2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修1-1

PAGE拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程[A組基礎(chǔ)鞏固]1．拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)()A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)解析：拋物線的開口向左，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，2p＝8，得eq\f(p,2)＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)．答案：B2．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵x2＝4y，設(shè)P(xP,4)，故|PF|＝4＋1＝5.答案：D3．拋物線y＝－4x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．1 B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：將拋物線方程y＝－4x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程，為x2＝－eq\f(y,4)＝－2×eq\f(1,8)y，則p＝eq\f(1,8)，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(1,8).答案：B4．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A．4 B．2C．6 D．8解析：∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.答案：A5．當(dāng)a為隨意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)PA．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)yD．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)y解析：直線方程可化為a(x＋2)－x－y＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0,－x－y＋1＝0))，得P(－2,3)，經(jīng)檢驗(yàn)知A正確．答案：A6．拋物線y2＝2px過點(diǎn)M(2,2)，則點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________．解析：因?yàn)閥2＝2px過點(diǎn)M(2,2)，于是p＝1，所以點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，假如x1＋x2＝6，則|AB|的值為________．解析：∵y2＝4x，∴p＝2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：88．已知拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)M(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m＝________.解析：由已知，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py.由拋物線定義有2＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.將(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.答案：±49．依據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，－2)；(2)準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(2,3)；(3)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5；(4)過點(diǎn)P(－2，－4)．解析：(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且－eq\f(p,2)＝－2，則p＝4，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y.(2)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線在y軸正半軸上，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，則p＝eq\f(4,3)，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(8,3)y.(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知p＝5，又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－10x.(4)如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以滿意條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝－2p2y(p2＞0)．分別將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上述方程，解得p1＝4，p2＝eq\f(1,2).因此，滿意條件的拋物線有兩條，它們的方程分別為y2＝－8x和x2＝－y.10．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)A(eq\f(7,2)，4)，求|PA|＋d的最小值．解析：設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，則F(eq\f(1,2)，0)．又點(diǎn)A(eq\f(7,2)，4)在拋物線的外側(cè)，且點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，所以d＝|PF|，則|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5.∴|PA|＋d的最小值是5.[B組實(shí)力提升]1．若動(dòng)圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心O′(x，y)，且O′到點(diǎn)(2,0)的距離為r＋1，O′到直線x＝－1的距離為r，所以O(shè)′到(2,0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知y2＝8x.答案：A2．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：∵x2＝8y，∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2.由拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)0＋2.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，故4<y0＋2，∴y0>2.答案：C3．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p>0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于________．解析：拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，因?yàn)镻(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6＋eq\f(p,2)＝8，所以p＝4，故焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4.答案：44．設(shè)拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，則|AF|＋|BF|＝__________.解析：過點(diǎn)A，B，P分別作拋物線的準(zhǔn)線y＝－3的垂線，垂足分別為C，D，Q，依據(jù)拋物線的定義，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8.答案：85．河上有一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬為8m，一條小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面的部分高eq\f(3,4)m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多高時(shí)，小船不能通航？解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p>0)．由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝eq\f(8,5).∴x2＝－eq\f(16,5)y.當(dāng)船兩側(cè)和拋物線相接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)．由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面部分為eq\f(3,4)m，∴h＝|yA|＋eq\f(3,4)＝2(m)．故水面上漲到距拋物線頂2m時(shí)，小船起先不能通航．6．已知點(diǎn)A(12,6)，點(diǎn)M到F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程G；(2)在G上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和取得最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：(1)點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1，即“點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離等于它到直線y＝－1的距離”，所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，此時(shí)，p＝2，故所求拋物線方程G為x2＝4y.(2)如圖，易推斷知點(diǎn)A在拋物線外側(cè)，設(shè)P(x，y)，則P到x軸的距離即y值，設(shè)P到準(zhǔn)線y＝－1的距離為d，則y＝d－1.故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，由拋物線定義知|PF|＝d.于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.由圖可知，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線且P在AF之間時(shí)，|PA|＋|PF|取得