是按比例安排的分層抽樣B.該班男生成果的平均數(shù)小于該班女生成果的平均數(shù)C.這6名男生成果的方差大于這4名女生成果的方差D.抽取的10名學(xué)生成果的平均數(shù)和方差分別為90.4分和6.04分2【解析】選ACD.因?yàn)樵摪嘤?0名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比為3∶2,所以這種抽樣方法是按比例安排的分層抽樣,A正確;抽取的6名男生成果的平均數(shù)QUOTE=QUOTE=90(分),抽取的4名女生成果的平均數(shù)QUOTE=QUOTE=91(分),雖然QUOTE<QUOTE,但并不肯定能說明該班男生成果的平均數(shù)小于該班女生成果的平均數(shù),B不肯定正確;這6名男生成果的方差QUOTE=QUOTE×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2+(90-90)2]=QUOTE(分2),這4名女生成果的方差QUOTE=QUOTE×[(90-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2]=QUOTE(分2),因?yàn)镼UOTE>QUOTE,所以C正確;被抽取的10名學(xué)生成果的平均數(shù)QUOTE=QUOTE×90+QUOTE×91=90.4(分),被抽取的10名學(xué)生成果的方差s2=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+(91-90.4)2=4.096+1.944=6.04(分2),D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)QUOTE=2,方差s2=QUOTE,那么另一組數(shù)據(jù)3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均數(shù)為________,方差為________.

【解析】平均數(shù)為QUOTE′=3QUOTE-2=3×2-2=4,方差為s′2=9s2=9×QUOTE=3.答案:43【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知k1,k2,…,kn的方差為5,則3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的方差為________.

【解析】設(shè)k1,k2,…,kn的平均數(shù)為QUOTE,則3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的平均數(shù)為3(QUOTE-4),所以s2=QUOTE[3(ki-4)-3(QUOTE-4)]2=QUOTE[3(ki-QUOTE)]2=9×QUOTE(ki-QUOTE)2=9×5=45.答案:458.某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如表:等待時(shí)間/分鐘[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]頻數(shù)48521用上述分組資料計(jì)算出病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值QUOTE=________,病人等待時(shí)間方差的估計(jì)值s2=________.

【解析】QUOTE=QUOTE×(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5(分鐘),s2=QUOTE×[(2.5-9.5)2×4+(7.5-9.5)2×8+(12.5-9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5(分鐘2).答案:9.5分鐘28.5分鐘2四、解答題(每小題10分,共20分)9.某班40人隨機(jī)分成兩組,第1組15人,第2組25人,兩組學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試的成果(單位:分)狀況如表:組別平均分標(biāo)準(zhǔn)差第1組846第2組804求全班學(xué)生這次數(shù)學(xué)考試的平均成果和方差.【解析】由題意,知第1組這次數(shù)學(xué)考試的平均分QUOTE=84(分),方差QUOTE=62=36(分2),第2組這次數(shù)學(xué)考試的平均分QUOTE=80(分),方差QUOTE=42=16(分2),故全班學(xué)生這次數(shù)學(xué)考試的平均成果QUOTE=QUOTE×84+QUOTE×80=81.5(分),方差s2=QUOTE×[36+(84-81.5)2]+QUOTE×[16+(80-81.5)2]=27.25(分2).10.甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次,每次打靶的成果狀況如圖所示:(1)填寫下表:平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.21乙5.43(2)請(qǐng)從四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試進(jìn)行分析:①結(jié)合平均數(shù)和方差分析偏離程度;②結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)分析誰的成果好些;③結(jié)合平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)分析誰的成果好些;④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢(shì)分析誰更有潛力.【解析】(1)乙的打靶環(huán)數(shù)依次為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以QUOTE=QUOTE×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的打靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位數(shù)為QUOTE=7.5;甲的打靶環(huán)數(shù)從小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如表所示:平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均數(shù)相同,均為7,但QUOTE<QUOTE,說明甲偏離平均數(shù)的程度小,而乙偏離平均數(shù)的程度大.②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位數(shù)比甲大,說明乙的打靶成果比甲好.③甲、乙的平均水平相同,而乙命中9環(huán)以上(包含9環(huán))的次數(shù)比甲多2次,可知乙的打靶成果比甲好.④從題干折線圖上看,乙的成果呈上升趨勢(shì),而甲的成果在平均線上波動(dòng)不大,說明乙的狀態(tài)在提升,更有潛力.【補(bǔ)償訓(xùn)練】為了愛護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在運(yùn)用一段時(shí)間后必需更換.已知某校運(yùn)用的100只日光燈在必需換掉前的運(yùn)用天數(shù)如表:天數(shù)[150,180)[180,210)[210,240)[240,270)[270,300)[300,330)[330,360)[360,390]燈管數(shù)1111820251672(1)試估計(jì)這種日光燈的平均運(yùn)用壽命.(2)若定期更換,可選擇