2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例講義教案新人教A版必修1

PAGE3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題．(重點)2．能建立函數(shù)模型解決實際問題．(重點、難點)3．了解擬合函數(shù)模型并解決實際問題．(重點)通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生相識函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程思索：解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么？提示：利用函數(shù)學(xué)問和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：1．如表是函數(shù)值y隨自變量x改變的一組數(shù)據(jù)，由此推斷它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型A[自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是勻稱的，故為一次函數(shù)模型．故選A.]2．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特別動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只A[將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.8元，一般車存車費是每輛一次0.5元，若一般車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)D[由題意知，變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據(jù)市場分析，每輛客車營運的利潤y與營運年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖)，則客車有營運利潤的時間不超過________年．7[設(shè)二次函數(shù)y＝a(x－6)2＋11，又過點(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－eq\r(11)≤x≤6＋eq\r(11)，所以有營運利潤的時間為2eq\r(11).又6<2eq\r(11)<7，所以有營運利潤的時間不超過7年．]利用已知函數(shù)模型解決實際問題【例1】前期由于新冠肺炎，各企業(yè)的經(jīng)濟效益都受到了肯定的影響，但隨著我國有效的防控，各行各業(yè)也都復(fù)原了運營，經(jīng)濟效益也都有了肯定的提高．如某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月須要維護費150元，未租出的車每輛每月須要維護費50元．(1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時，能租出多少輛？(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？[解](1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時，未租出的車輛數(shù)為eq\f(3600－3000,50)＝12，所以此時租出了88輛．(2)設(shè)每輛車的月租金為x元，租賃公司的月收益為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))(x－150)－eq\f(x－3000,50)×50，整理得y＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000＝－eq\f(1,50)(x－4050)2＋307050，所以當(dāng)x＝4050，即每輛車的租金為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是307050元．已知函數(shù)模型解決實際問題，往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)，須要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求得函數(shù)模型中的參數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))(t∈N*)設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？[解]設(shè)日銷售金額為y(元)，則y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，,t2－140t＋400025≤t≤30.))(t∈N*)①當(dāng)0<t<25且t∈N*時，y＝－(t－10)2＋900，所以當(dāng)t＝10時，ymax＝900(元)．②當(dāng)25≤t≤30且t∈N*時，y＝(t－70)2－900，所以當(dāng)t＝25時，ymax＝1125(元)．結(jié)合①②得ymax＝1125(元)．因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日銷售金額達到最大．自建確定性函數(shù)模型解決實際問題【例2】牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必需留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知羊群的年增長量y只和實際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值．思路點撥：eq\x(畜養(yǎng)率)→eq\x(空閑率)→eq\x(y與x之間的函數(shù)關(guān)系)eq\o(→,\s\up8(單調(diào)性))eq\x(求最值)[解](1)依據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)對原二次函數(shù)配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up8(2)＋eq\f(km,4)，即當(dāng)x＝eq\f(m,2)時，y取得最大值eq\f(km,4).1．(變條件)若將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成反比”又如何表示出y關(guān)于x的函數(shù)解析式？[解]依據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，因為羊群的年增長量y只和實際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))(0<x<m)．2．(變結(jié)論)若本例條件不變，求當(dāng)羊群的年增長量達到最大值時，k的取值范圍．[解]由題意知為給羊群留有肯定的生長空間，則有實際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0<x＋y<m.因為當(dāng)x＝eq\f(m,2)時，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因為k>0，所以0<k<2.自建模型時主要抓住四個關(guān)鍵：“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清晰要解決什么問題，完成什么任務(wù).,設(shè)什么就是弄清晰這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量.,列什么就是把問題已知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等.限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿意的限制條件，在實際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等.擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題[探究問題]1．實際問題中兩個變量之間肯定有確定的函數(shù)關(guān)系嗎？提示：不肯定．2．對于收集的一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我們常對其如何操作，以發(fā)覺其所隱含的規(guī)律？提示：常先畫上述數(shù)據(jù)的散點圖，再借助其改變趨勢，結(jié)合我們已學(xué)習(xí)的函數(shù)模型，對數(shù)據(jù)作出合理的分析，從中找出所隱含的規(guī)律．【例3】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2015年以來，每年在正常狀況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長．已知2015年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2015～2024年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點圖；(2)建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量改變的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；(3)2024年(即x＝5)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量削減30%，試依據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2024年的年產(chǎn)量為多少？思路點撥：eq\x(描點)eq\o(→,\s\up8(依散點圖))eq\x(選模)eq\o(→,\s\up8(待定系數(shù)法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up8(誤差))eq\x(驗?zāi)?→eq\x(用模)[解](1)畫出散點圖，如圖所示．(2)由散點圖知，可選用一次函數(shù)模型．設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.檢驗：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函數(shù)模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年產(chǎn)量的改變．(3)依據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)料2024年的年產(chǎn)量為f(5)＝1.5×5＋2.5＝10萬件，又年產(chǎn)量削減30%，即10×70%＝7萬件，即2024年的年產(chǎn)量為7萬件．函數(shù)擬合與預(yù)料的一般步驟是：1依據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖.2通過考察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線.3求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.4利用函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)條件對所給問題進行預(yù)料和限制，為決策和管理供應(yīng)依據(jù).eq\o([跟進訓(xùn)練])2．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式；(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？[解](1)以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點圖．依據(jù)點的分布特征，可考慮以y＝a·bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型．取其中的兩組數(shù)據(jù)(70,7.90)，(160，47.25)，代入y＝a·bx得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用計算器算得a≈2，b≈1.02.這樣，我們就得到一個函數(shù)模型：y＝2×1.02x.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)覺，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．(2)將x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由計算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，這個男生偏胖．1．核心要點：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．2．?dāng)?shù)學(xué)思想：函數(shù)的應(yīng)用，實質(zhì)上是函數(shù)思想方法的應(yīng)用，其處理問題的一般方法是依據(jù)題意，先構(gòu)建函數(shù)，把所給問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探討，從而間接求出所須要的結(jié)論．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)銀行利率、細胞分裂等增長率問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表述． ()(2)在函數(shù)建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型． ()(3)當(dāng)不同的范圍下，對應(yīng)關(guān)系不同時，可以選擇分段函數(shù)模型． ()[答案](1)√(2)√(3)√2．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t改變的圖象如圖所示，那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是()A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．對數(shù)函數(shù)A[由圖可知，該圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型．]3．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝0.9576eq\f(x,100)B．y＝(0.9576)100x