數(shù)學-江蘇省常州市2024-2025學年高三第一（上）學期期中質(zhì)量調(diào)研考試試題和答案

試卷第1頁，共4頁常州市2024—2025學年第一學期高三期中質(zhì)量調(diào)研1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件 4．有甲、乙等5名同學咨詢數(shù)學史知識競賽分數(shù).教師說：甲不是5人中分數(shù)最高的，乙不是5人中分數(shù)最低的，而且5人的分數(shù)互不相同.則這5名同學的可能排名有()A．42種B．72種C．78種D．120種5．已知α,β是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線l丄αA.α丄β,l//βB．l丄a,a//α6．已知函數(shù)f(x)=coswx(w>0)的最小正周期為T.若2π<T<4π,且曲線y=f(x)關(guān)于點試卷第2頁，共4頁停)中心對稱，則f(π)=()8．已知函數(shù)f(x)=loga(a的取值范圍是(),9．已知平面內(nèi)兩個單位向量a-,b-的夾角為θ,則下列結(jié)論正確的有())10．甲、乙兩選手進行象棋比賽，有3局2勝制、5局3勝制兩種方案.設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1)，且每局比賽的結(jié)果互不影響，則下列結(jié)論正確的有()A．若采用3局2勝制，則甲獲勝的概率是p2(3-2p)B．若采用5局3勝制，則甲以3：1獲勝的概率是5p3(1-p)C．若p=0.6，甲在5局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大D．若p=0.6，采用5局3勝制，在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)的數(shù)學期望是311．已知函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(a<b)，2為f(x)的極大值點，則下列結(jié)論正確的有()B．若4為函數(shù)f(x)的極小值點，則b=4試卷第3頁，共4頁C．若f(x)在內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是D．若f(x)+4=0有三個互不相等的實數(shù)解，則b的取值范圍是(5,+∞)12．已知正數(shù)x,y滿足2xy=x+4y，則xy的最小值為.13．在平面直角坐標系xOy中，已知點P(cosα,sinα)，將線段OP繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)至線段OP,.若cosα=，則點P,的縱坐標為.14．已知一個母線長為1，底面半徑為r的圓錐形密閉容器（容器壁厚度忽略不計能夠被整體放入該容器的球的體積最大時，r=.15．某研究性學習小組為研究兩個變量x和y之間的關(guān)系，測量了對應的五組數(shù)據(jù)如下表：x23456y47(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)請估計x=3.5時，對應的y值.附：在經(jīng)驗回歸方程其中y,x為樣本平均值.16．在銳角VABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知1-cos2A=4sinAsinBsinC.(1)求的值；(2)若a=2，求VABC的面積.17．某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設(shè)經(jīng)驗，3人沒有校本課程開設(shè)經(jīng)驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)校本課程，該期校本課程結(jié)束后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)下一期校本課程.(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”的概率.試卷第4頁，共4頁18．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=ex(x+2).(1)求f(x)的解析式；(2)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；(3)若vx1,x2∈R，都有f(x1)-f(x2)≤m，求實數(shù)m的最小值.19．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知CD1丄底面ABCD，AB//CD，AB丄AD，AB=2AD=2CD=2，AA1=·5，點E是線段BD1上的動點.(1)求證：B1C1//平面BCD1；(2)求直線AE與BB1所成角的余弦值的最大值； (3)在線段BD1上是否存在與B不重合的點E，使得二面角B-AE-C的正弦值為?若存在，求線段BE的長；若不存在，請說明理由.【分析】解不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，而B=(-3,?1,0,2,3},所以A∩B={-1,0,2}.故選：D【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式以及充分、必要條件等知識來確定正確答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化公式可知b=eaa=lnb，所以“b=ea”是“a=lnb”的充要條件.故選：A【分析】設(shè)z=a+bi,a,b∈R，代入已知條件，求得a,b，進而求得z-z.a2-b2+2b-1+2a(b-1)i=0，故選：B【分析】先計算A，然后減去不符合題意的情況，由此求得正確答案.【詳解】不符合題意的情況是：甲是最高分或乙是最低分，所以這5名同學的可能排名有A-A-A+A=78種.故選：C【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系的判斷可得結(jié)果.【詳解】對于A，α丄β,l//β,則l與α相交、平行或lα,故A錯誤；對于B，l丄a,a//α,則l與α相交、平行或lα,故B錯誤；對于C，l//a,a丄α,由線面垂直的性質(zhì)知l丄α,故C正確；答案第1頁，共13頁答案第2頁，共13頁對于D，l丄a,l丄b,acα,bcα,則l與α相交、平行或lα,故D錯誤.故選：C.【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式以及對稱中心，建立方程，可得答案.由f(x)=coswx，則當wx=kr(te2)時，函數(shù)f(x)取得對稱中心，由題意可得化簡可得所以f(x)=cosx，則f(r)=cos故選：B.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.由oc()易知2α∈(|(,π),，解得oe(到，所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,由cos2β=cos2β-sin2β=-,sin2β=2sinβcosβ=，解得此時α+β∈答案第3頁，共13頁 此時2<0，則α+β∈)π,,由cos2β=cos2β-sin2β=-)π,,故選：B.sin2β=2sinβcosβ=，【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值進行分析，從而確定正確答案.【詳解】y=2-ax在[1,2]單調(diào)遞減，:x=2時，2-2a>0另外，0<a<1時，y=logat單調(diào)遞減，:f(x)在[1,2]單調(diào)遞增，:f(x)max=f(2)=loga(2-2a)≥1,:2-2a≤a,:a≥.綜上所述，a的取值范圍是.故選：A【分析】根據(jù)向量垂直、模、夾角、投影向量等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.2)，所以A選項正確.B選項，解得cosθ=-,0≤θ≤π,所以，所以C選項錯誤.-D選項，a-在b上的投影向量為，所以D選項錯誤.故選：AB答案第4頁，共13頁【分析】對于選項A:采用3局2勝制，甲獲勝分為一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝三種情況分別計算求和即可；對于選項B:采用5局3勝制，要讓甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局，第四局甲勝；對于選項C:分別計算5局3勝制與3局2勝制甲勝的概率，比較即可；對于選項D:在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)X=3,4,5，借助條件概率分別計算進而求出期望即可判斷.【詳解】對于選項A:若采用3局2勝制，甲獲勝分為一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝三種情況，則最終甲勝的概率為P1=p2+p(1-p)p+(1-p)p2=p2(3-2p)，故選項A正確；對于選項B:若采用5局3勝制，要讓甲以3：1獲勝，則前三局甲勝兩局，最后一局甲勝，則甲以3：1獲勝的概率是P2=C2(1-p)p=3p3(1-p)，故選項B錯誤；對于選項C:因為p=0.6，結(jié)合選項A可知，若采用3局2勝制，最終甲勝的概率為P1=p2(3-2p)=0.62(3若采用5局3勝制，甲獲勝的比分為3:0,3:1,3:2三種情況，所以甲在5局3勝制中甲獲勝的概率是P因為0.68256>0.648，所以甲在5局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大，故選項C正確；對于選項D:因為p=0.6，且采用5局3勝制，甲獲勝的概率為P3=0.68256在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)X=3,4,5由條件概率公式可知：所以在甲獲勝的條件下比賽局數(shù)的數(shù)學期望是故選項D錯誤.故選：AC.答案第5頁，共13頁【分析】先求得f,(x)，然后根據(jù)函數(shù)的極值、最值、方程的解等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，f,(x)=2(x-a)(x-b)+=(x-a)(3x-a-2b),f"f(x)在(-∞,a)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增，\f(x)的極大值點為a，:a=2，A對.對于B，若4為極小值點，則=4，則b=5，B錯.對于cf(x)在內(nèi)有最小值，則f(x)在處取得最小值)2)2,)),)3)3,(b-3)2b≤(b-2)3，對于Df(x)=-4有三個互不相等的實數(shù)解，f(2)=0，3故選：AD【點睛】關(guān)鍵點睛：導數(shù)的準確求解與符號分析：通過求導并分析導數(shù)的符號變化，是判斷函數(shù)單調(diào)性和極值點的關(guān)鍵步驟.確保每一步的符號處理準確，是得出正確答案的基礎(chǔ).條件驗證的完整性：對于多項選擇題，通過完整地驗證每個選項的條件，可以確保答案的準確性.尤其是涉及極值點和方程解的條件時，要特別注意每個條件的符號和數(shù)量判斷.【分析】利用基本不等式來求得正確答案.【詳解】依題意，2xy=x+4y≥2Jx.4y=4Jxy，當且僅當x=4y=4時等號成立.xyxy所以xy的最小值為4.故答案為：413【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導公式，可得答案.【詳解】由題意可知，終邊為OP的角為α,則終邊為OP,的角為α-，點P,的縱坐標為sin(|α-)=-cosα=- 3【分析】通過求圓錐軸截面的內(nèi)切圓的方法，結(jié)合導數(shù)來求得正確答案.【詳解】如圖所示，圓錐的軸截面是△PAB，設(shè)△PAB內(nèi)切圓的半徑為R，也即圓錐內(nèi)切球的半徑為R， 設(shè)f(r)=(r>0),f,(r)=在區(qū)間<0,f(r)單調(diào)遞減，在區(qū)間答案第6頁，共13頁答案第7頁，共13頁所以當r-當5時，f(r)取得極大值也即是最大值，所以當能夠被整體放入該容器的球的體積最大.故答案為【點睛】關(guān)鍵點睛：幾何模型的準確構(gòu)造：通過構(gòu)造圓錐軸截面并確定內(nèi)切球的半徑，是解題的關(guān)鍵.幾何模型的正確設(shè)定為后續(xù)的導數(shù)求解提供了基礎(chǔ).導數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合應用：在求解極值問題時，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，是找到最大值的有效方法.通過對函數(shù)的求導，并結(jié)合單調(diào)區(qū)間的判斷，可以確保解的準確性.【分析】（1）根據(jù)回歸方程的求法求得正確答案.（2）利用回歸方程求得預測值.(2)1【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)商的關(guān)系求解即（2）利用正弦定理以及三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由1—cos2A=4sinAsinBsinC，得2sin2A=4sinAsinBsinC，答案第8頁，共13頁即sinA=2sinBsinC，:sin(B+C)=2sinBs:sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，:VABC為銳角三角形，:cosB≠0，cosC≠0，整理得tanB+tanC=2tanBtanC，即（2）由（1）知sinA=2sinBsinC，根據(jù)正弦定理得a=2bsinC，17．(1)分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的知識求得分布列并求得數(shù)學期望.（2）利用全概率公式來求得正確答案.【詳解】（1）X的可能取值為0,1,2，所以隨機變量X的分布列為X012P 35 其數(shù)學期望為（2）用B表示事件“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”，用Ai(i=0,1,2)表示事件“第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是i”，A0,A1,A2兩兩互斥Ai=Ω,由(1)知P由全概率公式得.所以在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1的概率為.(3)4【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得f(x)的解析式.（2）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.（3）先求得f(x)的值域，由此求得m的最小值.【詳解】（1）依題意，函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)=0，當x>0時，f(x)=-f(-x)=—e—x所以(2)x>0時，f,，切點(2,0),:f(x)在x=2處的切線方程為（3）當x=0時，f(0)=0.所以，當x<—3時，f′cx)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，且f(x)<0.當3<x<0時，f′x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且當x→0,f(x)→2.答案第9頁，共13頁答案第10頁，共13頁所以，當x<0時，f(x)的取值范圍是[-e",2).因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，可得f(x)的取值范圍是(-2,e"].所以函數(shù)f(x)的值域為(—2,2).由題vx1,x2∈R，都有f(x1)—f(x2)≤m,其中f(x1)—f(x2)的取值范圍是[0,4)，所以實數(shù)m的最小值為4.【點睛】思路點睛：利用函數(shù)性質(zhì)求解析式：首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和已知條件，確定函數(shù)的解析式，這一步奠定了后續(xù)求解的基礎(chǔ).利用導數(shù)求切線方程：通過求導得到函數(shù)在特定點的斜率，從而求得曲線的切線方程.單調(diào)性與值域的結(jié)合：通過分析函數(shù)的單調(diào)性，確定其值域，從而找到實數(shù)m的最小值.19．(1)證明見解析(3)存在，BE=【分析】（1）根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)，結(jié)合線面判定定理，可得答案；（2）根據(jù)直線與其斜交平面內(nèi)的直線的交角的取值范圍，求