2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破雙曲線與拋物線的性質(zhì)與應(yīng)用含解析

雙曲線與拋物線的性質(zhì)與應(yīng)用單選題1、（2024年高考浙江卷）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．(?，0)，(，0)B．(?2，0)，(2，0)C．(0，?)，(0，)D．(0，?2)，(0，2)【答案】B【解析】設(shè)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B．2、（2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬）雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線為，，，漸近線方程為：，其漸近線方程為：，故選：B.3、（2024·浙江高三）若雙曲線的焦距為4，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的焦距為4，可得m+1＝4，所以m＝3，由題設(shè)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為：所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：A．4、（2025屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知雙曲線的一條漸近線為，則離心率為（）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線為，.

故選:A.5、（2025屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題,離心率,解得,因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上,則漸近線方程為,即故選：C6、（2024年高考全國(guó)Ⅱ理數(shù)）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，故選A7、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B8、（2025屆山東省德州市高三上期末）雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為8，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如下圖所示：設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值，即，解得.因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.9、（2025屆浙江省溫州市高三4月二模）已知雙曲線)，其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿意，線段交雙曲線于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，，故，，故，代入雙曲線化簡(jiǎn)得到：，故.故選：.10、（2025屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，的離心率.故選：C.11、（2025屆浙江省嘉興市3月模擬）設(shè)雙曲線E：，命題p：雙曲線E離心率，命題q：雙曲線E的漸近線相互垂直，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，離心率為，由，可得，即有，可得，即得漸近線方程為，可得兩漸近線垂直；若兩漸近線垂直，可得，可得，即有是的充要條件，故選：．12、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，又由圓，可得圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，則，可得，故選C.13、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】，，依據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A．14、（2025屆山東省濱州市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為該拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足.若直線AF的斜率為，則的面積為（）A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，則，又直線AF的斜率為，所以，因此，；由拋物線的定義可得：，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以的面積為.故選：B.15、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接,由條件可知，是的中點(diǎn)，又，,依據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點(diǎn)到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍）故選：C16、（2024年高考北京）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（）A．經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，依據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：B．17、（2024·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)N在軸上方），點(diǎn)E為軸上F右側(cè)的一點(diǎn)，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為T，直線l與準(zhǔn)線交于R，，則，，過(guò)M，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，由拋物線定義知，，，因?yàn)椤?，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，過(guò)M作的垂線，垂足為G，則，所以，解得，故.故選：C.18、（2024年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】，雙曲線的漸近線方程是，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限，聯(lián)立，解得，故，聯(lián)立，解得，故，，面積為：，雙曲線，其焦距為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，的焦距的最小值：.故選：B．多選題19、（2025屆山東省濱州市高三上期末）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，則能使雙曲線C的方程為的是（）A．離心率為 B．雙曲線過(guò)點(diǎn)C．漸近線方程為 D．實(shí)軸長(zhǎng)為4【答案】ABC【解析】由題意，可得：焦點(diǎn)在軸上，且；A選項(xiàng)，若離心率為，則，所以，此時(shí)雙曲線的方程為：，故A正確；B選項(xiàng)，若雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，解得：；此時(shí)雙曲線的方程為：，故B正確；C選項(xiàng)，若雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為：，所以，解得：，所以此時(shí)雙曲線的方程為：，故C正確；D選項(xiàng)，若實(shí)軸長(zhǎng)為4，則，所以，此時(shí)雙曲線的方程為：，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.20、（2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為4【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線肯定相切，進(jìn)而與直線肯定相離：對(duì)于選項(xiàng)B，明顯中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與不肯定相等，因此命題錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，D，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，若設(shè)，則，于是，最小值為4；當(dāng)可得，，所，.故選:ACD.21、（2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K，P為C上異于O的隨意一點(diǎn)，P在l上的射影為E，的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q作交的延長(zhǎng)線于，作交線段于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由拋物線的定義，，A正確；∵，是的平分線，∴，∴，B正確；若，由是外角平分線，，得，從而有，于是有，這樣就有，為等邊三角形，，也即有，這只是在特別位置才有可能，因此C錯(cuò)誤；連接，由A、B知，又，是平行四邊形，∴，明顯，∴，D正確．22、（2025屆山東省德州市高三上期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.23、（2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷）已知曲線.（）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD．填空題24、（2024年高考江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】【解析】由已知得，解得或，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以雙曲線的漸近線方程為.25、（2024·山東省淄博試驗(yàn)中學(xué)高三上期末）雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是右支上的一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則的離心率為____.【答案】【解析】設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點(diǎn)分別為A，B，由切線長(zhǎng)定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴雙曲線的離心率為e．故答案為：．26、（2024年高考全國(guó)I卷理數(shù)）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．27、（2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，解法一：解得所以解法二：設(shè)，則,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：28、（2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為________.【答案】2【解析】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.29、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，依據(jù)拋物線的定義可知，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，的最小值是，，的最小值是.故答案為：30、（2024年高考北京）已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．【答案】；【解析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故答案為：；.解答題31、（2025屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，，分別交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求面積的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，故所求拋物線方程為.（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，則，得，是方程（*）式的兩個(gè)根，所以，，設(shè)，因直線，與拋物線交于點(diǎn)A，則得，所以，即，同理，設(shè)直線，則，，又，，所以令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.32、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，.（1）求拋物線C的方程.（2）試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，，的方程為.由得.設(shè)，，則，∴，，∴拋物線C的方程為.（2）假設(shè)滿意條件的點(diǎn)P存在，設(shè)，由（1）知，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程為（），由得，，，.∵直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，，.∴∴時(shí)，此時(shí).②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可.綜上，存在唯一的點(diǎn)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱.33、（2025屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)為線段中點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，為切