2024高考數(shù)學(xué)考點專項突破雙曲線與拋物線的性質(zhì)與應(yīng)用含解析

雙曲線與拋物線的性質(zhì)與應(yīng)用單選題1、（2024年高考浙江卷）雙曲線的焦點坐標(biāo)是（）A．(?，0)，(，0)B．(?2，0)，(2，0)C．(0，?)，(0，)D．(0，?2)，(0，2)【答案】B【解析】設(shè)的焦點坐標(biāo)為，因為，，所以焦點坐標(biāo)為，故選B．2、（2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬）雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線為，，，漸近線方程為：，其漸近線方程為：，故選：B.3、（2024·浙江高三）若雙曲線的焦距為4，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的焦距為4，可得m+1＝4，所以m＝3，由題設(shè)，雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為：所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：A．4、（2025屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知雙曲線的一條漸近線為，則離心率為（）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線為，.

故選:A.5、（2025屆山東省煙臺市高三上期末）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題,離心率,解得,因為焦點在軸上,則漸近線方程為,即故選：C6、（2024年高考全國Ⅱ理數(shù)）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，故選A7、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B8、（2025屆山東省德州市高三上期末）雙曲線（，）的右焦點為，點的坐標(biāo)為，點為雙曲線左支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如下圖所示：設(shè)該雙曲線的左焦點為點，由雙曲線的定義可得，所以，的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，的周長取得最小值，即，解得.因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.9、（2025屆浙江省溫州市高三4月二模）已知雙曲線)，其右焦點F的坐標(biāo)為，點是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，為坐標(biāo)原點，滿意，線段交雙曲線于點.若為的中點，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，，故，，故，代入雙曲線化簡得到：，故.故選：.10、（2025屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬）雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，的離心率.故選：C.11、（2025屆浙江省嘉興市3月模擬）設(shè)雙曲線E：，命題p：雙曲線E離心率，命題q：雙曲線E的漸近線相互垂直，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，離心率為，由，可得，即有，可得，即得漸近線方程為，可得兩漸近線垂直；若兩漸近線垂直，可得，可得，即有是的充要條件，故選：．12、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，又由圓，可得圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，則，可得，故選C.13、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】，，依據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A．14、（2025屆山東省濱州市高三上期末）已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為該拋物線上一點，，A為垂足.若直線AF的斜率為，則的面積為（）A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由題意，拋物線的焦點為，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交點為，則，又直線AF的斜率為，所以，因此，；由拋物線的定義可得：，所以是邊長為的等邊三角形，所以的面積為.故選：B.15、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點，連接,由條件可知，是的中點，又，,依據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍）故選：C16、（2024年高考北京）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，依據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B．17、（2024·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在軸上方），點E為軸上F右側(cè)的一點，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為T，直線l與準(zhǔn)線交于R，，則，，過M，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，由拋物線定義知，，，因為∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，過M作的垂線，垂足為G，則，所以，解得，故.故選：C.18、（2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】，雙曲線的漸近線方程是，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限，聯(lián)立，解得，故，聯(lián)立，解得，故，，面積為：，雙曲線，其焦距為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，的焦距的最小值：.故選：B．多選題19、（2025屆山東省濱州市高三上期末）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，則能使雙曲線C的方程為的是（）A．離心率為 B．雙曲線過點C．漸近線方程為 D．實軸長為4【答案】ABC【解析】由題意，可得：焦點在軸上，且；A選項，若離心率為，則，所以，此時雙曲線的方程為：，故A正確；B選項，若雙曲線過點，則，解得：；此時雙曲線的方程為：，故B正確；C選項，若雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為：，所以，解得：，所以此時雙曲線的方程為：，故C正確；D選項，若實軸長為4，則，所以，此時雙曲線的方程為：，故D錯誤；故選：ABC.20、（2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時， D．的最小值為4【答案】ACD【解析】對于選項A，點到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線肯定相切，進(jìn)而與直線肯定相離：對于選項B，明顯中點的橫坐標(biāo)與不肯定相等，因此命題錯誤.對于選項C，D，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，若設(shè)，則，于是，最小值為4；當(dāng)可得，，所，.故選:ACD.21、（2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點為K，P為C上異于O的隨意一點，P在l上的射影為E，的外角平分線交x軸于點Q，過Q作交的延長線于，作交線段于點，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由拋物線的定義，，A正確；∵，是的平分線，∴，∴，B正確；若，由是外角平分線，，得，從而有，于是有，這樣就有，為等邊三角形，，也即有，這只是在特別位置才有可能，因此C錯誤；連接，由A、B知，又，是平行四邊形，∴，明顯，∴，D正確．22、（2025屆山東省德州市高三上期末）已知拋物線的焦點為，直線的斜率為且經(jīng)過點，直線與拋物線交于點、兩點（點在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：ABC.23、（2024年新高考全國Ⅰ卷）已知曲線.（）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD．填空題24、（2024年高考江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】【解析】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.25、（2024·山東省淄博試驗中學(xué)高三上期末）雙曲線：的左、右焦點分別為、，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為____.【答案】【解析】設(shè)△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴雙曲線的離心率為e．故答案為：．26、（2024年高考全國I卷理數(shù)）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．27、（2024年新高考全國Ⅰ卷）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設(shè)，則,過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：28、（2025屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標(biāo)原點），則C的離心率為________.【答案】2【解析】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.29、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點的坐標(biāo)為，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)拋物線的焦點是，依據(jù)拋物線的定義可知，，當(dāng)三點共線時，等號成立，的最小值是，，的最小值是.故答案為：30、（2024年高考北京）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．【答案】；【解析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.解答題31、（2025屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點為拋物線上的動點，是拋物線的焦點，當(dāng)時，．（1）求拋物線的方程；（2）過點作圓：的切線，，分別交拋物線于點．當(dāng)時，求面積的最小值．【解析】（1）當(dāng)時，，所以，故所求拋物線方程為.（2）點為拋物線上的動點，則，設(shè)過點的切線為，則，得，是方程（*）式的兩個根，所以，，設(shè)，因直線，與拋物線交于點A，則得，所以，即，同理，設(shè)直線，則，，又，，所以令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.32、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，.（1）求拋物線C的方程.（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，，的方程為.由得.設(shè)，，則，∴，，∴拋物線C的方程為.（2）假設(shè)滿意條件的點P存在，設(shè)，由（1）知，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程為（），由得，，，.∵直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，∴，，.∴∴時，此時.②當(dāng)直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.綜上，存在唯一的點，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱.33、（2025屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點，，拋物線的焦點為線段中點.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，，過點作拋物線的切線，為切