03-多相流動(dòng)的基本方程

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多相流動(dòng)的基本方程《多相流體力學(xué)》2012.09程麗1主要內(nèi)容1.輸運(yùn)定理2.連續(xù)介質(zhì)模型2.1連續(xù)方程2.4能量守恒原理

2.2動(dòng)量方程2.5守恒方程的統(tǒng)一形式

2.3動(dòng)量矩方程3.唯象方法3.1均相模型3.4簡(jiǎn)化模型

3.2分相模型

3.3多相體系中相界面的表面張力多相流及其應(yīng)用，車得福李會(huì)雄，西安交通大學(xué)出版社，2007.11二相流體動(dòng)力學(xué)，劉大有，高等教育出版社，1993.0921.輸運(yùn)定理TheReynoldstransporttheorem（1）系統(tǒng)(system)——由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體團(tuán)或有限的流體體積V*(t)。系統(tǒng)的邊界面S*(t)。運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的集合，系統(tǒng)的體積和邊界面的形狀可以隨時(shí)間變化；系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量的輸入輸出，系統(tǒng)質(zhì)量不變，但有動(dòng)量和能量的變化；

系統(tǒng)邊界面上有力的相互作用。系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)——系統(tǒng)內(nèi)物理量的總和對(duì)時(shí)間的變化率。如：系統(tǒng)總質(zhì)量及其系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)SystemControlVolumeControlSurfaceV3SystemControlVolumeControlSurface（2）控制體(controlvolume)——相對(duì)于坐標(biāo)系固定不變的空間體積V?？刂企w的邊界面S稱為控制面。控制體的幾何外形和體積相對(duì)于選定的坐標(biāo)系是固定不變的；

控制面上可以有流體的流入、流出，有質(zhì)量、動(dòng)量和能量的交換；控制面上有力的相互作用。控制體導(dǎo)數(shù)（局部導(dǎo)數(shù)）——控制體內(nèi)某物理量的總和對(duì)時(shí)間的變化率。如：控制體內(nèi)的總質(zhì)量及其局部導(dǎo)數(shù)V4（3）輸運(yùn)公式——系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)的Euler表達(dá)式

經(jīng)典力學(xué)定律建立在固定對(duì)象上，流體力學(xué)中這些定律建立在系統(tǒng)上。由于流體的流動(dòng)性，系統(tǒng)的體積和邊界面形狀不斷變化，不利于實(shí)際應(yīng)用。需要將建立在系統(tǒng)上的定律轉(zhuǎn)換到具有固定體積的控制體上。定理：任一瞬時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物理量Q(p;t)

隨時(shí)間的變化率等于該瞬時(shí)同形狀、同體積控制體內(nèi)物理量的變化率與通過控制面S的輸運(yùn)量之和。

說(shuō)明：Q可以是標(biāo)量，也可以是矢量。當(dāng)時(shí)，表示單位時(shí)間內(nèi)通過S的質(zhì)量；當(dāng)時(shí)，表示單位時(shí)間內(nèi)通過的動(dòng)量。52.連續(xù)介質(zhì)模型采用該模型建立二相流方程時(shí)，只需假設(shè)每一相在局部范圍內(nèi)都是連續(xù)介質(zhì)，不必引入其它各種人為假設(shè)，而且對(duì)二相流的種類和流型（flowpattern）沒有任何限制。在邏輯上和數(shù)學(xué)推導(dǎo)上是目前最嚴(yán)密的方法。分析方法將流體力學(xué)的基本理論用于多相流，不同研究者給出的多相流方程差別很大。主要原因：除了對(duì)各相列出各自的守恒方程外，還要考慮兩相間的相互作用，對(duì)于相間作用的處理差別，導(dǎo)致了不同形式的方程。目前，從連續(xù)介質(zhì)模型出發(fā)得到的兩相流動(dòng)基本方程組應(yīng)用最廣泛。在下面的推導(dǎo)中，忽略表面張力，把相界面視為無(wú)質(zhì)量、無(wú)動(dòng)量、無(wú)能量的幾何面。包括表面張力和表面能量效應(yīng)的二相流基本方程的系統(tǒng)推導(dǎo)，可參閱Ishii的專著。Ishii,M.,Thermo-FluidDynamicTheoryofTwo-PhaseFlow,Eyrolles,Paris,1975.6控制體V包含有相1和相2兩種運(yùn)動(dòng)介質(zhì)，兩相分界面Ai(t)將V劃分為V1(t)和V2(t)兩部分。相1、相2在相界面的外法線分別為n1(t)和n2(t)，n1(t)=-n2(t)。相1所占體積V1(t)的全部邊界為A1(t)和Ai(t)，相2所占體積V2(t)的全部邊界為A2(t)和Ai(t)。外表面A=A1(t)+A2(t)，外法線方向n。其中，A1(t)位于相1內(nèi)部，A2(t)位于相2內(nèi)部。V是由靜止的封閉曲面A所圍的控制體。時(shí)刻t該控制體包圍的流體介質(zhì)為V*(t)?？刂企w和相界面72.1連續(xù)方程——質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。

流體系統(tǒng)的體積V*(t)，邊界面S*(t)。在系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量的輸入輸出，即總質(zhì)量不變。SV——Lagrange型連續(xù)方程——Euler型連續(xù)方程8它反映了cs上速度分布與cv內(nèi)密度變化之間的積分關(guān)系。

在流場(chǎng)中任取一空間固定的封閉曲面S（控制面），包圍的流體體積為V（控制體）。質(zhì)量守恒：?jiǎn)挝粫r(shí)間流出控制面的凈質(zhì)量=控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少

——Euler型連續(xù)方程SV控制體上的質(zhì)量守恒方程：9特例：沿流管不可壓流動(dòng)：

不可壓縮流動(dòng)：流管的截面積與流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。平面流動(dòng)：流線間距大，流速慢；間距小，流速快。即流線的疏密反映了流速的大小。

S1S2v1v2流入、流出CS體積相等流動(dòng)定常、不可壓縮均質(zhì)：沿流管：10連續(xù)方程（二相流動(dòng)）質(zhì)量守恒：?jiǎn)挝粫r(shí)間流出控制面A1(t)和A2(t)的凈質(zhì)量=控制體V內(nèi)質(zhì)量的減少。式中，和（k=1,2）是相k的相密度和速度。針對(duì)控制體V112.2動(dòng)量方程時(shí)刻

t任取一流體系統(tǒng)，體積V*(t)、邊界面S*(t)，外法向量n，系統(tǒng)受到的合外力FnV*(t)S*(t)F動(dòng)量定理：系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力。

12——控制體內(nèi)（CV內(nèi)）流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率與單位時(shí)間內(nèi)（凈）流出控制面（CS）的動(dòng)量之和，等于外界作用在CV和CS上的合力。VSnF控制體：輸運(yùn)公式若流動(dòng)定常，流體流入控制體時(shí)，流出控制體時(shí)，13動(dòng)量方程（二相流動(dòng)）單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)V*(t)的動(dòng)量增加（動(dòng)量增長(zhǎng)率）=外界施于系統(tǒng)各部分的質(zhì)量力之和+外界施于系統(tǒng)各部分的表面力之和式中，是外界作用于相k單位質(zhì)量上的質(zhì)量力，是相k內(nèi)的應(yīng)力張量。14輸運(yùn)公式針對(duì)封閉的表面使用，即A1(t)+Ai(t)，對(duì)于單獨(dú)的表面A1(t)，不能直接使用輸運(yùn)公式。右邊第二項(xiàng)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)相2流出控制面A2(t)的動(dòng)量，第三項(xiàng)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)相2流出相界面Ai(t)的動(dòng)量。相1和相2之間通過相界面Ai(t)進(jìn)行的動(dòng)量交換，對(duì)于控制體V內(nèi)的總動(dòng)量變化沒有任何貢獻(xiàn)，加和以后相1和相2的這兩項(xiàng)互相抵消。15針對(duì)控制體V=V1(t)+V2(t)，單位時(shí)間內(nèi)控制體V的動(dòng)量增加=單位時(shí)間內(nèi)（凈）流入控制面的動(dòng)量+外界作用在控制體上的質(zhì)量力+外界作用在控制面上的表面力162.3動(dòng)量矩方程動(dòng)量矩定理：流體系統(tǒng)相對(duì)于某一點(diǎn)動(dòng)量矩的變化率，等于該瞬時(shí)外界作用在流體系統(tǒng)上的力相對(duì)于同一點(diǎn)的矩。

時(shí)刻t任取一流體系統(tǒng)，體積V*(t)、邊界面S*(t)，外法向量n，系統(tǒng)受到的合外力F，任取一點(diǎn)為力矩參考點(diǎn)，r為流體質(zhì)點(diǎn)到參考點(diǎn)的矢徑。向量叉乘的結(jié)合律：17根據(jù)輸運(yùn)公式，動(dòng)量矩定理：控制體（cv）內(nèi)關(guān)于某一點(diǎn)動(dòng)量矩的變化率與單位時(shí)間內(nèi)流出cs的動(dòng)量矩之和，等于外界作用在cv和cs上的力關(guān)于同一點(diǎn)的矩。

nVSFr若流動(dòng)定常，18動(dòng)量矩方程（二相流動(dòng)）針對(duì)流體系統(tǒng)V*(t)=V*1(t)+V*2(t)，動(dòng)量矩定理：一個(gè)封閉表面19針對(duì)控制體V=V1(t)+V2(t)，動(dòng)量矩定理：控制體V內(nèi)兩相關(guān)于某一點(diǎn)的動(dòng)量矩的變化率=單位時(shí)間內(nèi)（凈）流入兩相控制面的動(dòng)量矩+外界作用在兩相控制體和控制面上的力關(guān)于同一點(diǎn)的矩202.4能量守恒原理熱力學(xué)第一定律：流體系統(tǒng)內(nèi)總能量的增長(zhǎng)率（單位時(shí)間內(nèi)流體系統(tǒng)總能量的增加）等于單位時(shí)間內(nèi)的外力作功和輸入流體系統(tǒng)的熱量之和。從左到右，方程各項(xiàng)分別表示：系統(tǒng)總能量的增長(zhǎng)率，體積力所作功率，表面力所作功率，（單位時(shí)間內(nèi)）系統(tǒng)內(nèi)由于輻射或其它物理、化學(xué)原因傳入的熱量（如生成熱），邊界面上由于熱傳導(dǎo)輸入的熱量。系統(tǒng)的總能量等于動(dòng)能和內(nèi)能之和，是單位質(zhì)量的動(dòng)能，e為流體單位質(zhì)量的內(nèi)能。21外界封閉曲面S，包圍區(qū)域?yàn)閂，t時(shí)刻M(x,y,z)點(diǎn)的溫度為T，DS的外法線單位向量n。由傳熱學(xué)中Fourier實(shí)驗(yàn)定律可知，物體在無(wú)窮小時(shí)間段dt內(nèi)，流過一個(gè)無(wú)窮小面積dS的熱量dQ與時(shí)間dt，曲面面積dS，以及物體溫度T沿曲面dS的法線方向的方向?qū)?shù)三者成正比，即對(duì)于均勻且各向同性的物體，熱傳導(dǎo)系數(shù)k為常數(shù)。負(fù)號(hào)表示熱量的流向和溫度梯度的正向相反。單位時(shí)間內(nèi)，通過曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為時(shí)，物體溫度沿n方向增加，熱量從外界向區(qū)域V內(nèi)部傳遞，大小為│dQ│。22單位時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)由于輻射或其它物理、化學(xué)原因傳入的熱量（如生成熱）：——由于輻射或其它原因在單位時(shí)間內(nèi)傳入單位質(zhì)量的熱量分布函數(shù)。其中，Dm為包圍M點(diǎn)的體積DV內(nèi)的質(zhì)量，DQ為其它方式傳入DV內(nèi)的熱量。23根據(jù)輸運(yùn)公式，流體系統(tǒng)V*(t)的能量增長(zhǎng)率可寫為控制體V上滿足的能量守恒方程形式如下：24熵平衡方程按照Fourier熱傳導(dǎo)定律，有為相k的熱流通量，為單位質(zhì)量相k介質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的生成熱。其中，是內(nèi)發(fā)生的不可逆過程產(chǎn)生的熵增率；是相界面上發(fā)生的不可逆過程產(chǎn)生的熵增率。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，都是非負(fù)的。控制體V內(nèi)的熵增加的來(lái)源：通過表面A1(t)和A2(t)流入的質(zhì)量所攜帶的熵；通過表面?zhèn)魅氲臒嵋鸬捏w系熵的增加；外界對(duì)控制體V的體加熱引起的體系熵的增加；子系V1(t)和V2(t)中發(fā)生的不可逆過程引起的熵增；相界面Ai(t)上發(fā)生的不可逆過程引起的熵增。252.5守恒方程的統(tǒng)一形式相1和相2之間通過相界面Ai(t)進(jìn)行的質(zhì)量、動(dòng)量、動(dòng)量矩（角動(dòng)量）和能量交換，對(duì)控制體V內(nèi)的總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量沒有任何貢獻(xiàn)?？刂企wV包含有相1和相2兩種運(yùn)動(dòng)介質(zhì)，兩相分界面Ai(t)將V劃分為V1(t)和V2(t)兩部分。相1、相2在相界面的外法線分別為n1(t)和n2(t)，n1(t)=-n2(t)，相界面的運(yùn)動(dòng)速度vi(t)。外表面A=A1(t)+A2(t)，外法線方向n。在外表面A處，相1、相2流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為v1(t)和v2(t)。263.唯象方法確定被研究的多相流工況的流型，根據(jù)不同流型，推導(dǎo)出不同的多相流體基本方程式。氣液兩相流的兩種基本流動(dòng)型式：

均相模型：兩相均勻混合流動(dòng)的流型，如細(xì)泡狀流型、霧狀流型就接近這種流型。（單流體模型）

分相模型：兩相完全分開流動(dòng)的流型，如環(huán)狀流型、分層流型就接近這種流型。（雙流體模型）273.1均相模型二相流體動(dòng)力學(xué)，劉大有，高等教育出版社，1993.09當(dāng)流場(chǎng)中的多個(gè)相混合均勻時(shí)，將多相流視為單一混合物的連續(xù)介質(zhì)。使用單相流動(dòng)的控制方程確定二相混合介質(zhì)的平衡熱力學(xué)性質(zhì)28二相混合介質(zhì)的平衡熱力學(xué)性質(zhì)用一種等效的流體代替實(shí)際的二相混合介質(zhì)，若這種流體的各種熱力學(xué)性質(zhì)和熱力學(xué)關(guān)系已經(jīng)確定，那么就可以用普通的流體力學(xué)方法或非牛頓流方法處理二相流問題。問題：如何由各相的熱力學(xué)性質(zhì)和濃度求出混合介質(zhì)的等效熱力學(xué)性質(zhì)，并且建立混合介質(zhì)的各熱力學(xué)參數(shù)之間的平衡關(guān)系。說(shuō)明：這里的兩相，一相是氣體（用下標(biāo)g表示），另一相是密度很高、壓縮性很小的固相或液相（用下標(biāo)d表示）。不考慮表面張力以及與此相關(guān)的表面能量等問題。293.2分相模型對(duì)于兩相完全分開流動(dòng)的流型，如環(huán)狀流型、分層流型，可考慮分相模型。瞬時(shí)的、局部的相守恒方程二相流方程的時(shí)間平均、空間平均30前面已推導(dǎo)各守恒方程的統(tǒng)一形式如下：微分形式的推導(dǎo)：將對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)提到積分符號(hào)內(nèi)部，Vk(t)的表面由Ak(t)+Ai(t)組成，對(duì)于控制體，外表面Ak(t)的運(yùn)動(dòng)速度vA=0，而相界面Ai(t)的運(yùn)動(dòng)速度為vi(t)。根據(jù)Gauss公式，將面積分轉(zhuǎn)換為體積分，要注意封閉表面的組成。在外表面A處，相1、相2流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為v1(t)和v2(t)。在相界面的兩側(cè)，相1、相2流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為v1i(t)和v2i(t)。31瞬時(shí)的、局部的相守恒方程輸運(yùn)公式控制體Vk(t)，外邊界Ak(t)的運(yùn)動(dòng)速度vA=0，相界面Ai(t)的運(yùn)動(dòng)速度vi(t)。統(tǒng)一形式的變換如下：Leibniz法則相界面上的輸運(yùn)量32將Gauss定理應(yīng)用于上式，得到33將Ai(t)上的各個(gè)面積分合并，得到，下標(biāo)i表示相界面，vi是相界面的速度；下標(biāo)ki表示相界面附近相k的值，例如，vki、Pki和Tki等分別為相界面附近相k的速度、壓強(qiáng)張量和溫度。是從相k進(jìn)入相界面的質(zhì)量通量，其定義為：（11.3.2）34因?yàn)橐陨系目刂企w是任意選取的，對(duì)于任何這種控制體，（11.3.1）式均成立，則三個(gè)被積函數(shù)都為0，（k=1,2）方程（11.3.3）是相k內(nèi)的任意一點(diǎn)應(yīng)該滿足的微分方程，方程（11.3.4）是任意一個(gè)相界面面元應(yīng)滿足的條件。35瞬時(shí)的、局部的相守恒方程的具體形式，如質(zhì)量守恒方程：多相流動(dòng)（流場(chǎng)中）Gauss公式

單相流動(dòng)36二相流方程的時(shí)間平均、空間平均在實(shí)用意義上，不可能如此細(xì)微地去描述每一相的瞬時(shí)的和局部的各種變化。考慮瞬時(shí)、局部的流場(chǎng)，流動(dòng)幾乎不可能是定常的；為了求解非定常流動(dòng)，必須先給定初始條件，很難如此細(xì)微地給出初始條件。人們通常關(guān)心的是二相混合介質(zhì)某種平均意義上的運(yùn)動(dòng)和各物理量平均值的變化。這些平均量滿足的方程，可通過對(duì)瞬時(shí)的、局部的二相流方程求平均，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)得到。37求平均的方法：對(duì)時(shí)間求平均；對(duì)空間求平均；雙重的對(duì)空間求平均的方法（Drew）；先對(duì)時(shí)間求平均、再對(duì)空間求平均的方法（Delhaye）；先對(duì)空間再對(duì)時(shí)間求平均的方法。這些方法得到的結(jié)果基本上相同，只是平均量在時(shí)間序列上和在空間分布上的光滑性略有差異。383.3多相體系中相界面的表面張力表面張力測(cè)量方法表面張力公式39（1）表面張力L在液面上作一長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段，表面張力F的方向與L垂直，大小與線段長(zhǎng)度成正比。表面張力系數(shù)a

：作用在液面單位長(zhǎng)度上的表面張力，單位N/m。水平液面有水平的表面張力；對(duì)于彎曲的液面，表面張力沿著與液面相切的方向，因此彎曲的液面對(duì)液體內(nèi)部施以附加壓力。對(duì)于凸面，附加壓強(qiáng)為正，對(duì)于凹下的液面，附加壓力為負(fù)。對(duì)于液膜，40從能量的角度看將水分散成霧滴，即擴(kuò)大其表面，有許多內(nèi)部水分子移到表面，就必須克服表面張力對(duì)體系做功——表面功。顯然，分散的體系儲(chǔ)存了較多的表面能。通常根據(jù)分子間的互相吸引力來(lái)解釋液體的性質(zhì)，這種分子間的吸引力被稱為分子內(nèi)聚力或范德華力。在本體內(nèi)，分子所受的力是對(duì)稱的、平衡的。在表面上的分子，受到本體內(nèi)分子吸引而無(wú)反向的平衡力。此時(shí)，表面積有縮小的趨勢(shì)，使這種不平衡的狀態(tài)趨向平衡狀態(tài)。熱力學(xué)的說(shuō)法：要將體系的表面能降至最小，表面張力（系數(shù)）就是形成或擴(kuò)張單位面積的界面所需的最低能量，即單位面積上的自由能。[J/m2]=[N/m]熱力學(xué)定義：吉布斯自由能G、面積A。41（2）測(cè)量方法

毛細(xì)管上升法：將毛細(xì)管插入液體，精度不高。

掛環(huán)法：可在很難浸濕的情況下使用。用一個(gè)初始浸在液體的環(huán)從液體中拉出一個(gè)液體膜（類似肥皂泡），同時(shí)測(cè)量提高環(huán)的高度所需施加的力。

威廉米平板法：適用于長(zhǎng)時(shí)間測(cè)量表面張力。測(cè)量的量是一塊垂直于液面的平板在浸濕過程中所受的力。

旋轉(zhuǎn)滴法：用來(lái)確定界面張力，尤其適應(yīng)于張力低的或非常低的范圍內(nèi)。測(cè)量的值是一個(gè)處于比較密集的物態(tài)狀態(tài)下旋轉(zhuǎn)的液滴的直徑。

懸滴法：適用于界面張力和表面張力的測(cè)量，可在高壓、高溫下，測(cè)量液滴的幾何形狀。

最大氣泡法：測(cè)量表面張力隨時(shí)間的變化，測(cè)量氣泡最高的壓力。

滴體積法：適用于動(dòng)態(tài)測(cè)量界面張力，測(cè)量的值是一定體積的液體分成的液滴數(shù)量。使用環(huán)、片、張力表或毛細(xì)現(xiàn)象，對(duì)懸著的液滴進(jìn)行光學(xué)分析和測(cè)量。42測(cè)量數(shù)據(jù)水在20℃時(shí)的表面張力為73mN/m，20℃時(shí)其他物質(zhì)的表面張力系數(shù)如下：水的表面張力系數(shù)較高，汞的數(shù)值最高。一般情況下，表面張力隨溫度的升高而降低，在臨界點(diǎn)其值下降到0?！s特弗斯公式43（3）表面張力公式原油-天然氣的表面張力可以按下式計(jì)算：——標(biāo)準(zhǔn)條件下原油（oil）的相對(duì)密度，無(wú)因次。t——溫度，℃，p——壓力（絕對(duì)），kPa，——原油-天然氣的表面張力，mN/m?！冻橛蜋C(jī)井的氣液兩相流動(dòng)》，陳家瑯陳濤平魏兆勝，石油工業(yè)出版社，1994.0644管路條件下溶氣原油-天然氣的表面張力可以按下式計(jì)算：其中，——大氣壓力下脫氣原油-天然氣的