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PAGE3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.(重點(diǎn))2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題.(重點(diǎn))通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),使學(xué)生相識(shí)函數(shù)模型的作用,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).1.常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)(2)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)(6)分段函數(shù)模型y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax+bx<m,,cx+dx≥m))2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程思索:解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么?提示:利用函數(shù)學(xué)問和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí),一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:(一)審題;(二)建模;(三)求模;(四)還原.這些步驟用框圖表示如圖:1.如表是函數(shù)值y隨自變量x改變的一組數(shù)據(jù),由此推斷它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型A[自變量每增加1函數(shù)值增加2,函數(shù)值的增量是勻稱的,故為一次函數(shù)模型.故選A.]2.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食物的特別動(dòng)物,已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到()A.300只 B.400只C.600只 D.700只A[將x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100.所以x=7時(shí),y=100log2(7+1)=300.]3.據(jù)調(diào)查,某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次,其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.8元,一般車存車費(fèi)是每輛一次0.5元,若一般車存車數(shù)為x輛次,存車費(fèi)總收入為y元,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)D[由題意知,變速車存車數(shù)為(2000-x)輛次,則總收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=-0.3x+1600(0≤x≤2000).]4.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營.據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營運(yùn)的利潤y與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖),則客車有營運(yùn)利潤的時(shí)間不超過________年.7[設(shè)二次函數(shù)y=a(x-6)2+11,又過點(diǎn)(4,7),所以a=-1,即y=-(x-6)2+11.解y≥0,得6-eq\r(11)≤x≤6+eq\r(11),所以有營運(yùn)利潤的時(shí)間為2eq\r(11).又6<2eq\r(11)<7,所以有營運(yùn)利潤的時(shí)間不超過7年.]利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例1】前期由于新冠肺炎,各企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益都受到了肯定的影響,但隨著我國有效的防控,各行各業(yè)也都復(fù)原了運(yùn)營,經(jīng)濟(jì)效益也都有了肯定的提高.如某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出,當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛,租出的車每輛每月須要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月須要維護(hù)費(fèi)50元.(1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時(shí),能租出多少輛?(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?[解](1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時(shí),未租出的車輛數(shù)為eq\f(3600-3000,50)=12,所以此時(shí)租出了88輛.(2)設(shè)每輛車的月租金為x元,租賃公司的月收益為y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100-\f(x-3000,50)))(x-150)-eq\f(x-3000,50)×50,整理得y=-eq\f(x2,50)+162x-21000=-eq\f(1,50)(x-4050)2+307050,所以當(dāng)x=4050,即每輛車的租金為4050元時(shí),租賃公司的月收益最大,最大月收益是307050元.已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題,往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù),須要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型,求得函數(shù)模型中的參數(shù),再將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1.某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為:P=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t+200<t<25,,-t+10025≤t≤30.))(t∈N*)設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q=40-t(0<t≤30,t∈N*),求這種商品的日銷售金額的最大值,并指出日銷售金額最大是第幾天?[解]設(shè)日銷售金額為y(元),則y=PQ,所以y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-t2+20t+8000<t<25,,t2-140t+400025≤t≤30.))(t∈N*)①當(dāng)0<t<25且t∈N*時(shí),y=-(t-10)2+900,所以當(dāng)t=10時(shí),ymax=900(元).②當(dāng)25≤t≤30且t∈N*時(shí),y=(t-70)2-900,所以當(dāng)t=25時(shí),ymax=1125(元).結(jié)合①②得ymax=1125(元).因此,這種商品日銷售額的最大值為1125元,且在第25天時(shí)日銷售金額達(dá)到最大.自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例2】牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量,必需留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;(2)求羊群年增長量的最大值.思路點(diǎn)撥:eq\x(畜養(yǎng)率)→eq\x(空閑率)→eq\x(y與x之間的函數(shù)關(guān)系)eq\o(→,\s\up8(單調(diào)性))eq\x(求最值)[解](1)依據(jù)題意,由于最大畜養(yǎng)量為m只,實(shí)際畜養(yǎng)量為x只,則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m),故空閑率為1-eq\f(x,m),由此可得y=kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(x,m)))(0<x<m).(2)對(duì)原二次函數(shù)配方,得y=-eq\f(k,m)(x2-mx)=-eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(m,2)))eq\s\up8(2)+eq\f(km,4),即當(dāng)x=eq\f(m,2)時(shí),y取得最大值eq\f(km,4).1.(變條件)若將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成反比”又如何表示出y關(guān)于x的函數(shù)解析式?[解]依據(jù)題意,由于最大畜養(yǎng)量為m只,實(shí)際畜養(yǎng)量為x只,則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m),故空閑率為1-eq\f(x,m),因?yàn)檠蛉旱哪暝鲩L量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成反比,由此可得y=eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(x,m))))(0<x<m).2.(變結(jié)論)若本例條件不變,求當(dāng)羊群的年增長量達(dá)到最大值時(shí),k的取值范圍.[解]由題意知為給羊群留有肯定的生長空間,則有實(shí)際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量,即0<x+y<m.因?yàn)楫?dāng)x=eq\f(m,2)時(shí),ymax=eq\f(km,4),所以0<eq\f(m,2)+eq\f(km,4)<m,解得-2<k<2.又因?yàn)閗>0,所以0<k<2.自建模型時(shí)主要抓住四個(gè)關(guān)鍵:“求什么,設(shè)什么,列什么,限制什么”.求什么就是弄清晰要解決什么問題,完成什么任務(wù).,設(shè)什么就是弄清晰這個(gè)問題有哪些因素,誰是核心因素,通常設(shè)核心因素為自變量.,列什么就是把問題已知條件用所設(shè)變量表示出來,可以是方程、函數(shù)、不等式等.限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿意的限制條件,在實(shí)際問題中,除了要使函數(shù)式有意義外,還要考慮變量的實(shí)際含義,如人不能是半個(gè)等.擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題[探究問題]1.實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間肯定有確定的函數(shù)關(guān)系嗎?提示:不肯定.2.對(duì)于收集的一組樣本數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)我們常對(duì)其如何操作,以發(fā)覺其所隱含的規(guī)律?提示:常先畫上述數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,再借助其改變趨勢(shì),結(jié)合我們已學(xué)習(xí)的函數(shù)模型,對(duì)數(shù)據(jù)作出合理的分析,從中找出所隱含的規(guī)律.【例3】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,自2015年以來,每年在正常狀況下,該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長.已知2015年為第1年,前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2015~2024年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖;(2)建立一個(gè)能基本反映(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量改變的函數(shù)模型,并求出函數(shù)解析式;(3)2024年(即x=5)因受到某國對(duì)我國該產(chǎn)品反傾銷的影響,年產(chǎn)量削減30%,試依據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2024年的年產(chǎn)量為多少?思路點(diǎn)撥:eq\x(描點(diǎn))eq\o(→,\s\up8(依散點(diǎn)圖))eq\x(選模)eq\o(→,\s\up8(待定系數(shù)法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up8(誤差))eq\x(驗(yàn)?zāi)?→eq\x(用模)[解](1)畫出散點(diǎn)圖,如圖所示.(2)由散點(diǎn)圖知,可選用一次函數(shù)模型.設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=4,,3a+b=7,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1.5,,b=2.5,))∴f(x)=1.5x+2.5.檢驗(yàn):f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.∴一次函數(shù)模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年產(chǎn)量的改變.(3)依據(jù)所建的函數(shù)模型,預(yù)料2024年的年產(chǎn)量為f(5)=1.5×5+2.5=10萬件,又年產(chǎn)量削減30%,即10×70%=7萬件,即2024年的年產(chǎn)量為7萬件.函數(shù)擬合與預(yù)料的一般步驟是:1依據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點(diǎn)圖.2通過考察散點(diǎn)圖,畫出擬合直線或擬合曲線.3求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.4利用函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)料和限制,為決策和管理供應(yīng)依據(jù).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式;(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常?[解](1)以身高為橫坐標(biāo),體重為縱坐標(biāo),畫出散點(diǎn)圖.依據(jù)點(diǎn)的分布特征,可考慮以y=a·bx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型.取其中的兩組數(shù)據(jù)(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9=a·b70,,47.25=a·b160,))用計(jì)算器算得a≈2,b≈1.02.這樣,我們就得到一個(gè)函數(shù)模型:y=2×1.02x.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式,或作出上述函數(shù)的圖象,可以發(fā)覺,這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系.(2)將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由計(jì)算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,這個(gè)男生偏胖.1.核心要點(diǎn):解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)學(xué)問,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.2.?dāng)?shù)學(xué)思想:函數(shù)的應(yīng)用,實(shí)質(zhì)上是函數(shù)思想方法的應(yīng)用,其處理問題的一般方法是依據(jù)題意,先構(gòu)建函數(shù),把所給問題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探討,從而間接求出所須要的結(jié)論.1.思索辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表述. ()(2)在函數(shù)建模中,散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. ()(3)當(dāng)不同的范圍下,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同時(shí),可以選擇分段函數(shù)模型. ()[答案](1)√(2)√(3)√2.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t改變的圖象如圖所示,那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A.分段函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.對(duì)數(shù)函數(shù)A[由圖可知,該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型.]3.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系是()A.y=0.9576eq\f(x,100)B.y=(0.9576)100x
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