一元二次方程復(fù)習(xí)教案教師版

一元二次方程復(fù)習(xí)教案（1）姓名 分?jǐn)?shù) 家長評價 福勒是美國一個黑人佃農(nóng)的兒子。他五歲開始勞動，9歲以前以趕騾子為生，他們一家人一直過著貧窮的生活。

福勒有一個不平常的母親，她發(fā)現(xiàn)福勒與其他6個孩子不同。這位母親有意識地經(jīng)常將福勒拉在身邊，跟他談?wù)勑闹械南敕āＫ磸?fù)地說：“福勒，我們不應(yīng)該貧窮！我們的貧窮不是由上帝安排的，而是我們家庭中的任何人都沒有產(chǎn)生過出人頭地的想法?！?/p>

我們貧窮是因為沒有奢望過富裕！這個觀念在福勒的心靈深處刻下了深深的烙印，以致成就了他日后天比輝煌的事業(yè)。

福勒改變貧窮的愿望像火花一樣迸發(fā)出來——他挨家挨戶出售肥皂長達12年之久，并由此獲得了許多商人的尊敬和贊賞。慢慢地，福勒不僅在最初工作的那個肥皂公司，而且在其他7個公司都獲得了控股權(quán)。福勒獲得了巨大的成功，徹底改變了家庭的貧窮的面貌，扭轉(zhuǎn)了家庭的命運。

哲人說：所有偉大的成就在它開始時都不過是一個想法罷了——不過是一個想法！

感悟：【經(jīng)典導(dǎo)航1】知識點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知識點二、一元二次方程的解法

1．直接開方法；

2．配方法；

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方；求出方程的解；如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無

實數(shù)解.

3．公式法；

(1)一元二次方程求根公式：

一元二次方程，當(dāng)時，.

(2)一元二次方程根的判別式．

①當(dāng)時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根.

(3)用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實根.

4．因式分解法；

(1)用因式分解法解一元二次方程的步驟：

①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

(2)常用因式分解法：

提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.

知識點三、列一元二次方程解應(yīng)用題

1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，或?qū)⒁粋€量表示兩遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；

答(切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題.

知識點四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根是x1，x2，那么.

注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.類型一、一元二次方程及根的定義

〖典型例題1〗1.已知關(guān)于的方程的一個根為2，求另一個根及的值.

思路點撥：從一元二次方程的解的概念入手，將根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一個根即可.

解：將代入原方程，得

即

解方程，得

當(dāng)時，原方程都可化為

解方程，得.

所以方程的另一個根為4，或-1.

總結(jié)升華：以方程的根為載點.綜合考查解方程的問題是一個常考問題，解這類問題關(guān)鍵是要抓住“根”的概念，并以此為突破口.

舉一反三：

【變式1】已知一元二次方程的一個根是，求代數(shù)式的值.

思路點撥：抓住為方程的一個根這一關(guān)鍵，運用根的概念解題.

解：因為是方程的一個根,

所以,

故,

,

所以.

.

總結(jié)升華：“方程”即是一個“等式”，在“等式”中，根據(jù)題目的需要，合理地變形，是一種對代數(shù)運算綜合要求較高的能力，在這一方面注意豐富自己的經(jīng)驗.

類型二、一元二次方程的解法

2.用直接開平方法解下列方程：

(1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0.

解：(1)27x2=3

.

(2)4(1-x)2=9

3.用配方法解下列方程：

(1)；(2).

解：(1)由，

得，

，

，

所以，

故.

(2)由，

得，

，

，

所以

故

4.用公式法解下列方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)這里

并且

所以，

所以，.

(2)將原方程變形為，

則

，

所以，

所以.

(3)將原方程展開并整理得，

這里，

并且，

所以.

所以.

總結(jié)升華：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一個重點，要求熟練掌握，它對我們的運算能力有較高要求，也是提高我們運算能力訓(xùn)練的好素材.

5.用因式分解法解下列方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)將原方程變形為，

提取公因式，得，

因為，所以

所以或，

故

(2)直接提取公因式，得

所以或，(即

故.

(3)直接用平方差公式因式分解得

即

所以或

故.

舉一反三：

【變式1】用適當(dāng)方法解下列方程．

(1)2(x+3)2=x(x+3)；(2)x2-2x+2=0；

(3)x2-8x=0；(4)x2+12x+32=0.

解：(1)2(x+3)2=x(x+3)

2(x+3)2-x(x+3)=0

(x+3)[2(x+3)-x]=0

(x+3)(x+6)=0

x1=-3，x2=-6．

(2)x2-2x+2=0

這里a=1，b=-2，c=2

b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0

x==

x1=+，x2=-

(3)x(x-8)=0

x1=0，x2=8．

(4)配方，得

x2+12x+32+4=0+4

(x+6)2=4

x+6=2或x+6=-2

x2=-4，x2=-8．

點評:要根據(jù)方程的特點靈活選用方法解方程.

6.若，求的值.

思路點撥：觀察，把握關(guān)鍵：換元，即把看成一個“整體”.

解：由，

得，

，

，

所以，

故或(舍去)，

所以.

總結(jié)升華：把某一“式子”看成一個“整體”，用換元的思想轉(zhuǎn)化為方程求解，這種轉(zhuǎn)化與化歸的意識要建立起來.

類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

7.(武漢)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情況是()

A.有兩個相等的實數(shù)根;B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根;D.沒有實數(shù)根

解析:因為△=32-4×4×(-2)＞0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

答案:B.

8.(重慶)若關(guān)于x的一元二次方程x2+x-3m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m＞B.m＜C.m＞-D.m＜-

思路點撥：因為該方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以應(yīng)滿足.

解:由題意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，

解得m＞-.

答案:C.

舉一反三：

【變式1】當(dāng)m為什么值時，關(guān)于x的方程有實根.

思路點撥：題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分和兩種情形討論.

解：當(dāng)即時，，方程為一元一次方程，總有實根；

當(dāng)即時，方程有根的條件是：

，解得

∴當(dāng)且時，方程有實根.

綜上所述：當(dāng)時，方程有實根.

【變式2】若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．

思路點撥：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范圍．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根．

∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0

∴滿足

∵ax+3＞0即ax＞-3

∴所求不等式的解集為.

類型四、根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值

9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x12+x22的值是()

A.B.C.D.7

思路點撥:本題解法不唯一，可先解方程求出兩根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化成含有x1+x2和x1x2的代數(shù)式，再整體代入.

解:由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.

答案:A.

總結(jié)升華:公式之間的恒等變換要熟練掌握.

類型五、一元二次方程的應(yīng)用

考點講解：

1．構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型：一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實問題的有效數(shù)學(xué)模型，通過審題弄清具體

問題中的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的關(guān)鍵．

2．注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要

對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性．

10.(陜西)在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖.如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()

A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1400=0D.x2-64x-1350=0

解析:在矩形掛圖的四周鑲一條寬為xcm的金邊，那么掛圖的長為(80+2x)cm，寬為(50+2x)cm，由題意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.

答案:B.

11.(?？?某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，依題意，得(500-20x)(10+x)=6000．

整理，得x2-15x＋50=0．解這個方程，x1=5，x2=10．

要使顧客得到實惠，應(yīng)取x=5．

答：每千克應(yīng)漲價5元．

總結(jié)升華：應(yīng)抓住“要使顧客得到實惠”這句話來取舍根的情況．

12.(深圳南山區(qū))課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉庫旁的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的花圃(如圖)，打算一面利用長為15米的倉庫墻面，三面利用長為33米的舊圍欄，求花圃的長和寬．

解：設(shè)與墻垂直的兩邊長都為米，則另一邊長為米，依題意得

又∵當(dāng)時，

當(dāng)時，

∴不合題意，舍去．∴.

答：花圃的長為13米，寬為10米．一元二次方程是中學(xué)代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是進一步學(xué)習(xí)其他方程、不等式、函數(shù)等的基礎(chǔ)，其內(nèi)容非常豐富，本講主要介紹一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)稱為一元二次方程．一元二次方程的基本解法有開平方法、配方法、公式法和國式分解法．對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac稱為該方程的根的判別式．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．分析可以使用公式法直接求解，下面介紹的是采用因式分解法求解．因為所以例2解關(guān)于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解用十字相乘法分解因式得[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．例3已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的較大根為a，方程x2+1998x-1999=0的較小根為β，求α-β的值．解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．例4解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本題容易犯的錯誤是約去方程兩邊的(x-1)，將方程變?yōu)?x-1=4x+1，所以x=-2，這樣就丟掉了x=1這個根．故特別要注意：用含有未知數(shù)的整式去除方程兩邊時，很可能導(dǎo)致方程失根．本題正確的解法如下．解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以x1=1，x2=-2．例5解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要考慮到絕對值的意義．解法1顯然x≠0．當(dāng)x＞0時，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．當(dāng)x＜0時，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根為x1=4，x2=-4．解法2由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以x1=4，x2=-4．例6已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一個根為2，求另一個根，并確定a的值．解由方程根的定義知，當(dāng)x=2時方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3．原方程為3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7解關(guān)于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．分析含有字母系數(shù)的方程，一般需要對字母的取值范圍進行討論．當(dāng)c=0時，x1=x2=0；當(dāng)ac＞0(即a，c同號時)，方程無實數(shù)根．例8解關(guān)于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析討論m，由于二次項系數(shù)含有m，所以首先要分m-1=0與m-1≠0兩種情況(不能認(rèn)為方程一定是一元二次方程)；當(dāng)m-1≠0時，再分△＞0，△=0，△＜0三種情況討論．解分類討論．(1)當(dāng)m=1時，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠蘹-2=0，所以x=2．(2)當(dāng)m≠1時，原方程為一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9解關(guān)于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)當(dāng)a2-a≠0，即a≠0，1時，原方程為一元二次方程，因式分解后為[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，(2)當(dāng)a2-a=0時，原方程為一元一次方程，當(dāng)a=0時，x=0；當(dāng)a=1時，x=2．例10求k的值，使得兩個一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求兩個方程的根．解不妨設(shè)a是這兩個方程相同的根，由方程根的定義有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即(k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)當(dāng)k=1時，兩個方程都變?yōu)閤2+x-1=0，所以兩個方程有兩個相同的根沒有相異的根；(2)當(dāng)a=1時，代入①或②都有k=0，此時兩個方程變?yōu)閤2-1=0，x2+x-2=0．解這兩個方程，x2-1=0的根為x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根為x1=1，x2=-2．x=1為兩個方程的相同的根．例11若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有兩個不相等的正整數(shù)根，求k的值．解原方程變形、因式分解為(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同時為正整數(shù)，但當(dāng)k=3時，x1=x2=3，與題目不符，所以，只有k=2為所求．例12關(guān)于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有實根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m的取值范圍．解不妨設(shè)方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x2+2ax+b2與x2+2cx-b2有一次公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．證因為題目中的兩個二次三項式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0必有公共根，設(shè)公共根為x0，則

兩式相加得若x0=0，代入①式得b=0，這與b為△ABC的邊不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC為直角三角形．例14有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形時比擺成正方形時每邊多兩個球，求球的個數(shù)．解設(shè)小球擺成正三角形時，每邊有x個球，則擺成正方形時每邊有(x-2)個球．此時正三角形共有球此時正方形共有(x-2)2個球，所以即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．因為x-2≥1，所以x1=1不符合題意，舍去．所以x=8，此時共有球(x-2)2=36個．.以練代講姓名分?jǐn)?shù)一、選擇題(共8題，每題有四個選項，其中只有一項符合題意。每題3分,共24分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2下列方程中,常數(shù)項為零的是()A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程2x2-3x+1=0化為(x+a)2=b的形式,正確的是()A.;B.;C.;D.以上都不對4.關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則值為（）A、B、C、或D、5.已知三角形兩邊長分別為2和9,第三邊的長為二次方程x2-14x+48=0的一根,則這個三角形的周長為()A.11B.17C.17或19D.196.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（）A、B、3C、6D、97.使分式的值等于零的x是()A.6B.-1或6C.-1D.-68.若關(guān)于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實根,則k的取值范圍是()A.k>-B.k≥-且k≠0C.k≥-D.k>且k≠09.已知方程，則下列說中，正確的是（）（A）方程兩根和是1（B）方程兩根積是2（C）方程兩根和是（D）方程兩根積比兩根和大210.某超市一月份的營業(yè)額為200萬元,已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元,如果平均每月增長率為x,則由題意列方程應(yīng)為()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空題:(每小題4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比較簡便.12.如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則x的值為________.13.14.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個根為-1,則a、b、c的關(guān)系是______.15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,則a=______,b=______.16.一元二次方程x2-3x-1=0與x2-x+3=0的所有實數(shù)根的和等于____.17.已知3-是方程x2+mx+7=0的一個根,則m=________,另一根為_______.18.已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是___________.19.已知是方程的兩個根，則等于__________.20.關(guān)于的二次方程有兩個相等實根，則符合條件的一組的實數(shù)值可以是，.三、用適當(dāng)方法解方程：（每小題5分，共10分）21.22.四、列方程解應(yīng)用題：（每小題7分，共21分）23.某電視機廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機的成本降低36%,若每年下降的百分?jǐn)?shù)相同,求這個百分?jǐn)?shù).24.如圖所示，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊試驗田，要使試驗田的面積為570m2，道路應(yīng)為多寬？25.某商場銷售一批名牌襯衫