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雙曲線與拋物線的性質(zhì)與應(yīng)用單選題1、(2024年高考浙江卷)雙曲線的焦點坐標(biāo)是()A.(?,0),(,0)B.(?2,0),(2,0)C.(0,?),(0,)D.(0,?2),(0,2)【答案】B【解析】設(shè)的焦點坐標(biāo)為,因為,,所以焦點坐標(biāo)為,故選B.2、(2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬)雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線為,,,漸近線方程為:,其漸近線方程為:,故選:B.3、(2024·浙江高三)若雙曲線的焦距為4,則其漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線的焦距為4,可得m+1=4,所以m=3,由題設(shè),雙曲線的焦點在x軸上,故漸近線方程為:所以雙曲線的漸近線方程為:yx.故選:A.4、(2025屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初)已知雙曲線的一條漸近線為,則離心率為()A. B. C.或 D.【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線為,.
故選:A.5、(2025屆山東省煙臺市高三上期末)若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題,離心率,解得,因為焦點在軸上,則漸近線方程為,即故選:C6、(2024年高考全國Ⅱ理數(shù))雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】因為,所以,所以,因為漸近線方程為,所以漸近線方程為,故選A7、(2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點,漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:B8、(2025屆山東省德州市高三上期末)雙曲線(,)的右焦點為,點的坐標(biāo)為,點為雙曲線左支上的動點,且周長的最小值為8,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】如下圖所示:設(shè)該雙曲線的左焦點為點,由雙曲線的定義可得,所以,的周長為,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時,的周長取得最小值,即,解得.因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.9、(2025屆浙江省溫州市高三4月二模)已知雙曲線),其右焦點F的坐標(biāo)為,點是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,為坐標(biāo)原點,滿意,線段交雙曲線于點.若為的中點,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線方程為,是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,,故,,故,代入雙曲線化簡得到:,故.故選:.10、(2025屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,所以,的離心率.故選:C.11、(2025屆浙江省嘉興市3月模擬)設(shè)雙曲線E:,命題p:雙曲線E離心率,命題q:雙曲線E的漸近線相互垂直,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為,離心率為,由,可得,即有,可得,即得漸近線方程為,可得兩漸近線垂直;若兩漸近線垂直,可得,可得,即有是的充要條件,故選:.12、(2025屆山東省泰安市高三上期末)已知圓與雙曲線的漸近線相切,則該雙曲線的離心率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由雙曲線,可得其一條漸近線的方程為,即,又由圓,可得圓心為,半徑,則圓心到直線的距離為,則,可得,故選C.13、(2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù))設(shè)雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為.P是C上一點,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a=()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】,,依據(jù)雙曲線的定義可得,,即,,,,即,解得,故選:A.14、(2025屆山東省濱州市高三上期末)已知拋物線的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為該拋物線上一點,,A為垂足.若直線AF的斜率為,則的面積為()A. B. C.8 D.【答案】B【解析】由題意,拋物線的焦點為,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交點為,則,又直線AF的斜率為,所以,因此,;由拋物線的定義可得:,所以是邊長為的等邊三角形,所以的面積為.故選:B.15、(2025屆山東省濰坊市高三上期末)已知點為雙曲線右支上一點,分別為的左,右焦點,直線與的一條漸近線垂直,垂足為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點,連接,由條件可知,是的中點,又,,依據(jù)雙曲線的定義可知,,直線的方程是:,即,原點到直線的距離,中,,整理為:,即,解得:,或(舍)故選:C16、(2024年高考北京)設(shè)拋物線的頂點為,焦點為,準(zhǔn)線為.是拋物線上異于的一點,過作于,則線段的垂直平分線()A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示:.因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等,又點在拋物線上,依據(jù)定義可知,,所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選:B.17、(2024·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考)拋物線()的焦點為F,直線l過點F且與拋物線交于點M,N(點N在軸上方),點E為軸上F右側(cè)的一點,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為T,直線l與準(zhǔn)線交于R,,則,,過M,N分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,如圖,由拋物線定義知,,,因為∥,所以,即,解得,同理,即,解得,又,所以,,過M作的垂線,垂足為G,則,所以,解得,故.故選:C.18、(2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù))設(shè)為坐標(biāo)原點,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點,若的面積為8,則的焦距的最小值為()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】,雙曲線的漸近線方程是,直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點不妨設(shè)為在第一象限,在第四象限,聯(lián)立,解得,故,聯(lián)立,解得,故,,面積為:,雙曲線,其焦距為,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,的焦距的最小值:.故選:B.多選題19、(2025屆山東省濱州市高三上期末)已知雙曲線C:的左、右焦點分別為,,則能使雙曲線C的方程為的是()A.離心率為 B.雙曲線過點C.漸近線方程為 D.實軸長為4【答案】ABC【解析】由題意,可得:焦點在軸上,且;A選項,若離心率為,則,所以,此時雙曲線的方程為:,故A正確;B選項,若雙曲線過點,則,解得:;此時雙曲線的方程為:,故B正確;C選項,若雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)雙曲線的方程為:,所以,解得:,所以此時雙曲線的方程為:,故C正確;D選項,若實軸長為4,則,所以,此時雙曲線的方程為:,故D錯誤;故選:ABC.20、(2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考)過拋物線的焦點作直線交拋物線于,兩點,為線段的中點,則()A.以線段為直徑的圓與直線相離 B.以線段為直徑的圓與軸相切C.當(dāng)時, D.的最小值為4【答案】ACD【解析】對于選項A,點到準(zhǔn)線的距離為,于是以線段為直徑的圓與直線肯定相切,進(jìn)而與直線肯定相離:對于選項B,明顯中點的橫坐標(biāo)與不肯定相等,因此命題錯誤.對于選項C,D,設(shè),,直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程可得,,,若設(shè),則,于是,最小值為4;當(dāng)可得,,所,.故選:ACD.21、(2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的焦點為F,準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點為K,P為C上異于O的隨意一點,P在l上的射影為E,的外角平分線交x軸于點Q,過Q作交的延長線于,作交線段于點,則()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由拋物線的定義,,A正確;∵,是的平分線,∴,∴,B正確;若,由是外角平分線,,得,從而有,于是有,這樣就有,為等邊三角形,,也即有,這只是在特別位置才有可能,因此C錯誤;連接,由A、B知,又,是平行四邊形,∴,明顯,∴,D正確.22、(2025屆山東省德州市高三上期末)已知拋物線的焦點為,直線的斜率為且經(jīng)過點,直線與拋物線交于點、兩點(點在第一象限),與拋物線的準(zhǔn)線交于點,若,則以下結(jié)論正確的是()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】如下圖所示:分別過點、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點,則,由于直線的斜率為,其傾斜角為,軸,,由拋物線的定義可知,,則為等邊三角形,,則,,得,A選項正確;,又,為的中點,則,B選項正確;,,(拋物線定義),C選項正確;,,D選項錯誤.故選:ABC.23、(2024年新高考全國Ⅰ卷)已知曲線.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為D.若m=0,n>0,則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A,若,則可化為,因為,所以,即曲線表示焦點在軸上的橢圓,故A正確;對于B,若,則可化為,此時曲線表示圓心在原點,半徑為的圓,故B不正確;對于C,若,則可化為,此時曲線表示雙曲線,由可得,故C正確;對于D,若,則可化為,,此時曲線表示平行于軸的兩條直線,故D正確;故選:ACD.填空題24、(2024年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】【解析】由已知得,解得或,因為,所以.因為,所以雙曲線的漸近線方程為.25、(2024·山東省淄博試驗中學(xué)高三上期末)雙曲線:的左、右焦點分別為、,是右支上的一點,與軸交于點,的內(nèi)切圓在邊上的切點為,若,則的離心率為____.【答案】【解析】設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓與MF1,MF2的切點分別為A,B,由切線長定理可知MA=MB,PA=PQ,BF2=QF2,又PF1=PF2,∴MF1﹣MF2=(MA+AP+PF1)﹣(MB+BF2)=PQ+PF2﹣QF2=2PQ,由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2=2a,故而a=PQ,又c=2,∴雙曲線的離心率為e.故答案為:.26、(2024年高考全國I卷理數(shù))已知F為雙曲線的右焦點,A為C的右頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.【答案】2【解析】聯(lián)立,解得,所以.依題可得,,,即,變形得,,因此,雙曲線的離心率為.故答案為:.27、(2024年新高考全國Ⅰ卷)斜率為的直線過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點,則=________.【答案】【解析】∵拋物線的方程為,∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為,又∵直線AB過焦點F且斜率為,∴直線AB的方程為:代入拋物線方程消去y并化簡得,解法一:解得所以解法二:設(shè),則,過分別作準(zhǔn)線的垂線,設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為:28、(2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末)已知F為雙曲線的右焦點,過F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點),則C的離心率為________.【答案】2【解析】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.29、(2025屆山東省濰坊市高三上期末)已知是拋物線上的動點,點在軸上的射影是,點的坐標(biāo)為,則的最小值是__________.【答案】【解析】設(shè)拋物線的焦點是,依據(jù)拋物線的定義可知,,當(dāng)三點共線時,等號成立,的最小值是,,的最小值是.故答案為:30、(2024年高考北京)已知雙曲線,則C的右焦點的坐標(biāo)為_________;C的焦點到其漸近線的距離是_________.【答案】;【解析】在雙曲線中,,,則,則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為,即,所以,雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為:;.解答題31、(2025屆浙江省嘉興市5月模擬)設(shè)點為拋物線上的動點,是拋物線的焦點,當(dāng)時,.(1)求拋物線的方程;(2)過點作圓:的切線,,分別交拋物線于點.當(dāng)時,求面積的最小值.【解析】(1)當(dāng)時,,所以,故所求拋物線方程為.(2)點為拋物線上的動點,則,設(shè)過點的切線為,則,得,是方程(*)式的兩個根,所以,,設(shè),因直線,與拋物線交于點A,則得,所以,即,同理,設(shè)直線,則,,又,,所以令,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最小值.32、(2025屆山東省臨沂市高三上期末)如圖,已知點F為拋物線C:()的焦點,過點F的動直線l與拋物線C交于M,N兩點,且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時,.(1)求拋物線C的方程.(2)試確定在x軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關(guān)于x軸對稱?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°,則的斜率為1,,的方程為.由得.設(shè),,則,∴,,∴拋物線C的方程為.(2)假設(shè)滿意條件的點P存在,設(shè),由(1)知,①當(dāng)直線l不與x軸垂直時,設(shè)l的方程為(),由得,,,.∵直線PM,PN關(guān)于x軸對稱,∴,,.∴∴時,此時.②當(dāng)直線l與x軸垂直時,由拋物線的對稱性,易知PM,PN關(guān)于x軸對稱,此時只需P與焦點F不重合即可.綜上,存在唯一的點,使直線PM,PN關(guān)于x軸對稱.33、(2025屆浙江省紹興市4月模擬)如圖,已知點,,拋物線的焦點為線段中點.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線交拋物線于兩點,,過點作拋物線的切線,為切
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