2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1拋物線及其標準方程課時作業(yè)含解析北師大版選修1-1

PAGE拋物線及其標準方程[A組基礎(chǔ)鞏固]1．拋物線y2＝－8x的焦點坐標()A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)解析：拋物線的開口向左，焦點在x軸的負半軸上，2p＝8，得eq\f(p,2)＝2，故焦點坐標為(－2,0)．答案：B2．拋物線x2＝4y上一點P的縱坐標為4，則點P到拋物線焦點的距離為()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵x2＝4y，設(shè)P(xP,4)，故|PF|＝4＋1＝5.答案：D3．拋物線y＝－4x2的焦點到準線的距離為()A．1 B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：將拋物線方程y＝－4x2化為標準方程，為x2＝－eq\f(y,4)＝－2×eq\f(1,8)y，則p＝eq\f(1,8)，所以焦點到準線的距離為eq\f(1,8).答案：B4．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為()A．4 B．2C．6 D．8解析：∵a2＝6，b2＝2，∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.橢圓的右焦點為(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.答案：A5．當a為隨意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過定點P，則過點PA．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)yD．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝－eq\f(4,3)y解析：直線方程可化為a(x＋2)－x－y＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0,－x－y＋1＝0))，得P(－2,3)，經(jīng)檢驗知A正確．答案：A6．拋物線y2＝2px過點M(2,2)，則點M到拋物線準線的距離為________．解析：因為y2＝2px過點M(2,2)，于是p＝1，所以點M到拋物線準線的距離為2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，假如x1＋x2＝6，則|AB|的值為________．解析：∵y2＝4x，∴p＝2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：88．已知拋物線頂點為坐標原點，焦點在y軸上，拋物線上的點M(m，－2)到焦點的距離為4，則m＝________.解析：由已知，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py.由拋物線定義有2＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.將(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.答案：±49．依據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1)已知拋物線的焦點坐標是F(0，－2)；(2)準線方程為y＝eq\f(2,3)；(3)焦點在x軸負半軸上，焦點到準線的距離是5；(4)過點P(－2，－4)．解析：(1)因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且－eq\f(p,2)＝－2，則p＝4，所以，所求拋物線的標準方程為x2＝－8y.(2)因為拋物線的準線在y軸正半軸上，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，則p＝eq\f(4,3)，所以，所求拋物線的標準方程為x2＝－eq\f(8,3)y.(3)由焦點到準線的距離為5，知p＝5，又焦點在x軸負半軸上，所以，所求拋物線的標準方程為y2＝－10x.(4)如圖所示，因為點P在第三象限，所以滿意條件的拋物線的標準方程為y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝－2p2y(p2＞0)．分別將點P的坐標代入上述方程，解得p1＝4，p2＝eq\f(1,2).因此，滿意條件的拋物線有兩條，它們的方程分別為y2＝－8x和x2＝－y.10．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，點A(eq\f(7,2)，4)，求|PA|＋d的最小值．解析：設(shè)拋物線y2＝2x的焦點為F，則F(eq\f(1,2)，0)．又點A(eq\f(7,2)，4)在拋物線的外側(cè)，且點P到準線的距離為d，所以d＝|PF|，則|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5.∴|PA|＋d的最小值是5.[B組實力提升]1．若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：設(shè)動圓的半徑為r，圓心O′(x，y)，且O′到點(2,0)的距離為r＋1，O′到直線x＝－1的距離為r，所以O(shè)′到(2,0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知y2＝8x.答案：A2．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：∵x2＝8y，∴焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y＝－2.由拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)0＋2.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為4，故4<y0＋2，∴y0>2.答案：C3．已知點P(6，y)在拋物線y2＝2px(p>0)上，若點P到拋物線焦點F的距離等于8，則焦點F到拋物線準線的距離等于________．解析：拋物線y2＝2px(p>0)的準線為x＝－eq\f(p,2)，因為P(6，y)為拋物線上的點，所以P到焦點F的距離等于它到準線的距離，所以6＋eq\f(p,2)＝8，所以p＝4，故焦點F到拋物線準線的距離等于4.答案：44．設(shè)拋物線x2＝12y的焦點為F，經(jīng)過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若點P恰為線段AB的中點，則|AF|＋|BF|＝__________.解析：過點A，B，P分別作拋物線的準線y＝－3的垂線，垂足分別為C，D，Q，依據(jù)拋物線的定義，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|PQ|＝8.答案：85．河上有一座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一條小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面的部分高eq\f(3,4)m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多高時，小船不能通航？解析：如圖，建立直角坐標系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p>0)．由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝eq\f(8,5).∴x2＝－eq\f(16,5)y.當船兩側(cè)和拋物線相接觸時，船不能通航，設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)．由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面部分為eq\f(3,4)m，∴h＝|yA|＋eq\f(3,4)＝2(m)．故水面上漲到距拋物線頂2m時，小船起先不能通航．6．已知點A(12,6)，點M到F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1.(1)求點M的軌跡方程G；(2)在G上是否存在一點P，使點P到點A的距離與點P到x軸的距離之和取得最小值？若存在，求此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．解析：(1)點M到點F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1，即“點M到點F(0,1)的距離等于它到直線y＝－1的距離”，所以點M的軌跡是以F為焦點，直線y＝－1為準線的拋物線，此時，p＝2，故所求拋物線方程G為x2＝4y.(2)如圖，易推斷知點A在拋物線外側(cè)，設(shè)P(x，y)，則P到x軸的距離即y值，設(shè)P到準線y＝－1的距離為d，則y＝d－1.故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，由拋物線定義知|PF|＝d.于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.由圖可知，當A、P、F三點共線且P在AF之間時，|PA|＋|PF|取得