2024-2025學(xué)年陜西省西安市高新一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年陜西省西安市高新一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|(x?3)(x+2)<0}，B={x∈N|?1≤x≤5}，則A∩B=(

)A.[?1,3) B.{?1,0,1,2} C.(?2,5] D.{0,1,2}2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為(

)A.直線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線3.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為(

)A.2 B.1 C.12 D.4.已知圓M經(jīng)過(guò)P(1,1)，Q(2,?2)兩點(diǎn)，且圓心M在直線l：x?y+1=0，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.(x?2)2+(y?3)2=5 B.(x?35.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：?)之間的關(guān)系式為P=P0e?λt(t≥0)，其中P0為初始污染物含量，P0，λ均為正的常數(shù)，已知過(guò)濾前后廢氣的體積相等，且在前4?過(guò)濾掉了80%的污染物A.4? B.6? C.8? D.12?6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：(x+4)2+(y?1)2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線A.(3,7) B.[3,7] C.(3,+∞) D.[3,+∞)7.雙曲線C：x2a2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1作斜率為正且與C的某條漸近線垂直的直線A.32 B.132 C.8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC⊥BC，AC=BC=1，點(diǎn)D在上底面A1B1A.[1,62]B.[98二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx?2sin2x，給出下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有A.函數(shù)f(x)的最小正周期是π

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[π8,5π8]上是減函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π8,0)對(duì)稱

D.10.已知點(diǎn)A，B在圓O：x2+y2=4上，點(diǎn)P在直線l：A.直線l與圓O相離

B.當(dāng)|AB|=23時(shí)，|PA+PB|的最小值是25?1

C.當(dāng)PA、PB為圓O的兩條切線時(shí)，(OA+OB)?11.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長(zhǎng)、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓C的蒙日?qǐng)A，其圓方程為x2+y2=a2+bA.點(diǎn)A與橢圓C的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為b

B.若l上恰有一點(diǎn)P滿足：過(guò)P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為x23+y2=1

C.若l上任意一點(diǎn)Q都滿足QA?QB>0，則b>1

D.若b=1，橢圓三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(?6,3)，B(2,5)，C(7,?4)，則邊AB的中線所在直線的一般式為_(kāi)_____．13.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù).當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則f(101)=14.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯(公元前375年?325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，由F1發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1經(jīng)過(guò)的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問(wèn)題：

(1)橢圓C的離心率為_(kāi)_____；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為l，F(xiàn)2在l上的射影H在圓四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水．計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,1)，[1,2)，…，[8,9)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中0.4a=b．

(1)求直方圖中a，b的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)；

(2)設(shè)該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a?b=2，sin(A?B)=sinA+sinB2．

(1)求c；

(2)若△ABC的內(nèi)切圓在AB上的切點(diǎn)為D，求AD17.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(2,0)，直線PN，QN相交于點(diǎn)N，且它們的斜率之積是?12．

(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)N的軌跡與直線y=kx+1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)求二面角F?AE?D的正弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且PGPB=19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式x′=ax+byy′=cx+dy①(其中a，b，c，d為常數(shù))，將點(diǎn)P(x,y)變換為點(diǎn)P′(x′,y′)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由a，b，c，d組成的正方形數(shù)表abcd唯一確定，我們將abcd稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英文字母A，B，…表示．

(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到點(diǎn)P′(x′,y′)(到原點(diǎn)距離不變)，求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣A；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求雙曲線xy=1繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4(到原點(diǎn)距離不變)得到的雙曲線方程C；

(3)已知由(2)得到的雙曲線C，上頂點(diǎn)為D，直線l與雙曲線C的兩支分別交于A，B兩點(diǎn)(B在第一象限)，與x軸交于點(diǎn)T(6

參考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.C

6.B

7.B

8.B

9.AB

10.ACD

11.BD

12.8x+9y?20=0

13.?1

14.12

x15.解：(1)由題意得：0.4a=b0.04+0.08+a+0.2+0.26+a+b+0.04+0.02=1，

解得a=0.15，b=0.06．

由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)為：

0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．

(2)由頻率分布直方圖得：

全市居民中月均用水量不低于2噸的頻率為：1?0.04?0.08=0.88，

∴全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：

400000×(1?0.04?0.08)=352000．

(3)∵前6組的頻率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

∴5≤x<6，

由0.15×(x?5)=0.85?0.73，解得：x=5.8，

因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為5.8噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)．16.解：(1)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

已知a?b=2，sin(A?B)=sinA+sinB2，

由sin(A?B)=sinA+sinB2，則2sinAcosB?2cosAsinB=sinA+sinB，

整理得：sinA(2cosB?1)=sinB(1+2cosA)，

則角化邊可得：a(2×a2+c2?b22ac?1)=b(1+2×b2+c2?a22bc)，

整理可得：c=2(a?b)，

又a?b=2，因此可得c=4；

(2)由(1)知c=4，a?b=2，

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓在AC，BC上的切點(diǎn)為M17.解：(1)由題，設(shè)N(x,y)，因?yàn)橹本€PN，QN的斜率之積是?12，

所以yx+2×yx?2=?12，

化簡(jiǎn)得：x22+y2=1(x≠±2)，

即動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為：x22+y2=1(x≠±2)；

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M，

所以M(x1+x22,y118.解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

因?yàn)锳D⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

因?yàn)锳E?平面PAD，所以CD⊥AE，

又因?yàn)镻A=AD=CD=2，E為PD的中點(diǎn)，所以PD⊥AE，

因?yàn)镃D∩PD=D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．

(2)過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AM，AD?平面ABCD，則PA⊥AM，PA⊥AD，

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,0,0)，B(2,?1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，則E(0,1,1)，

所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,?2),AP=(0,0,2)，

又PFPC=13，所以PF=13PC=(23,23,?23)，

故AF=AP+PF=(23,23,43)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，則n⊥AE,n⊥AF，

所以n?AE=0n?AF=0，即y+z=023x+23y+43z=0，

令z=1，則y=?1，x=?1，所以n19.解：(1)設(shè)OP=OP′=r，∠POx=θ，則x=rcosθ，y=rsinθ，∠P′Ox=θ+α，

故x′=rcos(θ+α)=rcosθcosα?rsinθsinα=xcosα?ysinα，

y′=rsin(θ+α)=rsinθcosα+rcosθsinα=xsinα+ycosα，

所以坐標(biāo)變換公式為x′=xcosα?ysinαy′=xsinα+ycosα，

該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為A=cosα?sinαsinαcosα；

(2)設(shè)曲線xy=1上任意一點(diǎn)(x,y)在旋轉(zhuǎn)角是π4的旋轉(zhuǎn)變換下